2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--第七章 复数（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
第七章　复数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z=2i(1+i)的虚部为(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.-2i　　　　D.2i
2. i是虚数单位,则的值为(　　)
A.13　　　　B.
3.已知i为虚数单位,若复数z满足z·i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限
4.复数z满足z(1-i)=3-i,则z·=(　　)
A.25　　　　B.　　　　C.22　　　　D.5
5.若复数z满足i·z=2 022+i2 023(i是虚数单位),z的共轭复数是,则|z-|=(　　)
A.　　　　B.4 044　　　　C.2　　　　D.0
6.已知复数z=1-2i,则|z|2+z2=(　　)
A.2　　　　B.10　　　　C.2-4i　　　　D.-3-4i
7.已知复数z≠0,则“|z|=1”是“z+∈R”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
8.已知z∈C,且(z-i)·(+i)=1,i为虚数单位,则|z-3-5i|的最大值是(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知i为虚数单位,复数z满足z(2-i)=i2 020,则下列说法正确的是(　　)
A.复数z的模为
B.复数z的共轭复数为-i
C.复数z的虚部为
D.复数z在复平面内对应的点位于第一象限
10.若1-2i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个复数根,则(　　)
A.a=2
B.b=5
C.a+bi的共轭复数为-2-5i
D.a+bi,b+ai在复平面内对应的两点之间的距离为7
11.在复平面内,复数z=,则下列说法正确的是(　　)
A.复数的模为1
B.复数z在复平面内对应的点位于第二象限
C.复数z是方程x2-x+1=0的解
D.若复数ω满足|ω-z|=1,则|ω|max=+1
12.已知z为复数,设z,,iz在复平面内对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,则(　　)
A.|
C.|
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知i是虚数单位,复数z满足z·i=3-i,则z的虚部为　　　　,|z|=　　　　.
14.在复平面内,点A,B对应的复数分别为2-i,5+3i,则||=　　　　.
15.若i为虚数单位,且a=,则a2 022+a2 023+1=　　　　.
16.棣莫弗是出生于法国的数学家,由于他在数学上成就卓著,被选为柏林科学院的院士.棣莫弗定理为[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),这里r≥0,n∈N*.若[r(cos θ+isin θ)]4=-16,则r=
　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
18.(12分)已知复数z满足z(1+ai)=1-i(a∈R,i是虚数单位).
(1)若z在复平面内对应的点在虚轴上,求实数a的值;
(2)设是z的共轭复数,复数在复平面内对应的点位于第二象限,求实数a的取值范围.
19.(12分)已知复数z1=2+i,z2=2-3i.
(1)计算z1·z2;
(2)若|z|=5,且复数z的实部为复数z1-z2的虚部,求复数z.
20.(12分)在①复平面内表示复数z的点在直线x-y=0上;②a>0,且z·=2;③z(1-i)>0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.
已知复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),满足　　　　,若z是实系数一元二次方程x2+mx+4+m=0的根,求实数m的值.
21.(12分)已知复数z1=(a+i)2,z2=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内表示复数z1的点位于第二象限,求a的取值范围;
(2)若a=2,求+…+.
22.(12分)在复平面内,O为坐标原点,复数z1=m+i是关于x的方程x2-2x+n=0的一个根.
(1)求实数m,n的值;
(2)若复数z2=1+所对应的点分别为A,B,C,记△AOB的面积为S1,△BOC的面积为S2,求.
答案全解全析
1.B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C
7.A 8.B 9.CD 10.BCD 11.AC 12.AB
1.B　因为z=2i(1+i)=-2+2i,所以z=2i(1+i)的虚部为2,故选B.
2.B　因为=2-3i,所以.
故选B.
3.D　因为复数z满足z·i=2+3i,所以z==-(2+3i)i=3-2i,在复平面内z对应的点为(3,-2),所以在复平面内z对应的点位于第四象限.
故选D.
4.D　由题知z==2+i,所以=2-i,
所以z·=(2+i)(2-i)=5,故选D.
5.B　因为i·z=2 022+i2 023=2 022+i3=2 022-i,所以z==-1-2 022i.
所以=-1+2 022i,所以z-=-1-2 022i-(-1+2 022i)=-4 044i,
所以|z-|=|-4 044i|=4 044.
故选B.
6.C　∵|z|2=|1-2i|2=12+(-2)2=5,z2=(1-2i)2=-3-4i,
∴|z|2+z2=2-4i.故选C.
7.A　设z=a+bi,a,b∈R,且a,b≠0,当|z|==1时,a2+b2=1,
则z+=2a∈R,充分性成立;
取z=2,则z+∈R,但|z|=2,故必要性不成立.
综上所述,“|z|=1”是“z+∈R”的充分不必要条件.
故选A.
8.B　设z=x+yi(x,y∈R),∵(z-i)·(+i)=1,
∴[x+(y-1)i]·[x-(y-1)i]=1,
∴x2+(y-1)2=1,
故复数z对应的点(x,y)的轨迹是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆,
|z-3-5i|表示圆上的点到点A(3,5)的距离,
∴|z-3-5i|的最大值是|CA|+1=5+1=6.
故选B.
9.CD　由z(2-i)=i2 020,得z=i,
∴|z|=,故A错误;
复数z的共轭复数为i,故B错误;
复数z的虚部为,故C正确;
复数z在复平面内对应的点为,位于第一象限,故D正确.
故选CD.
10.BCD　由题意得(1-2i)2+a(1-2i)+b=a+b-3-(2a+4)i=0,
则
故A选项错误,B选项正确;
a+bi=-2+5i的共轭复数为-2-5i,故C选项正确;
a+bi,b+ai在复平面内对应的两点之间的距离为,故D选项正确.
故选BCD.
11.AC　z=i,则i.
对于A,|=1,故A正确;
对于B,复数z在复平面内对应的点为,位于第四象限,故B错误;
对于C, i+1=0,故z=i是x2-x+1=0的解,故C正确;
对于D,设ω=x+yi(x,y∈R),则|ω-z|=,故复数ω在复平面内对应的点(x,y)在以(记为Z)为圆心,1为半径的圆上,故|ω|的最大值为||+1=1+1=2(O为坐标原点),故D错误.
故选AC.
12.AB　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,iz=i(a+bi)=-b+ai,
∴A(a,b),B(a,-b),C(-b,a),
∴=(-b-a,a+b).
对于A,∵|,故选项A正确;
对于B,∵a·(-b)+ba=0,∴,故选项B正确;
对于C,|,
当ab≠0时,||≠||,故选项C错误;
对于D,∵a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,a2-2ab-b2不一定为零,∴,故选项D错误.
故选AB.
13.答案　-3;
解析　因为z·i=3-i,所以z==-1-3i,所以z的虚部为-3,|z|=.
14.答案　5
解析　由题意得A(2,-1),B(5,3),所以=(3,4),所以|=5.
15.答案　-i
解析　因为a==i,
所以a2 022+a2 023+1=i2 022+i2 023+1=i4×505+2+i4×505+3+1=-1-i+1=-i.
16.答案　2
解析　由[r(cos θ+isin θ)]4=-16,得r4(cos 4θ+isin 4θ)=-16,
所以因为r≥0,
所以sin 4θ=0,cos 4θ=-1,r4=16,所以θ=k(k∈Z),r=2.
17.解析　(1)由复数的几何意义可得A(1,0),B(2,1),C(-1,2),
所以=(-3,1),(3分)
所以对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.　　(6分)
(2)易得|,
因为,(9分)
所以△ABC是直角三角形.(10分)
18.解析　(1)由题意,得复数z=i,
所以z在复平面内对应的点为.(2分)
因为z在复平面内对应的点在虚轴上,所以=0,(4分)
解得a=1.(6分)
(2)由(1)知i,则,(8分)
由在复平面内对应的点位于第二象限,可得(10分)
解得a>1,
故实数a的取值范围为(1,+∞).(12分)
19.解析　(1)z1·z2=(2+i)(2-3i)=4-6i+2i-3i2=7-4i.(4分)
(2)设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=5,所以a2+b2=25.(6分)
因为复数z1-z2=(2+i)-(2-3i)=4i,所以复数z1-z2的虚部为4.
因为复数z的实部为复数z1-z2的虚部,所以a=4,(9分)
由a2+b2=25,解得b=±3,所以z=4+3i或z=4-3i.(12分)
20.解析　若选条件①:复平面内表示复数z的点在直线x-y=0上.
易得复数z在复平面内对应的点为(a,1),(2分)
因为该点在直线x-y=0上,所以a-1=0,解得a=1,(5分)
所以z=1+i.(6分)
因为z是实系数一元二次方程x2+mx+4+m=0的根,
所以(1+i)2+m(1+i)+4+m=0,即2m+4+(m+2)i=0,(9分)
所以由复数相等的充要条件得所以m=-2. (12分)
若选条件②:a>0,且z·=2.
因为z=a+i,所以z·=a2+1=2,解得a2=1.(3分)
又a>0,所以a=1,所以z=1+i.(6分)
因为z是实系数一元二次方程x2+mx+4+m=0的根,
所以(1+i)2+m(1+i)+4+m=0,即2m+4+(m+2)i=0,(9分)
所以由复数相等的充要条件得所以m=-2.(12分)
若选条件③:z(1-i)>0.
因为z=a+i,所以z(1-i)=(a+i)(1-i)=(a+1)+(1-a)i>0,(3分)
所以解得a=1,所以z=1+i.(6分)
因为z是实系数一元二次方程x2+mx+4+m=0的根,
所以(1+i)2+m(1+i)+4+m=0,即2m+4+(m+2)i=0,(9分)
所以由复数相等的充要条件得所以m=-2.(12分)
21.解析　(1)因为z1=(a+i)2=a2-1+2ai,
所以复数z1在复平面内对应的点为(a2-1,2a),(3分)
因为该点位于第二象限,所以所以0故a的取值范围为(0,1).(6分)
(2)因为a=2,所以=i,(8分)
所以+…+
=i+i2+i3+…+i2 022
=(i+i2+i3+i4)+…+(i2 017+i2 018+i2 019+i2 020)+i2 021+i2 022
=0+i+i2
=-1+i.(12分)
22.解析　(1)解法一:依题意,得(m+i)2-2(m+i)+n=0,
整理得m2-1-2)i=0,(2分)
则(4分)
解得m=,n=4.(6分)
解法二:依题意,知m-i是方程x2-2x+n=0的另一个根,(2分)
则(4分)
解得m=,n=4.(6分)
(2)由(1)知z1=+i,因为z2=1+i,
所以i,
所以A(,(9分)
所以,
所以,即O,A,C三点共线,(11分)
设B到AO的距离为d,
则=2.(12分)
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