2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--第九章 统计（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
第九章　统计
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.现要完成下列3项抽样调查:①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.②某科研院所共有480名科研人员,其中具有高级职称的有48名,具有中级职称的有360名,具有初级职称的有72名.为了解该科研院所科研人员的创新能力,拟抽取一个样本容量为20的样本.③在中秋节前,某食品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查.较为合理的抽样方法是(　　)
A.①③简单随机抽样,②分层随机抽样
B.①②简单随机抽样,③分层随机抽样
C.②③简单随机抽样,①分层随机抽样
D.①简单随机抽样,②③分层随机抽样
2.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则该样本的标准差为(　　)
A.
3.现要用随机数法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本,则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为(　　)
32451　74491　14562　16510　02456　89640　56816　55464　41630
85621　05214　84513　12541　02145
A.5　　　　B.44　　　　C.165　　　　D.210
4.某车间从生产的一批零件中随机抽取了1 000个进行一项质量指标的检测,整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层随机抽样的方法从质量指标在区间[40,70)内的零件中抽取170个进行再次检测,则质量指标在区间[50,60)内的零件应抽取(　　)
A.30个　　　　B.40个　　　　C.60个　　　　D.70个
5.已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示,
图甲　 图乙
为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查,其中被抽取的小学生有80人,则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为(　　)
A.200,25　　　　B.200,2 500　　　　C.8 000,25　　　　D.8 000,2 500
6.某省普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考).其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序,评定为A,B,C,D,E五个等级.某高中2022年参加“选择考”的总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平,统计了该校2020年和2022年“选择考”的成绩等级结果,得到如下统计图.针对该校“选择考”情况,2022年与2020年相比较,下列说法正确的是(　　)
　
A.获得A等级的人数减少了
B.获得B等级的人数增加了1.5倍
C.获得D等级的人数减少了一半
D.获得E等级的人数相同
7.已知甲、乙两名运动员进行射击比赛,每名运动员射击10次,得分情况如下图所示,则根据本次比赛结果,以下说法正确的是(　　)
　
乙射击环数 6 7 8 9 10
频数 1 2 2 2 3
A.通过判断甲、乙射击成绩的平均数知甲比乙的射击水平更高
B.甲的射击水平更稳定
C.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
D.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
8.某学校党支部组织初中、高中两个学部的党员参加全省教育系统的党史知识竞赛活动,其中初中部20名党员竞赛分数的平均数为a,方差为2;高中部50名党员竞赛分数的平均数为b,方差为.若a=b,则该学校全体参赛党员竞赛分数的方差为(　　)
A.　　　　C.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.小爱同学在一周内自测体温(单位:℃)依次为36.1,36.2,36.1,36.5,36.3,36.6,36.3,则该组数据的(　　)
A.平均数为36.3　　　　B.方差为0.04
C.中位数为36.3　　　　D.第80百分位数为36.55
10.下图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图,月度同比指的是与去年同期相比,图中纵坐标为增速百分比.就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言,以下说法正确的是(　　)
A.12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%
B.12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0
C.图中前6个月的月度同比增速百分比的波动比后6个月的大
D.共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值
11.为了庆祝伟大的中国共产党第二十次全国代表大会召开,某校开展了“爱祖国、跟党走”的知识答题竞赛,若参赛学生的成绩都在50分至100分之间,现随机抽取了400名学生的成绩,进行适当分组后,画出如下频率分布直方图,则(　　)
A.在被抽取的学生中,成绩在区间[80,90)内的学生有120人
B.图中x的值为0.050
C.估计全校学生成绩的中位数为86.7分
D.估计全校学生成绩的70%分位数为92.5分
12.为唤起学生爱护地球、保护家园的意识,加强对节能减排的宣传,进一步营造绿色和谐的校园环境,某中学决定举办环保知识竞赛.现有甲、乙、丙、丁四个班级参加,每个班级各派10位同学参赛,每位同学需要回答10道题,每道题回答正确得1分,回答错误得0分.规定总得分达到70分且没有同学的得分低于5分的班级为“优胜班级”,根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛同学分数的统计信息,能判定该班为“优胜班级”的是(　　)
A.甲班同学分数的平均数为8,众数为8
B.乙班同学分数的平均数为8,方差为4
C.丙班同学分数的平均数为7,极差为3
D.丁班同学分数的平均数为7,标准差为0
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某高中的三个年级共有学生2 000人,其中高一有600人,高二有680人,高三有720人,该校现在要了解学生对校本课程的看法,准备从全校学生中抽取50人进行访谈,若采取分层随机抽样,且按年级来分层,则高一年级应抽取的人数是　　　　.
14.一次考试结果的频率分布直方图如图所示,则据此估计这次考试的平均分为　　　　分.(同一组中数据用该组区间中点值作代表)
15.某公司男女员工人数之比是2∶3,为了调查公司员工的健康状况,用分层随机抽样的方法抽取样本,统计样本数据如下:男员工的平均体重为70 kg,标准差为5 kg;女员工的平均体重为50 kg,标准差为6 kg.则由此估计该公司员工的平均体重是　　　　kg,体重的方差是　　　　.
16.已知样本x1,x2,x3,x4,x5∈N,该样本的平均数为7,方差为4,且样本的数据互不相同,则样本数据中的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)某校高中年级举办科技节活动,开设A,B两个会场,其中每个同学只能去一个会场,且25%的同学去A会场,剩下的同学去B会场.已知A,B会场所去的学生的年级及比例情况如下表:
高一 高二 高三
A会场 50% 40% 10%
B会场 40% 50% 10%
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
(1)求x∶y∶z的值;
(2)若抽到的B会场的高二学生有75人,求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数.
18.(12分)某果园试种了A,B两个品种的桃树各10棵,并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表,记A,B两个品种各10棵桃树产量的平均数分别为 kg和 kg,方差分别为.
A(单位:kg) 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90
B(单位:kg) 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100
(1)分别求这两个品种桃树产量的极差和中位数;
(2)求;
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种,依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适,并说明理由.
19.(12分)随着电子商务的发展,人们的购物习惯也在改变,几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决,同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺,对电商的顾客评价,包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查,并把调查结果转化为顾客的评价指数x,得到了如下频数分布表:
评价指数x [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 10 20 40 20
(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数x的频率分布直方图;
(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差s的估计值,同一组中的数据以该组区间的中点值为代表.(精确到0.1,≈12.04)
20.(12分)某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况,抽样调查了其中的100名学生,统计他们参加社会实践活动的时间(单位:小时),并将统计数据绘制成频率分布直方图(如图所示).
(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数、中位数、平均数;
(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的第75百分位数(结果保留两位小数).
21.(12分)某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样,获得200户居民的年用水量(单位:吨)数据,按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组,制成频率分布直方图(如图所示).
(1)求频率分布直方图中t的值;
(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过m吨,求m的值;
(3)已知该市有100万户居民,规定:每户居民年用水量不超过50吨的正常收费,若超过50吨,则超出的部分每吨收1元水资源改善基金,请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据以所在区间的中点值为代表)
22.(12分)为了深入学习领会党的二十大精神,某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》,试卷满分为100分,所有学生成绩均在区间[40,100]内,已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800,1 000,1 200,现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩,绘制了样本频率分布直方图(如图所示).
(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数、第71百分位数(同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(2)已知所抽取的各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表,且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140,求高三年级学生成绩(单位:分)的平均数和高二年级学生成绩的方差.
年级 样本平均数 样本方差
高一 60 75
高二 63
高三 55
答案全解全析
1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 6.B
7.B 8.D 9.AC 10.AC 11.ACD 12.CD
1.A　①③中总体容量较少,且个体没有明显差别,适合用简单随机抽样;②中总体是由有明显差异的几部分组成的,适合用分层随机抽样.
故选A.
2.D　因为样本a,0,1,2,3的平均数为1,所以×(a+0+1+2+3)=1,解得a=-1,
则该样本的方差s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,故该样本的标准差为.故选D.
3.D　由随机数法可知,以3个数字为单位抽取数,抽取的数不能大于240,且要去掉重复的数,据此可知第一个数为114,第二个数为165,第三个数为100,第四个数为210.
故选D.
4.C　设质量指标在区间[50,60)内的零件应抽取x个,则,解得x=60,故选C.
5.B　由题图甲结合分层随机抽样知识易知样本容量为=200,
则样本中高中生的人数为200×25%=50,易知总体中高中生的人数为=5 000,
结合题图乙得该地区的高中生近视人数为5 000×50%=2 500.
故选B.
6.B　设2020年参加“选择考”的总人数为a(a>0),则2022年参加“选择考”的总人数为2a.
2020年评定为A,B,C,D,E五个等级的人数分别为0.28a,0.32a,0.30a,0.08a,0.02a;
2022年评定为A,B,C,D,E五个等级的人数分别为0.48a,0.80a,0.56a,0.12a,0.04a.
由此可知获得A等级的人数增加了,故A错误;
由于=1.5,所以获得B等级的人数增加了1.5倍,故B正确;
获得D等级的人数增加了,故C错误;
获得E等级的人数增加了1倍,故D错误.
故选B.
7.B　甲射击成绩的平均数×(5+7+3×8+4×9+10)=8.2,
乙射击成绩的平均数×(6+2×7+2×8+2×9+3×10)=8.4,
∵,∴乙的射击水平更高,故A错误;
甲射击成绩的方差×[(5-8.2)2+(7-8.2)2+3×(8-8.2)2+4×(9-8.2)2+(10-8.2)2]=1.76,
乙射击成绩的方差×[(6-8.4)2+2×(7-8.4)2+2×(8-8.4)2+2×(9-8.4)2+3×(10-8.4)2]=1.84,
∵,∴甲的射击水平更稳定,故B正确;
甲的射击成绩由小到大排列为5,7,8,8,8,9,9,9,9,10,位于第5、6位的数分别是8,9,所以甲射击成绩的中位数是=8.5,
乙的射击成绩由小到大排列为6,7,7,8,8,9,9,10,10,10,位于第5、6位的数分别是8,9,所以乙射击成绩的中位数是=8.5,故C错误;
甲射击成绩的众数为9,乙射击成绩的众数为10,故D错误.
故选B.
8.D　设初中部20名党员的竞赛分数分别为x1,x2,…,x20,高中部50名党员的竞赛分数分别为y1,y2,…,y50,根据题意得×[(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x20-a)2]=2,×[(y1-b)2+(y2-b)2+…+(y50-b)2]=,
因为a=b,
所以(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x20-a)2=40,(y1-a)2+(y2-a)2+…+(y50-a)2=140,易知该学校全体参赛党员竞赛分数的平均数为a,
则该学校全体参赛党员竞赛分数的方差为×[(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x20-a)2+(y1-a)2+(y2-a)2+…+(y50-a)2]=.故选D.
9.AC　把该组数据按从小到大的顺序排列后为36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.5,36.6.
平均数为×(36.1+36.1+36.2+36.3+36.3+36.5+36.6)=36.3,故A正确;
方差为≠0.04,故B错误;
该组数据按从小到大的顺序排列后,位于第4位的数为36.3,故中位数为36.3,故C正确;
因为7×80%=5.6,所以第80百分位数为从小到大排列后的第6个数据,即36.5,故D错误.
故选AC.
10.AC　由题中折线图可得12个月的月度同比增速百分比(%)由小到大依次为-11.1,-6.7,-5.9,-3.5,-1.8,-0.5,2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7.
对于A,12个月的月度同比增速百分比(%)的中位数为=1,故A正确;
对于B,因为<0,
所以12个月的月度同比增速百分比(%)的平均值小于0,故B错误;
对于C,由题中折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动,然后渐渐趋于稳定,后6个月的波动整体较小,
所以前6个月的月度同比增速百分比的波动比后6个月的大,故C正确;
对于D,-≈-0.47,大于-0.47的有2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7,共有6个,
所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值,故D错误.故选AC.
11.ACD　由题意,得成绩在区间[80,90)内的学生人数为400×0.030×10=120,故A正确;
由(0.005+0.010+0.015+0.030+x)×10=1,得x=0.040,故B错误;
由于前3组的频率和为(0.005+0.010+0.015)×10=0.3<0.5,
前4组的频率和为0.3+0.030×10=0.6>0.5,
所以中位数在第4组,设中位数为a分,
则0.3+0.030×(a-80)=0.5,得a≈86.7,故C正确;
设样本数据的70%分位数为n,
则,解得n=92.5,故D正确.
故选ACD.
12.CD　对于A,当10位同学的分数分别为2,8,8,8,8,8,8,10,10,10时,满足平均数为8,众数为8,但不满足没有同学的得分低于5分,故A不能保证该班一定为“优胜班级”;
对于B,当10位同学的分数分别为4,6,6,8,8,8,10,10,10,10时,满足平均数为8,方差为4,但不满足没有同学的得分低于5分,故B不能保证该班一定为“优胜班级”;
对于C,如果有同学的得分低于5分,根据极差为3,那么就会出现其他同学的得分不大于7分,这样平均数就小于7,与已知矛盾,故这种情况下不会有得分低于5分的同学,满足总得分达到70分且没有同学的得分低于5分,故C能保证该班一定为“优胜班级”;
对于D, 由丁班同学分数的平均数为7,标准差为0,可知每位同学的得分均为7分,故D能保证该班一定为“优胜班级”.
故选CD.
13.答案　15
解析　从全校2 000人中抽取50人进行访谈,按照年级分层,则高一年级应该抽取×600=15(人).
14.答案　75
解析　估计这次考试的平均分为55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75(分).
15.答案　58;127.6
解析　=58(kg),
s2=×[62+(50-58)2]=127.6.
16.答案　10
解析　由题意,得[(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]=4,即[(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]=20.那么(xi-7)2<20,i=1,2,3,4,5,所以xi≤11,
设x3=11,则(x1-7)2+(x2-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=4,必然存在样本数据相等,不满足题意.
设x3=10,则(x1-7)2+(x2-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=11,不妨设x1=4,x2=6,x4=7,x5=8,则满足(x1+x2+x3+x4+x5)=7.所以在最大值为10时存在5个数都为自然数满足题意.
17.解析　(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,
则去A会场的学生人数为0.25(a+b+c),
去B会场的学生人数为0.75(a+b+c),(2分)
则对应人数如下表:
高一 高二 高三
A会场 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c)
B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c)
则x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4.(5分)
(2)依题意得,n×0.75×0.5=75,解得n=200,
故抽到的A会场的学生人数为50,(7分)
则高一年级人数为50×50%=25,高二年级人数为50×40%=20,高三年级人数为50×10%=5.
(10分)
18.解析　(1)A品种10棵桃树的产量(单位:kg)由小到大排列为40,50,60,60,70,80,80,80,90,90,
则A品种桃树的产量的极差为50 kg,中位数为=75(kg);(2分)
B品种10棵桃树的产量(单位:kg)由小到大排列为40,50,60,60,70,80,80,80,80,100,
则B品种桃树的产量的极差为60 kg,中位数为=75(kg).(4分)
(2)×(40+50+60+60+70+80+80+80+90+90)=70,
×[(-30)2+(-20)2+2×(-10)2+02+3×102+2×202]=260,(6分)
×(40+50+60+60+70+80+80+80+80+100)=70,
×[(-30)2+(-20)2+2×(-10)2+02+4×102+302]=280.(8分)
(3)由=70可得A,B两个品种桃树的平均产量相等,
又,所以A品种桃树的产量稳定,故选择A品种.(12分)
19.解析　(1)由题中数据可得,
评价指数x [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 10 20 40 20
频率 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2
频率/组距 0.005 0.005 0.01 0.02 0.01
(3分)
可得频率分布直方图如下.
(6分)
(2)由题中数据可得,×(10×10+30×10+50×20+70×40+90×20)=60,(9分)
s2=×[(10-60)2×10+(30-60)2×10+(50-60)2×20+(70-60)2×40+(90-60)2×20]=580,所以s=≈24.1.(12分)
20.解析　(1)由题中频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20,故众数是20小时;(2分)
由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07,(3分)
∵(0.02+0.06)×4=0.32,且(0.02+0.06+0.075)×4=0.62,
∴中位数在18~22之间,设中位数为x小时,
则,解得x=20.4,故中位数是20.4小时.(5分)
平均数为(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32(小时).(8分)
(2)(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9,
∴第75百分位数在22~26之间,设第75百分位数为y小时,(10分)
则,解得y≈23.86.故第75百分位数约为23.86小时.(12分)
21.解析　(1)由题中频率分布直方图得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1,解得t=0.015.(4分)
(2)由题中频率分布直方图得,
前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48,前5组频率之和为0.48+0.24=0.72,所以40由,解得m=45.(8分)
(3)由题可知区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位:吨)分别取55,65,75,85为代表,则他们的年用水量分别超出5吨,15吨,25吨,35吨,(10分)
则106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×106(元),
所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6×106元.(12分)
22.解析　(1)由题中频率分布直方图知,学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.06,0.12,0.4,0.26,0.1,0.06,显然学生成绩在[60,70)内的频率最大,
所以估计该校全体学生成绩的众数为65分.(1分)
平均数=0.06×45+0.12×55+0.4×65+0.26×75+0.1×85+0.06×95=69(分).(2分)
设第71百分位数为m分,显然m∈(70,80),由0.06+0.12+0.4+(m-70)×0.026=0.71,解得m=75,
所以第71百分位数为75分.(4分)
(2)记高一、高二、高三年级学生成绩(单位:分)的平均数分别为,方差分别为,
显然样本中高一、高二、高三年级分别抽取了80人,100人,120人,
=69,解得=80,(8分)
s2=]
=[(80-69)2+55]
==140,解得=48,
所以高三年级学生成绩(单位:分)的平均数为80,高二年级学生成绩的方差为48.(12分)
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