四川省成都市武侯区重点学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷
1．（2023九上·武侯开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 A：直角三角形 ，不一定是轴对称图形也不一定是中心对称图形，故A错误；
B：等边三角形 ，是轴对称图形但不是中心对称图形，故B错误；
C：平行四边形 ，是中心对称图形但不是轴对称图形，故C错误；
D：矩形 ，既是轴对称图形也是中心对称图形，故D正确；
正确答案：D.
【分析】常见几何图形对称性的判断，关于直线对称的是轴对称图形，关于点对称的是中心对称图形。
2．（2021九上·成都期末）若线段 ， ， ， 是成比例线段，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d
∴
∵ ，
，
，
∴
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的概念可得a：b=c：d，然后表示出d，接下来将a、b、c的值代入计算即可.
3．（2017·历下模拟）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．
故选D．
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
4．（2023九上·武侯开学考）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由题知k=-1×2=-2，
A： ，∵故A错误；
B： ，∵2×（-1）=-2，故B正确；A、C、D错误
故答案为：B.
【分析】首先把已知点代入反比例函数解析式确定未知系数k的值，然后把四个选项所给点的坐标依次代入反比例函数解析式，成立的在反比例函数图象上，不成立则不在。
5．（2021·渠县模拟）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2=121.
故答案为：C.
【分析】设平均每次提价的百分率为x，由题意可得第一次提价后的价格为100(1+x)，第二次提价后的价格为100(1+x)2，然后根据 经过两次提价后的价格为121元就可列出方程.
6．（2022八下·花都期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：四边相等的四边形是菱形，故A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B，C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
7．（2023·泉州模拟）如图，在正方形中，点分别在边和上，，垂足为G，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∵
∴
∴
∵
∴设，则
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD，由垂直的概念可得∠AGB=90°，根据等角的余角相等可得∠ABE=∠DAF，利用ASA证明△ABE≌△DAF，得到BE=AF，根据已知条件可设ED=x，AE=2x，则AD=3x，利用勾股定理可得BE，根据等面积法可得AG，由GF=AF-AG表示出GF，据此求解.
8．（2021·河东模拟）设 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
9．（2023九上·武侯开学考）已知，则 ．
【答案】2
【知识点】比例的性质；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵，∴
∴，
答案：2.
【分析】由已知把一个未知数用另一个未知数表示，代入所求代数式化简求值；或应用比例性质求解。
10．（2023九上·武侯开学考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵比例系数k=4，
∴每一象限内，y随x的增大而减小，
∴
或分别把-1、3、5分别代入反比例函数解析式得x1-4，x2=，x3=，
∵，
∴ .
故答案为：.
【分析】利用反比例函数的性质已知函数值比较自变量的大小；或者代入法确定自变量的值，再比较其大小。
11．（2023九上·武侯开学考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，则和的面积比是 ．
【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
故答案为：4∶9.
【分析】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
12．（2021九上·孝南月考）现定义运算“★”，对于任意实数a，b， 都有a★ ， 如：3★ ，若x★ ，则实数x的值是 .
【答案】4或﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，
∴x★2＝x2﹣3x+2，
∵x★2＝6，
∴x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1.
故答案为：4或﹣1.
【分析】由定义的新运算列出方程，再利用因式分解法解方程即可.
13．（2023八下·沈丘期末）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点M，N．记的面积为S1，的面积为S2，若正方形的边长，S1=16，则S2的大小为 ．
【答案】9
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，
∴OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠COF，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9.
【分析】根据正方形性质得：OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOF=90°，推出∠EOB=∠COF，求证即可.
14．（2023九上·武侯开学考）（1）分解因式：．
（2）计算：．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】实数的运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】⑴、分解因式观察多项式若有公因式先提公因式，再考虑应用公式；且因式分解必须分解到每一个多项式因式不能分解为止；
⑵、实数的运算，根据题目明显要求掌握开立方、绝对值、以及特殊角的三角函数值等计算。
15．（2023九上·武侯开学考）解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：整理成一般式，得：，
，，，
，
则，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）、解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程；
（2）、整理一元二次方程，并会公式法解一元二次方程。
16．（2021·成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长.（结果精确到1米；参考数据： ）
【答案】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x，
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF= ，
∴解得 米，
经检验 米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，结合已知可知四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，由矩形的性质可得FN=ED=AB，AD=BE；由等腰直角三角形的性质得MF=EF=x，由线段的构成FB=FE+EB可将FB用含x的代数式表示出来，根据锐角三角函数tan∠MBF=可得关于x的方程，解方程求得x的值，再根据线段的构成MN=MF+FN可求解.
17．（2023·温州）如图，已知矩形ABCD，点在CB延长线上，点在BC延长线上，过点作交ED的延长线于点，连结AF交EH于点.
（1）求证：.
（2）当时，求EF的长.
【答案】（1）证明：，
∴∠E=∠GFE，
四边形ABCD是矩形，
，
，
∴BF=CE，
∴BF-BC=CE-BC，
即BE=CF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠DCB=90°，BC=AD=4，
∵FH⊥BF，
∴∠HFB=∠DCB=90°，
∴CD∥FH，
∴△DCE∽△HFE，
∴，
∴.
设BE=CF=x，则CE=x+4，EF=2x+4，
，
解得x=1，
∴EF=6.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GE=GF=GH，由等边对等角得∠E=∠GFE，由矩形的性质得AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，从而用AAS判断出△ABF≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得BF=CE，此题得解了；
（2）由矩形的性质得AB=CD，∠DCB=90°，BC=AD=4，易得CD∥FH，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△DCE∽△HFE，由相似三角形对应边成比例、等量代换及已知可得，设BE=CF=x，则CE=x+4，EF=2x+4，从而代入可得关于x的方程，求解得出x的值，此题得解.
18．（2023·临淄模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式的解集为 ．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵在上，所以，
∴A的坐标是，
把代入，得：
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，设直线与x轴的交点为C，
把代入得：，
解得，
∴C的坐标是，
∵P为x轴上一点，且的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当P在负半轴上时，P的坐标是，
当P在正半轴上时，P的坐标是，
即P的坐标是或．
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为或
故答案为：或
【分析】（1）将点B的坐标代入求出m的值，再求出点A的坐标，最后将点A、B的坐标代入求出k、b的值即可；
（2）根据，可得，求出，再分类求出点P的坐标即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
19．（2020·枣庄）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝ ．
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（a+b）2＝32＝9，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝2，
ab＝1，
故答案为1．
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
20．（2021·铁西模拟）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的范围
【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程mx2-8x+16=0是关于x的一元二次方程
∴m≠0
∵一元二次方程mx2-8x+16=0有两个不相等的实数根
∴
解得：m<1
∴m<1且m≠0
故答案为：m<1且m≠0
【分析】首先方程是一元二次方程，则二次项系数不为零，即m≠0；再有一元二次方程有两个不相等的实数根，从而 ．由这两个条件即可求出m的取值范围．
21．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图形知：tan∠ACB= = ，
故答案为： ．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
22．（2023九上·武侯开学考）在矩形中，，，如图所示折叠矩形纸片使点落在边上一点处，折痕端点、分别在边、上，则当折痕端点恰好与点重合时，的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】当折痕端点恰好与点重合时 ，易知CE=CD=AB=5，在Rt△CEB中，
∴
∴AE=AB-BE=5-4=1，
故答案为：1.
【分析】由折叠可知△FDG全等于△FEG，所以全等三角形的性质皆可应用，又点F与点C重合，可知三角形FEB是直角三角形，可用勾股定理求BE，进而求AE长。
23．（2023八下·吉首期末）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，
∴EB=GC=GD=EA=3，
∴GA=5，
∴四边形DGEA为矩形，
∴O为ED的中点，GO为点P的运动轨迹，
∴当PB⊥GO时，PB存在最小值，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，先根据矩形的性质得到CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，进而结合题意即可得到GA=5，再根据矩形的判定与性质结合三角形的面积公式即可求解。
24．（2023九上·武侯开学考）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为平方米的矩形场地若矩形场地的一边靠墙墙长米，另外三边由总长为米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为米的入口和出口如图请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？
【答案】解：设矩形场地的长为米，则宽为米，
由题意得：，
，
，
，
解得：或舍去，
，
矩形场地的长为米，宽为米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】列一元二次方程解答图形面积问题，关键设长方形长为x米后，会根据图形计算长方形的宽，长方形的宽不能忘了入口或出口宽，且要检验方程的解要符合实际意义。
25．（2021八下·龙泉驿期末）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为DC右侧一点，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）.连接AE.
（1）若∠CDE＝20°.求∠DAE的度数；
（2）过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，求证AE＝ AP；
（3）在（2）的条件下，AP与BC交于点F，当BF＝FC时，求CE的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC， ，
∵DE=DC，
∴DE=DA，
∵∠CDE＝20°，
∴ ，
∴
（2）解：设 ， ，
在正方形ABCD中，且过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，
，
∴ ，
∵∠AFP=∠CFP，
∴∠FCP=∠BAF=y，∠2= ，
∵DC=DE，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
即 ，
∴ ，
∴∠PAE=∠PEA，
∴PA=PE，
在 中， ，
∴ AE＝ AP
（3）解：过点D作 ，垂足为点K，
则 ，
，
由（2）得： ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴DC=BC=AB=2，
∵BF＝FC，
∴BF=1，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵DC=DE，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得DA=DC，∠ADC=90°，同时可推出DE=DA，求出∠ADE的度数，然后根据三角形的内角和定理求出∠DAE的度数.
（2）设∠DAE=∠DEA=x，∠BAF=y，在正方形ABCD中，且过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，利用正方形的性质可得到四个角是直角，同时可证得∠2+∠FCP=90°，再表示出∠BAF，∠2，利用等腰三角形的性质可表示出∠DEC，再利用三角形的外角性质，建立方程，可得到∠DAE+∠BAF=45°，从而可求出∠PAE=45°；然后证明∠PAE=∠PEA，利用等角对等边，可证得PA=PE，利用勾股定理可得到AE与AP之间的数量关系.
（3）过点D作DK⊥EP于点K，利用余角的性质可得∠AFB=∠PFC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△DKC；再利用正方形的性质及勾股定理求出AF的长，代入比列式，可求出CK的长；然后根据等腰三角形的性质，可证得CE=2CK，即可求出CE的长.
26．（2023九上·武侯开学考）如图，已知矩形，点在边上，连接，过作于点，连接，过作，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，且点为的中点，求的长；
（3）若，且平分，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
又，
，
，即，
，，
，
，
；
（2）解点为的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
，
；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：(3)由可知：，
，
，，
，
，
，
，
设，则，设，则，
如图，过点作，交的延长线于，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】⑴、由已知矩形四个角是直角以及题目两垂直，可得若干组互余两角，根据余角的性质可以找到两组等角，故可判断两三角形相似；
⑵、因为点E是CD的中点，所以CE等于二分之一CD长，然后直角三角形BCE中，勾股定理可求BE长，再利用面积法求CM的长度，利用相似或等角的锐角三角函数求BM长，最后利用上一小题两相似三角形计算NC的长度，进而求得BN长；
⑶、由一小题论证的两三角形相似，以及直角三角形斜边上的高分直角三角形所成两三角形与原三角形相似，由相似三角形性质及等式性质可得再添加辅助线BH平行于MC交MN延长线于点H构造相似三角形和等腰直角三角形（或三角形内角平分线定理），进一步推理得出CN∶BN=1∶3，进而可以求得CN∶BN的值。
1 / 1四川省成都市武侯区重点学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷
1．（2023九上·武侯开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
2．（2021九上·成都期末）若线段 ， ， ， 是成比例线段，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2017·历下模拟）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2023九上·武侯开学考）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·渠县模拟）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·花都期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
7．（2023·泉州模拟）如图，在正方形中，点分别在边和上，，垂足为G，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河东模拟）设 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
9．（2023九上·武侯开学考）已知，则 ．
10．（2023九上·武侯开学考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
11．（2023九上·武侯开学考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，则和的面积比是 ．
12．（2021九上·孝南月考）现定义运算“★”，对于任意实数a，b， 都有a★ ， 如：3★ ，若x★ ，则实数x的值是 .
13．（2023八下·沈丘期末）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点M，N．记的面积为S1，的面积为S2，若正方形的边长，S1=16，则S2的大小为 ．
14．（2023九上·武侯开学考）（1）分解因式：．
（2）计算：．
15．（2023九上·武侯开学考）解一元二次方程：
（1）
（2）
16．（2021·成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长.（结果精确到1米；参考数据： ）
17．（2023·温州）如图，已知矩形ABCD，点在CB延长线上，点在BC延长线上，过点作交ED的延长线于点，连结AF交EH于点.
（1）求证：.
（2）当时，求EF的长.
18．（2023·临淄模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式的解集为 ．
19．（2020·枣庄）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝ ．
20．（2021·铁西模拟）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的范围
21．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
22．（2023九上·武侯开学考）在矩形中，，，如图所示折叠矩形纸片使点落在边上一点处，折痕端点、分别在边、上，则当折痕端点恰好与点重合时，的长为 ．
23．（2023八下·吉首期末）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
24．（2023九上·武侯开学考）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为平方米的矩形场地若矩形场地的一边靠墙墙长米，另外三边由总长为米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为米的入口和出口如图请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？
25．（2021八下·龙泉驿期末）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为DC右侧一点，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）.连接AE.
（1）若∠CDE＝20°.求∠DAE的度数；
（2）过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，求证AE＝ AP；
（3）在（2）的条件下，AP与BC交于点F，当BF＝FC时，求CE的长.
26．（2023九上·武侯开学考）如图，已知矩形，点在边上，连接，过作于点，连接，过作，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，且点为的中点，求的长；
（3）若，且平分，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 A：直角三角形 ，不一定是轴对称图形也不一定是中心对称图形，故A错误；
B：等边三角形 ，是轴对称图形但不是中心对称图形，故B错误；
C：平行四边形 ，是中心对称图形但不是轴对称图形，故C错误；
D：矩形 ，既是轴对称图形也是中心对称图形，故D正确；
正确答案：D.
【分析】常见几何图形对称性的判断，关于直线对称的是轴对称图形，关于点对称的是中心对称图形。
2．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d
∴
∵ ，
，
，
∴
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的概念可得a：b=c：d，然后表示出d，接下来将a、b、c的值代入计算即可.
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．
故选D．
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
4．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由题知k=-1×2=-2，
A： ，∵故A错误；
B： ，∵2×（-1）=-2，故B正确；A、C、D错误
故答案为：B.
【分析】首先把已知点代入反比例函数解析式确定未知系数k的值，然后把四个选项所给点的坐标依次代入反比例函数解析式，成立的在反比例函数图象上，不成立则不在。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2=121.
故答案为：C.
【分析】设平均每次提价的百分率为x，由题意可得第一次提价后的价格为100(1+x)，第二次提价后的价格为100(1+x)2，然后根据 经过两次提价后的价格为121元就可列出方程.
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：四边相等的四边形是菱形，故A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B，C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∵
∴
∴
∵
∴设，则
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD，由垂直的概念可得∠AGB=90°，根据等角的余角相等可得∠ABE=∠DAF，利用ASA证明△ABE≌△DAF，得到BE=AF，根据已知条件可设ED=x，AE=2x，则AD=3x，利用勾股定理可得BE，根据等面积法可得AG，由GF=AF-AG表示出GF，据此求解.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
9．【答案】2
【知识点】比例的性质；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵，∴
∴，
答案：2.
【分析】由已知把一个未知数用另一个未知数表示，代入所求代数式化简求值；或应用比例性质求解。
10．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵比例系数k=4，
∴每一象限内，y随x的增大而减小，
∴
或分别把-1、3、5分别代入反比例函数解析式得x1-4，x2=，x3=，
∵，
∴ .
故答案为：.
【分析】利用反比例函数的性质已知函数值比较自变量的大小；或者代入法确定自变量的值，再比较其大小。
11．【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
故答案为：4∶9.
【分析】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
12．【答案】4或﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，
∴x★2＝x2﹣3x+2，
∵x★2＝6，
∴x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1.
故答案为：4或﹣1.
【分析】由定义的新运算列出方程，再利用因式分解法解方程即可.
13．【答案】9
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，
∴OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠COF，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9.
【分析】根据正方形性质得：OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOF=90°，推出∠EOB=∠COF，求证即可.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】实数的运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】⑴、分解因式观察多项式若有公因式先提公因式，再考虑应用公式；且因式分解必须分解到每一个多项式因式不能分解为止；
⑵、实数的运算，根据题目明显要求掌握开立方、绝对值、以及特殊角的三角函数值等计算。
15．【答案】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：整理成一般式，得：，
，，，
，
则，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）、解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程；
（2）、整理一元二次方程，并会公式法解一元二次方程。
16．【答案】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x，
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF= ，
∴解得 米，
经检验 米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，结合已知可知四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，由矩形的性质可得FN=ED=AB，AD=BE；由等腰直角三角形的性质得MF=EF=x，由线段的构成FB=FE+EB可将FB用含x的代数式表示出来，根据锐角三角函数tan∠MBF=可得关于x的方程，解方程求得x的值，再根据线段的构成MN=MF+FN可求解.
17．【答案】（1）证明：，
∴∠E=∠GFE，
四边形ABCD是矩形，
，
，
∴BF=CE，
∴BF-BC=CE-BC，
即BE=CF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠DCB=90°，BC=AD=4，
∵FH⊥BF，
∴∠HFB=∠DCB=90°，
∴CD∥FH，
∴△DCE∽△HFE，
∴，
∴.
设BE=CF=x，则CE=x+4，EF=2x+4，
，
解得x=1，
∴EF=6.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GE=GF=GH，由等边对等角得∠E=∠GFE，由矩形的性质得AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，从而用AAS判断出△ABF≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得BF=CE，此题得解了；
（2）由矩形的性质得AB=CD，∠DCB=90°，BC=AD=4，易得CD∥FH，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△DCE∽△HFE，由相似三角形对应边成比例、等量代换及已知可得，设BE=CF=x，则CE=x+4，EF=2x+4，从而代入可得关于x的方程，求解得出x的值，此题得解.
18．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵在上，所以，
∴A的坐标是，
把代入，得：
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，设直线与x轴的交点为C，
把代入得：，
解得，
∴C的坐标是，
∵P为x轴上一点，且的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当P在负半轴上时，P的坐标是，
当P在正半轴上时，P的坐标是，
即P的坐标是或．
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为或
故答案为：或
【分析】（1）将点B的坐标代入求出m的值，再求出点A的坐标，最后将点A、B的坐标代入求出k、b的值即可；
（2）根据，可得，求出，再分类求出点P的坐标即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
19．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（a+b）2＝32＝9，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝2，
ab＝1，
故答案为1．
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
20．【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程mx2-8x+16=0是关于x的一元二次方程
∴m≠0
∵一元二次方程mx2-8x+16=0有两个不相等的实数根
∴
解得：m<1
∴m<1且m≠0
故答案为：m<1且m≠0
【分析】首先方程是一元二次方程，则二次项系数不为零，即m≠0；再有一元二次方程有两个不相等的实数根，从而 ．由这两个条件即可求出m的取值范围．
21．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图形知：tan∠ACB= = ，
故答案为： ．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
22．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】当折痕端点恰好与点重合时 ，易知CE=CD=AB=5，在Rt△CEB中，
∴
∴AE=AB-BE=5-4=1，
故答案为：1.
【分析】由折叠可知△FDG全等于△FEG，所以全等三角形的性质皆可应用，又点F与点C重合，可知三角形FEB是直角三角形，可用勾股定理求BE，进而求AE长。
23．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，
∴EB=GC=GD=EA=3，
∴GA=5，
∴四边形DGEA为矩形，
∴O为ED的中点，GO为点P的运动轨迹，
∴当PB⊥GO时，PB存在最小值，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，先根据矩形的性质得到CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，进而结合题意即可得到GA=5，再根据矩形的判定与性质结合三角形的面积公式即可求解。
24．【答案】解：设矩形场地的长为米，则宽为米，
由题意得：，
，
，
，
解得：或舍去，
，
矩形场地的长为米，宽为米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】列一元二次方程解答图形面积问题，关键设长方形长为x米后，会根据图形计算长方形的宽，长方形的宽不能忘了入口或出口宽，且要检验方程的解要符合实际意义。
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC， ，
∵DE=DC，
∴DE=DA，
∵∠CDE＝20°，
∴ ，
∴
（2）解：设 ， ，
在正方形ABCD中，且过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，
，
∴ ，
∵∠AFP=∠CFP，
∴∠FCP=∠BAF=y，∠2= ，
∵DC=DE，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
即 ，
∴ ，
∴∠PAE=∠PEA，
∴PA=PE，
在 中， ，
∴ AE＝ AP
（3）解：过点D作 ，垂足为点K，
则 ，
，
由（2）得： ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴DC=BC=AB=2，
∵BF＝FC，
∴BF=1，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵DC=DE，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得DA=DC，∠ADC=90°，同时可推出DE=DA，求出∠ADE的度数，然后根据三角形的内角和定理求出∠DAE的度数.
（2）设∠DAE=∠DEA=x，∠BAF=y，在正方形ABCD中，且过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，利用正方形的性质可得到四个角是直角，同时可证得∠2+∠FCP=90°，再表示出∠BAF，∠2，利用等腰三角形的性质可表示出∠DEC，再利用三角形的外角性质，建立方程，可得到∠DAE+∠BAF=45°，从而可求出∠PAE=45°；然后证明∠PAE=∠PEA，利用等角对等边，可证得PA=PE，利用勾股定理可得到AE与AP之间的数量关系.
（3）过点D作DK⊥EP于点K，利用余角的性质可得∠AFB=∠PFC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△DKC；再利用正方形的性质及勾股定理求出AF的长，代入比列式，可求出CK的长；然后根据等腰三角形的性质，可证得CE=2CK，即可求出CE的长.
26．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
又，
，
，即，
，，
，
，
；
（2）解点为的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
，
；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：(3)由可知：，
，
，，
，
，
，
，
设，则，设，则，
如图，过点作，交的延长线于，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】⑴、由已知矩形四个角是直角以及题目两垂直，可得若干组互余两角，根据余角的性质可以找到两组等角，故可判断两三角形相似；
⑵、因为点E是CD的中点，所以CE等于二分之一CD长，然后直角三角形BCE中，勾股定理可求BE长，再利用面积法求CM的长度，利用相似或等角的锐角三角函数求BM长，最后利用上一小题两相似三角形计算NC的长度，进而求得BN长；
⑶、由一小题论证的两三角形相似，以及直角三角形斜边上的高分直角三角形所成两三角形与原三角形相似，由相似三角形性质及等式性质可得再添加辅助线BH平行于MC交MN延长线于点H构造相似三角形和等腰直角三角形（或三角形内角平分线定理），进一步推理得出CN∶BN=1∶3，进而可以求得CN∶BN的值。
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