2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--第十章 概率（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
第十章　概率
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,则下列判断不正确的是(　　)
A.事件“都是红色卡片”是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
2.某种心脏手术的成功率为0.6,现采用随机模拟的方法估计“3例该种心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0~9之间的整数随机数,用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例该种心脏手术全部成功”的概率为(　　)
A.0.2　　　　B.0.3　　　　C.0.4　　　　D.0.5
3.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,其中n(Ω)=12,n(A)=6,n(B)=4,n(A∪B)=8,则下列结论错误的是(　　)
A.P(AB)=　　　　B.P(A∪B)=
4.甲、乙两台机器分别加工相同型号的零件一个,已知加工为A级产品的概率分别为,两个零件是否被加工为A级产品相互独立,则这两个零件中恰有一个被加工为A级产品的概率为(　　)
A.
5.已知事件A与事件B是互斥事件,则(　　)
A.P()=0　　　　B.P(A∩B)=P(A)P(B)
C.P(A)=1-P(B)　　　　D.P()=1
6.某次会议期间志愿者队伍中有2人负责接待,有3人负责组织签到.若从这5人中任选2人参加优秀志愿者评选,则选取的2人负责不同工作的概率为(　　)
A.
7.某城市2021年的空气质量状况如表所示:
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50A.
8.我们所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能的出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为(　　)
A.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.先后抛掷质地均匀的硬币两次,下列说法正确的有(　　)
A.样本空间中一共含有4个样本点
B.事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件
C.事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件
D.事件“一次正面向上一次反面向上”发生的概率是
10.现有甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子,同时抛掷这两个骰子一次,记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”,事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”,事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”,则(　　)
A.事件A,B是相互独立事件　　　　B.事件B,C是互斥事件
C.P(A)=P(B)=P(C)　　　　 D.P(ABC)=
11.现有3个代表队参加党史知识竞赛,若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为,则关于该问题的回答情况,以下说法中正确的是(　　)
A.3个队都回答正确的概率为
B.3个队都回答错误的概率为
C.恰有1个队回答正确的概率比恰有2个队回答正确的概率大
D.恰有2个队回答正确的概率比恰有1个队回答正确的概率大
12.四支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间获胜的概率都是.单循环比赛结束后,以获胜的场次数作为该队的成绩,按成绩从高到低排名次,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是(　　)
A.四支球队并列第一名为不可能事件
B.有可能出现恰有三支球队并列第一名的情况
C.恰有两支球队并列第一名的概率为
D.只有一支球队名列第一名的概率为
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某人捡到了一个形状不规则的五面体石块,他将每个面分别标上1,2,3,4,5后,投掷了100次,并且记录了每个面落在桌面上的次数,得到如表所示的数据:
五面体的面 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
据此估计落在桌面上的面的数字不小于4的概率为　　　　.
14.某次联欢会上设有一个抽奖游戏,已知抽奖箱中共有四种除颜色外形状、大小完全相同的小球16个,分别代表一等奖、二等奖、三等奖和未中奖.其中红球代表一等奖且只有1个,黄球代表三等奖,从中任取1个小球,中二等奖或三等奖的概率为.若小华同学获得一次抽奖机会,则他未中奖的概率是　　　　.
15.李雷、韩梅梅两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止.设李雷在每局中获胜的概率为p,且各局胜负相互独立.已知第2局比赛结束时比赛停止的概率为,则p=　　　　.
16.甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则第一局甲胜且第二局乙胜的概率为　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球,其中有标记为R1,R2的2个红球,标记为W1,W2的2个白球和标记为B的1个黑球,从中不放回地依次摸出2个球,观察球的颜色.
(1)写出试验的样本空间Ω,并计算n(Ω);
(2)设事件A为“取出的球为一黑一白”,求P(A).
18.(12分)为普及安全知识,某学校组织安全知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均需参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大
(2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
19.(12分)一个盒子中装有五个完全相同的小球,分别标号为1,2,3,4,5.
(1)一次性取出两个小球,求两个小球的号码之和是2的倍数的概率;
(2)有放回地取球两次,每次取一个,求两个小球的号码是相邻整数的概率;
(3)一次性取出三个小球,设其号码分别为a,b,c,求满足2b=a+c的概率.
20.(12分)从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.
(1)成绩在[80,90)内的频数、频率分别是多少
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数;(同一组中数据用该组区间中点值作代表)
(3)从成绩是80分及以上的学生中选两人,求他们的成绩在同一分数段的概率.
21.(12分)甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行,每轮比赛回答一道趣味题.在第一轮比赛中,答对题者得2分,答错题者得0分;在第二轮比赛中,答对题者得3分,答错题者得0分.已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p,在第二轮比赛中答对题的概率都为q,且在两轮比赛中答对与否互不影响,各轮结果也互不影响.设定甲、乙两人先进行第一轮比赛,然后进行第二轮比赛,甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为,乙得5分的概率为.
(1)求p,q的值;
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
22.(12分)有一种鱼的身体吸收汞,一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00 ppm(即百万分之一)的鱼被人食用后,就会对人体产生危害.现从一批这种鱼中随机选出30条,检验鱼身体中的汞含量与其体重的比值(单位:ppm),数据统计如下:
0.07　0.24　0.39　0.54　0.61　0.66　0.73　0.82　0.82　0.82
0.87　0.91　0.95　0.98　0.98　1.02　1.02　1.08　1.14　1.20
1.20　1.26　1.29　1.31　1.37　1.40　1.44　1.58　1.62　1.68
(1)求上述数据的中位数、众数、极差,并估计这批鱼该项数据的80%分位数;
(2)有A,B两个水池,两水池用10个完全相同的小孔连通,所有的小孔均在水下,且可以同时通过2条鱼.
(i)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中,若这2条鱼的游动相互独立,均有的概率进入另一水池且不再游回,求这两条鱼最终在同一水池的概率;
(ii)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中,若这2条鱼均会等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池,两鱼的游动互不影响,求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.
答案全解全析
1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C
7.A 8.C 9.ACD 10.AC 11.ABC 12.ABD
1.C　易知A、B、D中判断正确,C中的事件是随机事件,故C中判断错误.故选C.
2.A　表示“3例心脏手术全部成功”的随机数组有 569,989,共2组,
故估计“3例该种心脏手术全部成功”的概率为=0.2.
故选A.
3.D　由题意可作Venn图,如图.对于选项A,n(AB)=n(A)+n(B)-n(A∪B)=6+4-8=2,
所以P(AB)=,故A中结论正确;
对于选项B,P(A∪B)=,故B中结论正确;
对于选项C,n(B)=n(B)-n(AB)=4-2=2,所以P(,故C中结论正确;
对于选项D,n()=n(Ω)-n(A∪B)=12-8=4,所以P(,故D中结论错误.
故选D.
4.C　记两个零件中恰有一个被加工为A级产品为事件M,仅甲机器加工的零件为A级产品为事件M1,仅乙机器加工的零件为A级产品为事件M2,
则P(M)=P(M1)+P(M2)=.
故选C.
5.D　事件A与事件B是互斥事件,不一定是互斥事件,所以P()不一定为0,故A错误;
因为A∩B= ,所以P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不一定为0,故B错误;
事件A与事件B是互斥事件,不一定是对立事件,故C错误;
事件A与事件B是互斥事件,则是必然事件,所以P()=1,故D正确.
故选D.
6.C　设负责接待的2位志愿者分别为A,B,负责组织签到的3位志愿者分别为a,b,c,
则从中任选2人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,
其中2人负责不同工作的情况有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共6种,所以所求概率P=.
故选C.
7.A　由题表知空气质量为优的概率是,
由互斥事件的概率加法公式知,空气质量为良的概率为,
所以该城市2021年的空气质量达到良或优的概率P=.
故选A.
8.C　因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,所以小明父亲的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为.
当小明父亲的基因型是AA时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,它们对应的概率均为,则小明是A型血的概率为;
当小明父亲的基因型是AB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为,则小明是A型血的概率为;
当小明父亲的基因型是BB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的血型不可能是A型.
所以小明是A型血的概率为.故选C.
9.ACD　对于A,样本空间为{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4个样本点,故A正确;
对于B,两个事件能同时发生,不是互斥事件,故B错误;
对于C,两个事件有且仅有一个发生,是对立事件,故C正确;
对于D,所求概率P=,故D正确.故选ACD.
10.AC　用m,n分别表示甲、乙两个骰子朝上一面的数字,则试验的样本点可用(m,n)表示.样本点总数为6×6=36,
事件A包含的样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18个,
∴P(A)=.
事件B包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个,
∴P(B)=.
事件C包含的样本点有(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),共18个,
∴P(C)=.
事件AB包含的样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9个,
∴P(AB)=.
∵P(AB)=P(A)P(B),
∴事件A,B是相互独立事件,故A正确;
事件B与C能同时发生,故事件B与C不是互斥事件,故B错误;
P(A)=P(B)=P(C)=,故C正确;
事件ABC包含的样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9个,
∴P(ABC)=,故D错误.
故选AC.
11.ABC　对于A,3个队都回答正确的概率P1=,故A正确.
对于B,3个队都回答错误的概率P2=,故B正确.
对于C,D,P(恰有1个队回答正确)=,
P(恰有2个队回答正确)=,
∵,∴恰有1个队回答正确的概率比恰有2个队回答正确的概率大,故C正确,D错误.
故选ABC.
12.ABD　设四支足球队分别为a,b,c,d.
因为四支足球队进行单循环比赛,
所以总共进行6场比赛,比赛的结果共有26=64种.
对于A,这6场比赛中,若四支足球队在前4场比赛中各赢1场,则剩下的2场比赛中必然有两支或一支队伍获胜,那么所得成绩不可能都一样,故四支球队并列第一名是不可能事件,故A正确.
对于B,在(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d)这6场比赛中,依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b,此时a,b,c三支球队所得成绩相同,并列第一名,故B正确.
对于C,在(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d)这6场比赛中,恰有两支球队并列第一名有6种可能,若为a,b,则分两类,第一类:a赢b,有2种情况,分别是a,b,c,d,a,b和a,b,d,a,c,b,同理,第二类:b赢a,也有2种情况,即若a,b并列第一名,则有4种情况.故恰有两支球队并列第一名的概率为,故C错误.
对于D,在四支球队中选一支球队为第一名有4种可能,此时这支球队比赛的3场都胜,另外3场比赛有23=8种结果,故只有一支球队名列第一名的概率为,故D正确.
故选ABD.
13.答案　0.35
解析　由题表得落在桌面上的面的数字不小于4的频数为13+22=35,
据此估计落在桌面上的面的数字不小于4的概率为=0.35.
14.答案　
解析　从16个小球中任取1个小球,中二等奖或三等奖的概率为,
故代表二等奖和三等奖的小球共有7个,
因为代表一等奖的小球有1个,
所以代表未中奖的小球有8个,故小华同学未中奖的概率为.
15.答案　
解析　第二局比赛结束时比赛停止有两种情况:前两局李雷获胜,前两局韩梅梅获胜,∴p2+(1-p)2=,解得p=或p=(舍去).
16.答案　
解析　比赛结果为第一局甲胜且第二局乙胜,则第二局为乙执黑子先下,在第一局中谁执黑子先下需要分类讨论,
若第一局甲执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,
若第一局乙执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,
又第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,所以所求概率为.
17.解析　(1)袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球,从中不放回地依次摸出2个球,该试验的样本空间Ω={(R1,R2),(R1,W1),(R1,W2),(R1,B),(R2,W1),(R2,W2),(R2,B),(W1,W2),(W1,B),(W2,B),(R2,R1),(W1,R1),(W2,R1),(B,R1),(W1,R2),(W2,R2),(B,R2),(W2,W1),(B,W1),(B,W2)},(3分)
故n(Ω)=20.(5分)
(2)事件A包含的样本点有(W1,B),(W2,B),(B,W1),(B,W2),共4个,(8分)
所以P(A)=.(10分)
18.解析　(1)设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”,A2=“甲在第二轮比赛中胜出”,B1=“乙在第一轮比赛中胜出”,B2=“乙在第二轮比赛中胜出”,A=“甲赢得比赛”,B=“乙赢得比赛”.(1分)
则P(A1)=,
∴P(A)=P(A1)P(A2)=,(3分)
P(B)=P(B1)P(B2)=.(5分)
∵,∴派甲参赛赢得比赛的概率更大.(6分)
(2)由(1)知A∪B=“两人中至少有一人赢得比赛”.(7分)
易得P(,(9分)
∴P(A∪B)=1-P(.(12分)
19.解析　(1)一次性取出两个小球,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,(2分)
其中两个小球的号码之和是2的倍数的有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个,故所求概率P1=.(4分)
(2)有放回地取球两次,每次取一个,样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),
(2,2),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),共25个,
(6分)
其中两个小球的号码是相邻整数的有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),共8个,
故所求概率P2=.(8分)
(3)一次性取出三个小球,样本点有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),
(2,4,5),(3,4,5),共10个,(10分)
其中满足2b=a+c的有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),共4个,故所求概率P3=.(12分)
20.解析　(1)由题图可得,成绩在[50,60)内的频率为0.015×10=0.15,
成绩在[60,70)内的频率为0.025×10=0.25,
成绩在[70,80)内的频率为0.035×10=0.35,
成绩在[90,100]内的频率为0.005×10=0.05,
则成绩在[80,90)内的频率为[1-(0.15+0.25+0.35+0.05)]÷2=0.1,(2分)
其频数为40×0.1=4.(4分)
(2)估计这次竞赛成绩的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5(分).(6分)
因为0.1+0.15+0.25=0.5,所以估计这次竞赛成绩的中位数为70分.(8分)
(3)记“取出的2人的成绩在同一分数段”为事件E,
易得成绩在[80,90)内的人数为40×0.1=4,设这4个人分别为a,b,c,d,
成绩在[90,100]内的人数为40×0.05=2,设这2个人分别为A,B,(10分)
从这6人中选出2人,所有样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15个,
其中事件E包含的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),共7个,
则P(E)=.(12分)
21.解析　设A0,A2,A3,A5分别表示在一次比赛中甲得分为0分,2分,3分,5分的事件,B0,B2,B3,B5分别表示在一次比赛中乙得分为0分,2分,3分,5分的事件.
(1)因为在一次比赛中甲得2分的概率为,乙得5分的概率为,
所以(3分)
解得p=.(4分)
(2)易得P(A0)=P(B0)=,
P(A2)=P(B2)=,
P(A3)=P(B3)=,
P(A5)=P(B5)=,(6分)
设C为“‘星队’在一次比赛中的总得分为5分”,
则C=A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0,(8分)
故P(C)=P(A0B5)+P(A2B3)+P(A3B2)+P(A5B0)
=P(A0)P(B5)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A5)P(B0)
=,(11分)
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.(12分)
22.解析　(1)由题意知,数据的中位数为=1,(1分)
数据的众数为0.82,(2分)
数据的极差为1.68-0.07=1.61,(3分)
估计这批鱼该项数据的80%分位数为=1.34.(4分)
(2)(i)记“两条鱼最终均在A水池”为事件M,
则P(M)=,(5分)
记“两条鱼最终均在B水池”为事件N,
则P(N)=.(6分)
∵事件A与事件B互斥,
∴两条鱼最终在同一水池的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=.(8分)
(ii)记“两条鱼同时从第一个小孔通过”为事件C1,“两条鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2,……,“两条鱼同时从第十个小孔通过”为事件C10,
∵两鱼的游动互不影响,且等可能地从其中任意一个小孔通过,
∴P(C1)=P(C2)=…=P(C10)=.(10分)
记“两条鱼由不同小孔从A水池进入B水池”为事件C,
则C与C1∪C2∪…∪C10对立,
又事件C1,C2,…,C10互斥,
∴P()=P(C1∪C2∪…∪C10)=10×,
故P(C)=1-P(.(12分)
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