2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--第六章 平面向量及其应用复习提升（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对向量的有关概念、定理理解不准确致错
1.给出下列命题:①a2·a2=|a|4;②(a·b)·c=(a·c)·b;③|a·b|=|a||b|;④若a∥b,则存在唯一的实数λ,使b=λa;⑤若a·c=b·c,且c≠0,则a=b;⑥设e1,e2是平面内两向量,则对于平面内任一向量a,都存在唯一一对实数x,y,使a=xe1+ye2成立.其中真命题有　　(　　)
A.1个　　　　B.2个　　　　
C.3个　　　　D.3个以上
2.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=(　　)
A.a2
易错点2　忽视向量的方向致错
3.(2022重庆铜梁期末)向量=(k,2),k∈R,已知同向,则与垂直的单位向量的坐标为　　　　.
4.已知A(-4,6),B(2,4),点P在线段AB的延长线上,且||,则点P的坐标为　　　　.
易错点3　已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时忽略向量共线的情况致错
5.(2022山东青岛期末)已知向量a=(1,2),b=(1,1),若a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(　　)
A.∪(0,+∞)
C.　　　　D.(-∞,0)∪
6.(2023山东济宁邹城阶段性考试)已知向量a=(2t,2),b=(-2-t,-5),若向量a与向量a+b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　　.
易错点4　混淆或错用公式致错
7.(2023河南开封开学考试)已知向量m=(-1+a,2-a),n=(3-a,4+a),若(m+n)∥m,则实数a=　　　　.
8.已知向量a=(1,m),b=(-2,3),且(a-b)⊥b,则实数m=　　　　.
易错点5　解三角形时忽略隐含条件致错
9.(2022河南部分名校质检)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,B=2C,则a+c的取值范围为(　　)
A.(2,4)
C.(0,2,4)
10.已知△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是(　　)
A.
C.或2或4
11.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=sin B+sin A=2,求△ABC的面积.
思想方法练
一、数形结合思想在平面向量中的应用
1.(2023四川南充适应性考试)已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,点P是AC边上的任意一点,则的最小值是(　　)
A.-　　　　D.0
2.(2023黑龙江大庆实验中学期中)已知a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有
|a-te|≥|a-e|,则 (　　)
A.a⊥e　　　　B.a⊥(a-e)
C.e⊥(a-e)　　　　D.(a+e)⊥(a-e)
二、函数与方程思想在平面向量中的应用
3.(2022湖南永州期中)如图,在△ABC中,点M是AB上的点且满足,N是AC上的点且满足,CM与BN交于P点,设=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　　　B.a+b C.a+b　　　　D.a+b
4.(2021河北张家口月考)已知O为坐标原点,=(5,1),设M是直线OP上一点,求的最小值.
三、分类讨论思想在解三角形中的应用
5.(2022山东济南章丘四中月考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+bcos A=b,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形　　　　 B.直角三角形
C.等腰直角三角形　　　　D.等腰或直角三角形
6.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解此三角形.
四、转化与化归思想在解三角形中的应用
7.(2023河南安阳重点高中联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin A-csin C=(b-c)sin B.若D是BC边的中点,且AD=4,则△ABC面积的最大值为(　　)
A.16　　　　B.32-16　　　　
C.64
8.(2023湖南四大名校统考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S,且2S=(a2+b2)sin A.
(1)求C的值;
(2)若a=,求△ABC周长的取值范围.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.A 2.D 5.B 9.A 10.C
1.A　对于①,∵a·a=|a|2,∴a2·a2=|a|4,①正确;
对于②,(a·b)·c表示和向量c共线的向量,(a·c)·b表示和向量b共线的向量,而向量b和向量c不一定共线,所以(a·b)·c=(a·c)·b不一定成立,故②错误;
对于③,易知|a·b|≤|a||b|,故③错误;
对于④,当向量a=0,b≠0时,不存在实数λ,使b=λa,故④错误;
对于⑤,还可能是a-b与c垂直,故⑤错误;
对于⑥,平面向量基本定理的前提是向量e1,e2不共线,故⑥错误.
故选A.
易错警示　在利用向量的有关概念、定理解题时,一定要明确概念或定理成立的前提条件,再结合向量的运算律解答,要明确向量的运算和实数的运算的异同.
2.D　由题意可知,|>=150°,所以|cos 150°=-a2.故选D.
易错警示　在找向量的夹角时要把向量的起点平移到同一点,同时注意向量夹角的取值范围是[0,π],因此根据图形的特点找向量的夹角时要注意夹角是相应线段的夹角还是该角的补角,例如本题中的夹角是∠BDC的补角,不是∠BDC.
3.答案　
解析　由=(3,k),得=(2,3+k),
因为同向,所以,
则k(3+k)-4=0,解得k=1或k=-4.
当k=1时,同向,
当k=-4时,反向,不满足题意,舍去,
所以k=1,故=(3,1).
设与垂直的向量为(x,y),x2+y2≠0,则3x+y=0,所以y=-3x,
故与垂直的向量为(x,-3x)(x≠0),
则与垂直的单位向量的坐标为±.
4.答案　(5,3)
解析　因为||,点P在线段AB的延长线上,所以,
设P(x,y),则=(x-2,y-4),
所以(x+4,y-6)=3(x-2,y-4),
即
所以点P的坐标为(5,3).
易错警示　在利用向量共线或模的关系研究向量之间的关系时,需要从方向的角度加以分析,若不能确定,则需分类讨论.
5.B　易得a+λb=(1+λ,2+λ).
∵a与a+λb的夹角为锐角,∴a·(a+λb)>0,且a与a+λb不共线,
由a·(a+λb)=1+λ+4+2λ=5+3λ>0,解得λ>-,
若a与a+λb共线,则2+λ-2(1+λ)=0,解得λ=0.
∴实数λ的取值范围是∪(0,+∞).故选B.
6.答案　
解析　由题意得a+b=(t-2,-3),
因为向量a与向量a+b的夹角为钝角,
所以a·(a+b)<0,且向量a与向量a+b不共线,
则2t(t-2)-6<0,且-6t-2(t-2)≠0,
故t2-2t-3<0,且t≠,解得-1易错警示　向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,容易忽略向量共线的情况,所以求解时要排除向量共线的情况.
7.答案　
解析　易得m+n=(2,6),由(m+n)∥m,得6(-1+a)-2(2-a)=0,解得a=.
8.答案　5
解析　由已知得a-b=(3,m-3),
∵(a-b)⊥b,
∴(a-b)·b=-6+3(m-3)=0,解得m=5.
易错警示　已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则x1y2-x2y1=0,若a⊥b,则x1x2+y1y2=0. 两个坐标表示形式相似,容易混淆,可分别用口诀记忆:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.
9.A　在△ABC中,由B=2C及正弦定理得
a=
==4cos C-,
c=,
∴a+c=4cos C-=4cos C.
∵△ABC为锐角三角形,
∴,
∴∴a+c的取值范围为(2).故选A.
易错警示　本题的隐含条件是A,B,C的范围均为,求解时易由锐角三角形得010.C　由正弦定理,得sin C=.
∴C=60°或C=120°.
当C=60°时,A=90°,∴S△ABC=AB·AC=2;
当C=120°时,A=30°,
∴S△ABC=AB·AC·sin A=.
∴△ABC的面积为2.
易错警示　在△ABC中,AB·sin B11.解析　由,得,即sin B=3sin A,∵sin B+sin A=2,∴3sin A+sin A=2,
即sin A=.由题意知A∈,∴A=.由a2=b2+c2-2bccos A,得7=9+c2-3c,解得c=1或c=2.
则b>a>c,故B>A>C.
当c=1时,由余弦定理的推论得cos B=<0,则角B为钝角,不符合题意,舍去;
当c=2时,由余弦定理的推论得cos B=>0,则B为锐角,符合题意.
故c=2.∴S△ABC=bcsin A=.
易错警示　在求得c的两个值后,没有根据题中条件进行检验,有可能产生增根.
思想方法练
1.B 2.C 3.B 5.D 7.B
1.B　因为BC2+AC2=AB2,所以△ABC是直角三角形,C=90°,
根据直角三角形的特点,建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求最值,可以化繁为简.
以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(0,4),B(3,0),
设点P的坐标为(0,y),0≤y≤4,
则=(3,-y),
故=-y(4-y)=y2-4y=(y-2)2-4,
所以当y=2时,取得最小值-4.故选B.
2.C　根据向量的几何表示和向量减法的三角形法则,将向量a-e,a-te表示出来,再由几何图形特征求解,可以化难为易.
如图,设=a,=e,则|a-e|=||,|a-te|表示连接点A与直线OE上的点的线段的长度,设为d,由题意知dmin=||,则,即(a-e)⊥e.
故选C.
思想方法　数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,在平面向量中有重要的应用:
1.以数解形,化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标表示和坐标运算解决几何问题.
2.以形助数,化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模的几何意义等,解决平面向量的相关计算问题.
3.B　由,由,
由C,P,M三点共线,可得(λ∈R),即,
由N,P,B三点共线,可得(μ∈R),即,
故
根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组.
故a+b.故选B.
4.解析　∵M在直线OP上,
∴可设=(2x,x),x∈R,
则)·()
=(1-2x,7-x)·(5-2x,1-x)
=5-2x-10x+4x2+7-7x-x+x2
=5x2-20x+12
=5(x-2)2-8,
通过的坐标,将表示成关于x的二次函数,利用函数的性质求得最值.
∴当x=2时,取得最小值,最小值为-8.
思想方法　一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解.
　　一般运用函数思想解决平面向量中的运动问题和最值问题,解题的关键在于设置变量,然后将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围.
5.D　由余弦定理的推论及已知得a·+b·=b,
所以c(a2+b2-c2)+b(b2+c2-a2)=2b2c,
整理得(b-c)(b2+c2-a2)=0,
所以b-c=0或b2+c2-a2=0,
两个因式的乘积等于0,故分情况讨论.
当b-c=0时,△ABC是等腰三角形;
当b2+c2-a2=0时,△ABC是直角三角形.
故选D.
6.解析　由正弦定理得,
∴sin C=,
∴C=60°或C=120°,
角C有两个解,需分类讨论.
当C=60°时,B=75°,
则b=+1;
当C=120°时,B=15°,
则b=-1.
思想方法　在应用正、余弦定理解三角形时,会根据题中信息进行分类讨论;特别是在已知三角形两边及一边的对角解三角形时,需要注意解的个数,若有两个解,则需分类讨论.
7.B　因为asin A-csin C=(b-c)sin B,
所以a2-c2=b2-bc,
通过正弦定理将角转化为边.
所以b2+c2-a2=bc,故cos∠BAC=,
通过余弦定理的推论将边的关系转化为角的余弦值.
因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.
因为D是BC边的中点,所以,
利用平面向量的运算,将线段的长度转化为向量的模.
则,
即16=bc,
故16≥bc,
所以bc≤64(2-),当且仅当b=c时,等号成立.
所以S△ABC=bcsin∠BAC≤16(2-,即△ABC面积的最大值为32-16.
故选B.
8.解析　(1)因为S=bcsin A,
所以由正弦定理及已知得2×bcsin A=(a2+b2)sin A,
通过正弦定理将角转化为边.
易知sin A≠0,所以a2+b2-c2=ab,
故cos C=,
通过余弦定理的推论将边的关系转化为角的余弦值.
又0(2)将周长的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于A的三角函数的最值问题.
因为a=,所以由正弦定理得c=,
b=,
故△ABC的周长为a+b+c=
=
=,
易知A∈,则,故0所以,
即△ABC的周长的取值范围是(2,+∞).
思想方法　转化与化归思想在解三角形中应用非常广泛,如解三角形时,常用正弦定理或余弦定理进行边角互化;求范围或最值问题时,将所涉及的元素转化为某个角的三角函数值;实际应用中也常建立数学模型,将实际问题转化为数学问题来解决.
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