2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--第七章 复数复习提升（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对复数的相关概念理解不清致错
1.(2022安徽芜湖一中期中)复数z=2-i(i为虚数单位)的虚部为(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.i　　　　D.-i
2.(2022山东泰安期中)若复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,则实数m的值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.2或3　　　　D.0或3
3.已知复数z1=-4m+1+(2m2+3m)i,z2=2m+(m2+m)i,其中m∈R,当z1>z2时,求m的值.
易错点2　不能理解复数的几何意义致错
4.(2022广东阳江期中)已知复数z满足|z|=1,则|z+2-2i|的最大值为　　　　.
5.(2022广东深圳期中)已知z∈C,且|z-i|=1,i为虚数单位,则|z-3-5i|的最大值是　　　　.
易错点3　对复数范围内方程的问题考虑不全面致错
6.已知关于x的方程x2+kx-i=0有一个根是i,求另一个根及k的值.
7.关于x的方程x2+(2a-i)x-ai+1=0有实根,求实数a的值.
思想方法练
一、函数与方程思想在解决复数问题中的应用
1.(2023山东威海期末)已知实数x,y满足(2+i)x=4+yi,则|x+yi|=(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.8
2.(2021福建福州第五中学期中)已知复数z1=2+ai(a>0)是方程x2+bx+5=0(b∈R)的一个根.
(1)求a,b的值;
(2)若复数z2满足|z2-z1|=|z2-3i|,求|z2|的最小值.
二、分类讨论思想在解决复数问题中的应用
3.若复数z=i+i2+i3+…+in,n∈N*,则|z|的最大值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.2
4.(2022上海行知中学期末)已知4kx2-4kx+k+1=0是关于x的实系数一元二次方程.若a是方程的一个根,且|a|=1,求实数k的值.
三、数形结合思想在解决复数问题中的应用
5.(多选题)对于复数z,下列说法正确的是(　　)
A.若|z+1|=|z-1|,则|z+2|的最小值为2
B.若|z+i|=|z-i|,则|z+1|的最小值为2
C.若|z+i|=|z-1|,则|z+1|的最小值为
D.若|z+1|=|z-i|,则|z+1+i|的最小值为
6.已知复数z1=2-2i,若|z|=1,z,z1在复平面内对应的点分别为Z,Z1,则||的最大值是　　　　.
四、转化与化归思想在解决复数问题中的应用
7.(2023福建宁德一中月考)若复数z=(m2+m-2)+(2m2-m-3)i(m∈R)的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限,则实数m的取值范围为　　　　.
8.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求证:μ是纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.A　复数z=2-i的虚部是-1.故选A.
易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.
2.A　因为z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,
所以所以m=2.
故选A.
易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0,且b≠0.
3.解析　因为z1>z2,所以z1,z2∈R,
则解得m=0.
易错警示　当两个复数全为实数时,可以比较大小,否则不能比较大小,只能判断是否相等.
4.答案　2+1
解析　因为复数z满足|z|=1,
所以复数z所对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,
易知|z+2-2i|表示圆上的点到点(-2,2)的距离,
又圆心到点(-2,2)的距离为2,
所以|z+2-2i|的最大值为2+1.
易错警示　根据复数的几何意义,|z|表示复数z对应的点Z到原点的距离.|z|=r(r>0)表示点Z的轨迹是以原点为圆心,r为半径的圆.|z-a-bi|(a,b∈R)表示点Z到点(a,b)的距离.在遇到与此相关的题目时,可以借助复数的几何意义从几何角度解题.
5.答案　6
解析　因为z∈C,且|z-i|=1,
所以复数z对应的点在以(0,1)为圆心,1为半径的圆上,
易知|z-3-5i|表示圆上的点到点(3,5)的距离,
故|z-3-5i|max=+1=6.
6.解析　将x=i代入原方程得i2+ki-i=0,
由此可得k=1-i,设x0是方程的另一个根,则由根与系数的关系可得x0i=-i,解得x0=-1.
易错警示　实系数一元二次方程中的虚根是以共轭复数的形式成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.
7.解析　设方程x2+(2a-i)x-ai+1=0的实根为x0,
则有+2ax0+1-(a+x0)i=0,
由复数相等的充要条件可知解得a=±1.
易错警示　只有实系数一元二次方程才能利用判别式Δ讨论方程根的存在性.对于复系数一元二次方程ax2+bx+c=0,讨论其根的情况时,应先设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将上述方程利用复数相等的充要条件转化为实数方程解决.
思想方法练
1.C 3.B 5.ACD
1.C　由(2+i)x=4+yi得2x+xi=4+yi,
根据复数相等的充要条件建立方程组求解.
∴
∴|x+yi|=|2+2i|=.故选C.
2.解析　(1)依题意得(2+ai)2+b(2+ai)+5=0,
即(4-a2+2b+5)+(4a+ab)i=0,
根据复数相等的充要条件建立方程组求解.
∴结合a>0,解得
(2)由(1)可得z1=2+i,设z2=m+ni(m,n∈R),
则|z2-z1|=,
|z2-3i|=,
∴,整理得n=m+1.
∴|z2|=,
通过变量代换,将所求问题转化为二次函数的最值问题,利用二次函数的性质进行求解,体现了函数思想.
故当m=-时,|z2|取得最小值,为.
思想方法　函数与方程思想在复数问题中的应用:一般运用方程思想解决复数分类及复数相等中的参数问题,一般应用函数思想解决复数模的最值或者范围问题,根据题目条件,结合相关复数概念列式求解.
3.B　因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i4k+4=1,k∈N,
in具有周期性,它的周期是4,确定|z|时需分n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3,n=4k+4(k∈N)四种情况讨论.
所以当n=4k+1(k∈N)时,z=i,则|z|=1,
当n=4k+2(k∈N)时,z=-1+i,则|z|=,
当n=4k+3(k∈N)时,z=-1,则|z|=1,
当n=4k+4(k∈N)时,z=0,则|z|=0.
所以|z|的最大值为.故选B.
4.解析　因为4kx2-4kx+k+1=0是关于x的实系数一元二次方程,所以k≠0,
因为a是方程4kx2-4kx+k+1=0的一个根,
所以分a是实根还是虚根两种情况讨论.
当a∈R时,由|a|=1可得a=1或a=-1,
若a=1,代入方程得4k-4k+k+1=0,解得k=-1;
若a=-1,代入方程得4k+4k+k+1=0,解得k=-.
当a为虚数时,Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k<0,解得k>0.易知方程4kx2-4kx+k+1=0的另一个根为,
故a·,因为|a|=1,所以a·=1,即=1,解得k=.
综上,k=-1或k=-或k=.
思想方法　分类讨论思想在复数问题中的应用非常广泛,如在研究与复数有关的方程问题时,要注意对根的情况进行分类讨论;in(n∈N*)具有周期性,周期为4,含有in的复数运算问题,一般会按照n被4除余数为0,1,2,3进行讨论.
5.ACD　设z=x+yi,其中x,y∈R.
对于A,因为|z+1|=|z-1|,所以复数z对应的点Z与点A(-1,0)之间的距离等于点Z与点B(1,0)之间的距离,所以点Z在虚轴上,|z+2|表示点Z与点C(-2,0)之间的距离,所以当CZ垂直于虚轴,即Z落在原点O时,|z+2|最小,为2,故A正确.
对于B,因为|z+i|=|z-i|,所以复数z对应的点Z与点E(0,-1)之间的距离等于点Z与点F(0,1)之间的距离,所以点Z在实轴上,|z+1|表示点Z与点A(-1,0)之间的距离,所以当A,Z重合时,|z+1|最小,为0,故B错误.
对于C,因为|z+i|=|z-1|,所以复数z对应的点Z与点E(0,-1)之间的距离等于点Z与点B(1,0)之间的距离,所以点Z在直线l:y=-x上,|z+1|表示点Z与点A(-1,0)之间的距离,所以当AZ⊥l时,|z+1|最小,由平面几何知识可知最小值为,故C正确.
对于D,因为|z+1|=|z-i|,所以复数z对应的点Z与点A(-1,0)之间的距离等于点Z与点F(0,1)之间的距离,所以点Z在直线l:y=-x上,|z+1+i|表示点Z与点G(-1,-1)之间的距离,所以当GZ⊥l时,|z+1+i|最小,由平面几何知识可知最小值为,故D正确.
故选ACD.
6.答案　2+1
解析　因为|z|=1,所以复数z所对应的点Z的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,易知z1所对应的点的坐标为Z1(2,-2),由图可知,||的最大值可以看成点(2,-2)与点(0,0)之间的距离再加1,最大值为2+1.
根据复数及模的几何意义,画出图形,观察图形得出最大距离即可.
思想方法　在做复数相关题目时,可以利用复数的几何意义建立复数、复平面内的点和以原点为起点的向量的关系.如在复平面内,|z|表示复数z对应的点与坐标原点间的距离,|z-(a+bi)|(a,b∈R)表示复数z对应的点与点(a,b)间的距离.
7.答案　
解析　由题意得=(m2+m-2)-(2m2-m-3)i,
∵在复平面内对应的点在第一象限,
∴解得1将复数在复平面内对应的点的位置转化为关于实数m的不等式组,进而求出m的取值范围.
故实数m的取值范围为.
8.解析　设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
(1)由题得ω=a+bi+i.
∵ω是实数,∴b-=0,
∵b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1,∴ω=2a.
又-1<ω<2,∴-∴z的实部的取值范围为.
设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.
(2)证明:μ=i.
∵a∈,b≠0,∴μ为纯虚数.
(3)ω-μ2=2a+-3,∵a∈,∴a+1>0,∴ω-μ2≥2×2-3=4-3=1,
当且仅当a+1=,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.
思想方法　转化与化归思想在复数中常表现为:把复数z设成z=a+bi(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r,θ∈R)的形式,从而将问题转化成关于实数a,b或r,θ的问题,实现复数问题实数化;利用点或者向量表示复数,从而将复数问题几何化等.
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