2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--第七章 复数拔高练（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
综合拔高练
五年高考练
考点1　复数的有关概念
1.(2022全国乙理,2)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-2　　　　B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2　　　　D.a=-1,b=-2
2.(2022浙江,2)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　　)
A.a=1,b=-3　　　　B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3　　　　D.a=1,b=3
3.(2020全国Ⅲ理,2)复数的虚部是(　　)
A.-
4.(2020浙江,2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2
考点2　复数的几何意义
5.(2023新课标Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(2023北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=(　　)
A.1+I C.-1+i
7.(2021新高考Ⅱ,1)在复平面内,复数对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
考点3　复数的运算
8.(2023全国乙文,1)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.5
9.(2023新课标Ⅰ,2)已知z=,则z-=(　　)
A.-i　　　　B.i　　　　C.0　　　　D.1
10.(2023全国乙理,1)设z=,则=(　　)
A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　C.2-i　　　　D.2+i
11.(2023全国甲文,2)=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.1-i　　　　D.1+i
12.(2022新高考Ⅱ,2)(2+2i)(1-2i)=(　　)
A.-2+4i　　　　B.-2-4i　　　　C.6+2i　　　　D.6-2i
13.(2022全国甲文,3)若z=1+i,则|iz+3|=(　　)
A.4
14.(2022全国甲理,1)若z=-1+i,则=(　　)
A.-1+i　　　　
C.-i
15.(2022北京,2)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　)
A.1　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.25
16.(2022新高考Ⅰ,2)若i(1-z)=1,则z+=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
17.(2021全国乙理,1)设2(z+)=4+6i,则z=(　　)
A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　C.1+i　　　　D.1-i
18.(2023天津,10)已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2023河南名校联考)已知复数z满足(2+3i)z=1+i(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限
2.(2023福建福州模拟)已知(1+i)z=2-4i,则|z|=(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.4　　　　D.10
3.(2023山东聊城模拟)复数z在复平面内对应的点为(2,1),则=(　　)
A.1+i　　　　B.1-i　　　　C.-1+i　　　　D.-1-i
4.(多选题)(2023湖南衡阳八中月考)已知复数z1,z2满足z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i,则(　　)
A.z1=4+i
B.z2在复平面内对应的点位于第三象限
C.2z1+z2为纯虚数
D.z1z2的共轭复数为-2+9i
5.(多选题)(2022湖北八市模拟)对于方程x3=1,它的虚数根为(　　)
A.C.
6.(2023辽宁朝阳模拟)若z=-i,则=　　　　.
7.(2022福建厦门一中期中)已知复数z=m-3+(m2-9)i(i为虚数单位),若z≥0,则实数m的值为　　　　.
8.(2022广东中山一中期中)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的最小值为　　　　.
9.(2022江苏扬州中学期中)已知复数z=(m2+2m)+(m2-2m-3)i,m∈R,其中i为虚数单位.
(1)若复数z为纯虚数,求m的值;
(2)若z满足z·-4iz=9-12i,求m的值.
10.(2023陕西咸阳期中)已知复数z为纯虚数,且为实数.
(1)求复数z;
(2)设m∈R,z1=m+z,若复数在复平面内对应的点位于第三象限,求的取值范围.
迁移创新
11.(2022河北石家庄期末)某同学在解题时发现,以下三个式子的值都等于同一个常数:①,②,③(i为虚数单位).从三个式子中选择一个,求出这个常数为　　　　;根据三个式子的结构特征及计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式:　　　　　　　　　　 .
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C
9.A 10.B 11.C 12.D 13.D 14.C 15.B 16.D
17.C
1.A　依题意可得1-2i+a(1+2i)+b=0,即1+a+b+(2a-2)i=0,根据复数相等的充要条件,可得故选A.
2.B　∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.
3.D　,其虚部为.
4.C　因为a-1+(a-2)i为实数,a∈R,所以a-2=0,解得a=2,故选C.
5.A　(1+3i)(3-i)=6+8i,其对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
6.D　由题知复数z=-1+i,则i.
7.A　因为i,
所以在复平面内,复数,位于第一象限.故选A.
8.C　|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=,故选C.
9.A　z=i,∴i,∴z-=-i,故选A.
10.B　z==-(2i-1)=1-2i,则=1+2i,故选B.
11.C　=1-i.故选C.
12.D　(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.
13.D　∵z=1+i,∴iz=i-1,3=3(1-i)=3-3i,
∴iz+3=2-2i,∴|iz+3.故选D.
14.C　因为z=-1+i,
所以=i,故选C.
15.B　由i·z=3-4i可知,z==-4-3i,故|z|==5.故选B.
16.D　由题意知1-z==-i,所以z=1+i,则=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2,故选D.
17.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由2(z+)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,
所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.
18.答案　4+i
解析　=4+i.
三年模拟练
1.D 2.B 3.A 4.ABD 5.CD
1.D　由(2+3i)z=1+i,可得z=i,
故复数z对应的点为,位于第四象限.
故选D.
2.B　因为(1+i)z=2-4i,所以z==-1-3i,所以|z|=.
故选B.
3.A　因为复数z在复平面内对应的点为(2,1),
所以z=2+i,
故=i(1-i)=1+i.
故选A.
4.ABD　因为z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i,所以2z1=(3-i)+(5+3i)=8+2i,2z2=(3-i)-(5+3i)=-2-4i,解得z1=4+i,z2=-1-2i,A正确;
复数z2在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限,B正确;
2z1+z2=2(4+i)+(-1-2i)=7,为实数,C错误;
z1z2=(4+i)(-1-2i)=-2-9i,所以z1z2的共轭复数为-2+9i,D正确.
故选ABD.
5.CD　∵x3=1,∴x3-1=0,即(x-1)(x2+x+1)=0,∴x=1或x2+x+1=0.由x2+x+1=0,可得=0,即x+i,∴x=.
故选CD.
6.答案　i
解析　因为z=-i,
所以z2=i,
所以z=1,
所以i.
7.答案　3
解析　由z≥0可得z为实数,故其虚部为0,实部大于或等于0,即解得m=3.
8.答案　-1
解析　∵|z|=1,
∴z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,
|z-1-i|的几何意义为圆上的点到点P(1,1)的距离,
如图,
由图可知,|z-1-i|的最小值为|OP|-1=-1(点P到圆心O的距离|OP|减去半径).
9.解析　(1)因为复数z为纯虚数,
所以解得m=0或m=-2.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),则z·=x2+y2,
由z·-4iz=9-12i,得x2+y2-4i(x+yi)=9-12i,整理得x2+y2+4y-4xi=9-12i,所以-4x=-12且x2+y2+4y=9,解得x=3,y=0或x=3,y=-4,
所以解得m=1.
10.解析　(1)设z=bi,b≠0且b∈R,
则.
∵为实数,
∴b=-2,即z=-2i.
(2)由(1)及已知得z1=m+z=m-2i,故=(m-2i)2=m2-4-4mi,
∵在复平面内对应的点位于第三象限,∴m2-4<0且-4m<0,解得0又|z1|=,
∴2<|z1|<2,
∴,即.
11.答案　i;=i(a,b∈R,且a,b不同时为零)
解析　①=i.
②=i.
③=i.(选择其中一个即可)
根据三个式子的结构特征及计算结果,可以得到=i(a,b∈R,且a,b不同时为零).
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