广西南宁市青秀区凤岭北路中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷

广西南宁市青秀区凤岭北路中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·青秀开学考）若零下摄氏度记为，则零上摄氏度记为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解： 若零下摄氏度记为-2℃，则零上摄氏度记为+2℃.
故答案为：C.
【分析】根据正数和负数的意义可求解.
2．（2023·广西） 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．（2023·广西） 若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据分式的分母不能为0，建立不等式，求解即可.
4．（2023·广西）在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示为：
，
故选：C．
【分析】利用小于向左边画，含等号用实心圆点，据此可得答案.
5．（2023九上·青秀开学考）甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：S甲2=2.1，S乙2=3.5，S丙2=9，S丁2=0.7，
而0.7＜2.1＜3.5＜9，
∴成绩最稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据方差越小成绩越稳定可求解.
6．（2023九上·青秀开学考）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC∥BD，
∴∠A=∠B=130°.
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行内错角相等可求解.
7．（2023·广西） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对D作出判断.
8．（2021·梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）
A．10.5 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=DC
∴AB=AD+BD=AD+DC=9
∵AC=6
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15
故答案为：C
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=DC，根据AB的长，可得到AD+DC=9，由此可求出△ACD的周长.
9．（2023九上·青秀开学考）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线为：
y=(x-3)2+4.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左减右加、上加下减”可求解.
10．（2022·柳州）如图，直线 分别与 轴、 轴交于点 和点 ，直线 分别与 轴、 轴交于点 和点 ，点 是 内部 （包括边上）的一点，则 的最大值与最小值之差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解： 点 是 内部 （包括边上）的一点，
点 在直线 上，如图所示，
当 为直线 与直线 的交点时， 取最大值，
当 为直线 与直线 的交点时， 取最小值，
中令 ，则 ，
中令 ，则 ，
的最大值为 ， 的最小值为 ．
则 的最大值与最小值之差为： ．
故答案为：B.
【分析】 易得点P在直线y=2上，当P为直线y=2与直线y2的交点时，m取最大值；当P为直线y=2与直线y1的交点时，m取最小值，分别将y=2代入y1、y2中求出x的值，得到m的最大值与最小值，然后作差即可.
11．（2023·广西） 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，
3.2（1+x）2=3.7.
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为： 2020年全国居民人均可支配收入×（1+增长率） 2= 2022年全国居民人均可支配收入，据此列方程即可.
12．（2023九上·青秀开学考）定义一种运算：，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：当2x+1≥2-x时，
，
解得：x＞1；
当2x+1＜2-x时，
解得：x＜-1；
综上：不等式的解集为：x＞1或x＜-1.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：当2x+1≥2-x时，可得不等式组：；当2x+1＜2-x时，可得不等式组：，分别解这两个不等式组即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13．（2019七上·余杭月考）= 　 　
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的概念直接解答即可
14．（2023·广西） 分解因式：a2 + 5a =　 　.
【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
15．（2023·广西） 函数的图象经过点，则　 　．
【答案】1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：解：∵ 函数的图象经过点 ，
∴2k+3=5，
解之：k=1.
故答案为：1
【分析】将点（2，5）代入函数解析式，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
16．（2018·南宁）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是　 　．
【答案】4
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，
∴x=5，
则这组数据为1、3、3、5、5、6，
∴这组数据的中位数为 =4，
故答案为：4．
【分析】众数是3和5，表示数据中3和5出现的次数是相同的，因为数据3出现2次，所以数据5也出现2次，则x=5，从而得出这组数据从小到大排列为1、3、3、5、5、6，一共有6个数，则中位数是从小到大排列（或从大到小排列）的第3个数和第4个数的平均数。
17．（2020·柳州）如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形.第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有　 　个菱形.
【答案】11
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.
第2幅图中有2×2﹣1＝3个.
第3幅图中有2×3﹣1＝5个.
第4幅图中有2×4﹣1＝7个.
….
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.
故第n幅图中共有（2n﹣1）个.
当n＝6时，2n﹣1＝2×6﹣1＝11，
故答案为：11.
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案.
18．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西） 计算：．
【答案】解：
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】此题的运算顺序为：先算乘方运算和括号里的运算，再算乘除法运算，然后利用有理数的加法法则进行计算.
20．（2023·广西） 解分式方程：．
【答案】解：
去分母得，
移项，合并得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，方程两边同时乘以x（x-1），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可.
21．（2023九上·青秀开学考）如图，已知点为的边上的一点，且．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点不写作法，保留作图痕迹；
（2）连接，若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）
（2）证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCME是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠EBM=∠EMB，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCME是菱形.
22．（2023九上·青秀开学考）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩进行统计分析分及分以上为合格数据整理如图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数
中位数
众数
合格率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中，，的值；
（2）若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
【答案】（1）解：由扇形统计图可得，
，，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，
故中位数是，
由上可得，，，；
（2）解：人，
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为人；
（3）解：根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图可求得a、b的值；
由条形统计图可求得c的值；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样.
23．（2016九上·罗平开学考）如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）
（2）证明：由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形ABCD，易得四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；（2）由（1），易证得BC=ED，即可证得四边形BECD是矩形．
24．（2023九上·青秀开学考）如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为，宽为．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】（1）解：设通道宽度为，
依题意得，即
解得，舍去
答：通道的宽度为．
（2）解：设每次降价的百分率为，
依题意得
解得，舍去
答：每次降价的百分率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设通道宽度为xm，根据题意可知矩形停车场的长和宽分别为（60-2x）m、（40-2x）m，由矩形的面积等于长×宽=1500可得关于x的方程，解方程可求解；
（2）设每次降价的百分率为x，根据降价后的量=降价前的量×（1-降价的百分率）2可列方程求解.
25．（2023九上·青秀开学考）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤组与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米．
任务一：确定和的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
（2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
（3）根据(1)和(2)所列方程，求出和的值；
（4）任务二：确定刻线的位置．
根据任务一，求关于的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】（1）解：由题意得：，，
，，
，
；
（2）解：由题意得：，，
，
；
（3）解：由可得：，
解得：；
（4）解：由可知：，，
，
；
（5）解：由可知：，
当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
相邻刻线间的距离为厘米．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据秤盘不放重物，秤砣在零刻线时可得：m=0，y=0，把m=0，y=0，m0=10，M=50代入杠杆原理“（m0+m）l=M（a+y）”可得l与a之间的关系式；
（2）由题意把m=1000，y=50代入杠杆原理“（m0+m）l=M（a+y）”可求解；
（3）由（1）和（2）可得关于l、a的方程组，解方程组可求解；
（4）把（3）中求得的a、l的值和m0=10，M=50代入杠杆原理“（m0+m）l=M（a+y）”整理可得l与a之间的关系式；
（5）根据（4）中l与a之间的关系式并结合题意计算即可求解.
26．（2023九上·青秀开学考）
（1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图，在中，延长、分别是、的中点到点，使得，连接；
第二步证明≌，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是　 　；直接填写结果
（2）问题解决
如图，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
（3）拓展研究
如图，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
【答案】（1）
（2）解：延长交的延长线于点，则：
，，
点是的中点，
，
≌，
，，
又，
．
（3）解：延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点，
同理可证，≌，
，，
，
，
，得为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边易证△ADE≌△CFE，可得BD=CF，BD∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDFC是平行四边形，然后可得BC=2DE；
（2）延长GE交CD的延长线于点H，由题意用角角边易证△AEG≌△DEH，可得GE=EH，HD=AG，然后根据线段的构成GF=HF=HD+DF可求解；
（3）延长GE至点M，使得EM=EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N，易证△AEG≌△DEH，结合已知可得△MDN是等腰直角三角形，用勾股定理可求得MN=DN的值，于是由线段的构成NF=ND+FD求出Nf的值，在直角三角形MNF中，用勾股定理可求得Mf的值，则GF=MF可求解.
1 / 1广西南宁市青秀区凤岭北路中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·青秀开学考）若零下摄氏度记为，则零上摄氏度记为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·广西） 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·广西） 若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·广西）在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·青秀开学考）甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2023九上·青秀开学考）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·广西） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）
A．10.5 B．12 C．15 D．18
9．（2023九上·青秀开学考）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022·柳州）如图，直线 分别与 轴、 轴交于点 和点 ，直线 分别与 轴、 轴交于点 和点 ，点 是 内部 （包括边上）的一点，则 的最大值与最小值之差为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023·广西） 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023九上·青秀开学考）定义一种运算：，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．
C．或 D．或
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13．（2019七上·余杭月考）= 　 　
14．（2023·广西） 分解因式：a2 + 5a =　 　.
15．（2023·广西） 函数的图象经过点，则　 　．
16．（2018·南宁）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是　 　．
17．（2020·柳州）如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形.第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有　 　个菱形.
18．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西） 计算：．
20．（2023·广西） 解分式方程：．
21．（2023九上·青秀开学考）如图，已知点为的边上的一点，且．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点不写作法，保留作图痕迹；
（2）连接，若，求证：四边形是菱形．
22．（2023九上·青秀开学考）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩进行统计分析分及分以上为合格数据整理如图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数
中位数
众数
合格率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中，，的值；
（2）若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
23．（2016九上·罗平开学考）如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
24．（2023九上·青秀开学考）如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为，宽为．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
25．（2023九上·青秀开学考）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤组与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米．
任务一：确定和的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
（2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
（3）根据(1)和(2)所列方程，求出和的值；
（4）任务二：确定刻线的位置．
根据任务一，求关于的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
26．（2023九上·青秀开学考）
（1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图，在中，延长、分别是、的中点到点，使得，连接；
第二步证明≌，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是　 　；直接填写结果
（2）问题解决
如图，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
（3）拓展研究
如图，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解： 若零下摄氏度记为-2℃，则零上摄氏度记为+2℃.
故答案为：C.
【分析】根据正数和负数的意义可求解.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据分式的分母不能为0，建立不等式，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示为：
，
故选：C．
【分析】利用小于向左边画，含等号用实心圆点，据此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：S甲2=2.1，S乙2=3.5，S丙2=9，S丁2=0.7，
而0.7＜2.1＜3.5＜9，
∴成绩最稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据方差越小成绩越稳定可求解.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC∥BD，
∴∠A=∠B=130°.
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行内错角相等可求解.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对D作出判断.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=DC
∴AB=AD+BD=AD+DC=9
∵AC=6
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15
故答案为：C
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=DC，根据AB的长，可得到AD+DC=9，由此可求出△ACD的周长.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线为：
y=(x-3)2+4.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左减右加、上加下减”可求解.
10．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解： 点 是 内部 （包括边上）的一点，
点 在直线 上，如图所示，
当 为直线 与直线 的交点时， 取最大值，
当 为直线 与直线 的交点时， 取最小值，
中令 ，则 ，
中令 ，则 ，
的最大值为 ， 的最小值为 ．
则 的最大值与最小值之差为： ．
故答案为：B.
【分析】 易得点P在直线y=2上，当P为直线y=2与直线y2的交点时，m取最大值；当P为直线y=2与直线y1的交点时，m取最小值，分别将y=2代入y1、y2中求出x的值，得到m的最大值与最小值，然后作差即可.
11．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，
3.2（1+x）2=3.7.
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为： 2020年全国居民人均可支配收入×（1+增长率） 2= 2022年全国居民人均可支配收入，据此列方程即可.
12．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：当2x+1≥2-x时，
，
解得：x＞1；
当2x+1＜2-x时，
解得：x＜-1；
综上：不等式的解集为：x＞1或x＜-1.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：当2x+1≥2-x时，可得不等式组：；当2x+1＜2-x时，可得不等式组：，分别解这两个不等式组即可求解.
13．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的概念直接解答即可
14．【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
15．【答案】1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：解：∵ 函数的图象经过点 ，
∴2k+3=5，
解之：k=1.
故答案为：1
【分析】将点（2，5）代入函数解析式，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
16．【答案】4
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，
∴x=5，
则这组数据为1、3、3、5、5、6，
∴这组数据的中位数为 =4，
故答案为：4．
【分析】众数是3和5，表示数据中3和5出现的次数是相同的，因为数据3出现2次，所以数据5也出现2次，则x=5，从而得出这组数据从小到大排列为1、3、3、5、5、6，一共有6个数，则中位数是从小到大排列（或从大到小排列）的第3个数和第4个数的平均数。
17．【答案】11
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.
第2幅图中有2×2﹣1＝3个.
第3幅图中有2×3﹣1＝5个.
第4幅图中有2×4﹣1＝7个.
….
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.
故第n幅图中共有（2n﹣1）个.
当n＝6时，2n﹣1＝2×6﹣1＝11，
故答案为：11.
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
19．【答案】解：
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】此题的运算顺序为：先算乘方运算和括号里的运算，再算乘除法运算，然后利用有理数的加法法则进行计算.
20．【答案】解：
去分母得，
移项，合并得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，方程两边同时乘以x（x-1），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可.
21．【答案】（1）
（2）证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCME是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠EBM=∠EMB，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCME是菱形.
22．【答案】（1）解：由扇形统计图可得，
，，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，
故中位数是，
由上可得，，，；
（2）解：人，
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为人；
（3）解：根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图可求得a、b的值；
由条形统计图可求得c的值；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样.
23．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）
（2）证明：由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形ABCD，易得四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；（2）由（1），易证得BC=ED，即可证得四边形BECD是矩形．
24．【答案】（1）解：设通道宽度为，
依题意得，即
解得，舍去
答：通道的宽度为．
（2）解：设每次降价的百分率为，
依题意得
解得，舍去
答：每次降价的百分率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设通道宽度为xm，根据题意可知矩形停车场的长和宽分别为（60-2x）m、（40-2x）m，由矩形的面积等于长×宽=1500可得关于x的方程，解方程可求解；
（2）设每次降价的百分率为x，根据降价后的量=降价前的量×（1-降价的百分率）2可列方程求解.
25．【答案】（1）解：由题意得：，，
，，
，
；
（2）解：由题意得：，，
，
；
（3）解：由可得：，
解得：；
（4）解：由可知：，，
，
；
（5）解：由可知：，
当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
相邻刻线间的距离为厘米．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据秤盘不放重物，秤砣在零刻线时可得：m=0，y=0，把m=0，y=0，m0=10，M=50代入杠杆原理“（m0+m）l=M（a+y）”可得l与a之间的关系式；
（2）由题意把m=1000，y=50代入杠杆原理“（m0+m）l=M（a+y）”可求解；
（3）由（1）和（2）可得关于l、a的方程组，解方程组可求解；
（4）把（3）中求得的a、l的值和m0=10，M=50代入杠杆原理“（m0+m）l=M（a+y）”整理可得l与a之间的关系式；
（5）根据（4）中l与a之间的关系式并结合题意计算即可求解.
26．【答案】（1）
（2）解：延长交的延长线于点，则：
，，
点是的中点，
，
≌，
，，
又，
．
（3）解：延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点，
同理可证，≌，
，，
，
，
，得为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边易证△ADE≌△CFE，可得BD=CF，BD∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDFC是平行四边形，然后可得BC=2DE；
（2）延长GE交CD的延长线于点H，由题意用角角边易证△AEG≌△DEH，可得GE=EH，HD=AG，然后根据线段的构成GF=HF=HD+DF可求解；
（3）延长GE至点M，使得EM=EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N，易证△AEG≌△DEH，结合已知可得△MDN是等腰直角三角形，用勾股定理可求得MN=DN的值，于是由线段的构成NF=ND+FD求出Nf的值，在直角三角形MNF中，用勾股定理可求得Mf的值，则GF=MF可求解.
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