2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--第十章 概率复习提升（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
本章复习提升
易混易错练
易错点1　混淆“互斥事件”与“对立事件”致错
1.(2023山东济宁期中)抛掷一枚骰子,向上的一面的点数中
①“大于3点”与“小于2点”;
②“大于3点”与“小于3点”;
③“大于3点”与“小于4点”;
④“大于3点”与“小于5点”.
其中是互斥事件但不是对立事件的有(　　)
A.①②　　　　B.①②③　　　　C.③④　　　　D.①③④
易错点2　列举样本点时出现重复或者遗漏而致错
2.(2022湖南衡阳期末)同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足x+y=4的概率为(　　)
A.
3.(2022湖南邵阳期末)袋子中有5个大小、质地完全相同的球,其中2个红球,3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,则摸出的2个球都是黄球的概率为　　　　.
易错点3　使用概率公式未注意事件的关系而致错
4.(2022山东菏泽鄄城第一中学月考)口袋中装有编号分别为①、②的2个红球和编号分别为①、②、③、④、⑤的5个黑球,小球除颜色、编号外,形状大小完全相同,现从中取出1个小球,记事件A为“取到的小球的编号为②”,事件B为“取到的小球是黑球”,则P(A∪B)=　　　　.
5.(2022云南玉溪第一中学期中)垃圾分类一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益.小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动,每轮活动由小明和小亮各答一道题,已知小明每轮答对的概率为p,小亮每轮答对的概率为,且每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响,各轮结果也互不影响,一轮活动中“明亮队”至少答对1道题的概率为.
(1)求p的值;
(2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率.
思想方法练
一、分类讨论思想在解决概率问题中的运用
1.(2022安徽六安中学期中)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是:每车每次租用时间不超过2小时免费,超过2小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人来该租车点租车骑游(两人互不影响),设甲、乙不超过2小时还车的概率分别为,2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为,两人租车时间都不会超过4小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率.
二、转化与化归思想在解决概率问题中的运用
2.已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的概率为0.1,则甲射击一次,命中6环以下(含6环)的概率为　　　　.
3.(2022重庆璧山中学月考)盒子里有5个球,其中3个红球,2个白球,从中任取2个球,则至少有1个白球的概率为　　　　.
三、数形结合思想在解决概率问题中的运用
4.(2023河南南阳华龙高级中学月考)六一儿童节有A,B,C,D四位小朋友去看电影,应分别坐在a,b,c,d四个座位上,当四位小朋友均未留意,在四个座位上随便就座时,求:
(1)这四位小朋友恰好都坐在自己的座位上的概率;
(2)这四位小朋友都没坐在自己的座位上的概率;
(3)这四位小朋友恰好有1人坐在自己的座位上的概率.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.A　对于①,“大于3点”与“小于2点”不能同时发生,但能同时不发生,是互斥不对立事件,故①符合;
对于②,“大于3点”与“小于3点”不能同时发生,但能同时不发生,是互斥不对立事件,故②符合;
对于③,“大于3点”与“小于4点”不能同时发生,但必有一个发生,是互斥且对立事件,故③不符合;
对于④,“大于3点”与“小于5点”能同时发生,比如向上的一面为4点,故不是互斥事件,故④不符合.
故选A.
易错警示　要正确理解“恰有”“至少”“至多”“都”等词语.判断两个事件是否互斥,就要看它们是否能同时发生;判断两个互斥事件是否对立,就要看它们是否有一个必然发生.对立事件一定是互斥事件,而互斥事件却不一定是对立事件.
2.C　数对(x,y)的所有可能结果有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9个,其中满足x+y=4的数对有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,
故所求概率为.
故选C.
易错警示　解决古典概型问题的关键是准确确定随机试验,不重不漏地列出所有样本点,求解某个事件的概率时,首先要理解这个事件,并把这个事件包含的样本点全部列出来.
3.答案　
解析　由题意可给这五个球分别标上号码,红球分别为1,2,黄球分别为3,4,5,
不放回地依次随机摸出2个球的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个,
其中摸出的2个球都是黄球的情况有(3,4),(3,5),(4,3),(4,5),(5,3),(5,4),共6个,
故摸出的2个球都是黄球的概率为.
易错警示　对于抽样结果,要分清是放回抽样还是不放回抽样.对于不放回抽样,可以看作有顺序,也可以看作无顺序,注意整体要统一起来.对于放回抽样,一般是看作有顺序的.
4.答案　
解析　易得P(A)=,P(A∩B)=,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=.
(事件A,B不是互斥事件)
易错警示　求A∪B的概率时,要注意判断事件A与B的关系:当事件A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B);当事件A与B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
5.解析　(1)设事件A为“一轮活动中小明答对1道题”,事件B为“一轮活动中小亮答对1道题”,
则P(A)=p,P(B)=.
设事件C为“一轮活动中‘明亮队’至少答对1道题”,则,
由于每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响,所以A与B相互独立,所以相互独立,
所以P(,所以p=.
(2)设事件Ai为“两轮活动中小明答对了i道题”,事件Bi为“两轮活动中小亮答对了i道题”,i=0,1,2.
由题意得P(A1)=,
P(A2)=,
P(B1)=,
P(B2)=.
设事件E为“‘明亮队’在两轮活动中答对3道题”,则E=A1B2+A2B1.
由于Ai和Bi相互独立,A1B2与A2B1互斥,
所以P(E)=P(A1B2+A2B1)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=.
所以“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为.
易错警示　解决本题的关键是准确区分互斥事件与相互独立事件,正确选用加法公式和乘法公式.
思想方法练
1.解析　(1)按甲、乙两人的租车时间均未超过2小时,均超过2小时且不超过3小时,均超过3小时三种情况分类讨论求解.
甲、乙两人的租车时间均未超过2小时的概率P1=,
甲、乙两人的租车时间均超过2小时且不超过3小时的概率P2=,
甲、乙两人的租车时间均超过3小时的概率P3=,
故甲、乙两人所付租车费用相同的概率P4=P1+P2+P3=.
(2)按甲免费、乙租车费用为4元,乙免费、甲租车费用为4元,甲、乙租车费用均为2元三种情况分类讨论求解.
甲免费、乙租车费用为4元的概率P5=,
乙免费、甲租车费用为4元的概率P6=,
甲、乙租车费用均为2元的概率P7=,
故甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率P8=.
思想方法　在概率问题中,事件具有不确定性,包含多种情况,常常需要分类,注意选择正确的分类标准,做到不重不漏.
2.答案　0.2
解析　设“命中9环以上(含9环)”为事件A,“命中8环”为事件B,“命中7环”为事件C,“命中6环以下(含6环)”为事件D,则D与A∪B∪C互为对立事件.
转化为对立事件的概率,进而求解.
易知P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.1,且A,B,C两两互斥,
所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,
所以P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.8=0.2.
3.答案　
解析　用A1,A2,A3表示3个红球,用B1,B2表示2个白球,则从中任取2个球的样本空间Ω={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点.
设“从中任取2个球,至少有1个白球”为事件A,则它的对立事件是“1个白球也没有”,
事件A所含样本点较多,故转化为求它的对立事件的概率.
因为={A1A2,A1A3,A2A3},
所以P(,
故P(A)=1-P(.
思想方法　转化与化归思想在概率问题中的应用主要体现在:
(1)正难则反:当直接计算的事件比较复杂时,可转化为其对立事件的概率进行求解.
(2)化繁为简:对复杂事件进行分解,将需要计算概率的事件分解为互斥的几类简单事件.
4.解析　本题属于对号入座问题,情况较为复杂,没有明显规律,为清楚地列举出所有可能的基本事件,可利用数形结合思想,借助树状图处理.
A,B,C,D四位小朋友就座情况用下面的树状图表示.
由图可知,本题中的等可能基本事件共有24个.
(1)记“这四位小朋友恰好都坐在自己的座位上”为事件E,由图知事件E只包含1个基本事件,所以P(E)=.
(2)记“这四位小朋友都没坐在自己的座位上”为事件F,由图可知事件F包含9个基本事件,所以P(F)=.
(3)记“这四位小朋友恰好有1人坐在自己的座位上”为事件G,由图可知事件G包含8个基本事件,所以P(G)=.
思想方法　数形结合思想在概率问题中的应用主要体现在利用树状图列举样本点.当样本点没有明显的规律,而且数量又不是太多时,可借助树状图直观地将其表示出来.
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