2.5等腰三角形的轴对称性 强化提优训练（二）（含答案） 2023-2024学年苏科版八年级数学上册

2023-2024学年苏科版八年级数学上《2.5等腰三角形的轴对称性》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1.已知在△ABC中,AB=AC,且∠B=α,则α的取值范围是(　　)
A.α≤45°　　　　B.0°<α<90° C.α=90°　　　　D.90°<α<180°
2.如图,在△ABC中,∠B=65°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为(　　)
A.45°　　　　B.55°　　　　C.60°　　　　D.65°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,BM平分∠ABC,l与BM相交于点P.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP=(　　)
A.24°　　　　B.30°　　　　C.32°　　　　D.36°
4.如图,△ABC是等边三角形,两个锐角都是45°的直角三角尺的一条直角边在BC上,则∠1的度数为(　　)
A.60°　　　　B.65°　　　　C.70°　　　　D.75°
5.在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=(　　)
A.16°　　　　B.28° C.44°　　　　D.45°
6.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长,则只需知道(　　)
A.△ABC的周长 B.△AFH的周长 C.四边形FBGH的周长 D.四边形ADEC的周长
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是( )
A．8 B．6　 C．4 D．7
8．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形．若∠1＝40°，则∠2的大小为( )
A．60° B．80° C．90° D．100°
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，则∠CDE的度数为（ ）
A.15° B.20° C.25° D.30°
二．填空题(30分)
11.等腰三角形有一个外角为100°,则它的底角为　　　　　　　.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°,则∠DAC=　　　　°.
第12题图 第13题图 第15题图 第16题图
13.如图,在等边三角形ABC的边AB、AC上各取一点D,E,连结CD,BE交于点F,且∠EFC=60°.若BD=1,CE=2,则BC的长度为　　　　.
14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为　　　　.
15.如图是一钢架示意图,且∠AOB=10°,为了使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH,……,添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管　　　　根.
16.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=25°，则∠ACE的度数是________.
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，F为AC上一点，且AF=EF.若∠B=42°，则∠EFC为________.
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FEM＝_______．
19．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC＝______．
20．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的数量关系是
三．解答题（60分）
21．(8分)已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
(2)如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.
28．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．
23. （10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）
（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．
24.(10分)问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗 说明理由;
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
25．(10分)一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把它剪开，恰好得到2个等腰三角形，求出它的最大内角可能值．
26.（12分）如图,已知等腰△ABP中,AP=BP,∠P<90°,BD⊥AP交AP于点D,AC平分∠BAP,AC与BD交于点E,与PB交于点C.
(1)当∠P=40°时,求∠BEC的度数;
(2)猜想∠P与∠BEC之间的数量关系,并说明理由;
(3)当△BEC是等腰三角形时,求∠P的度数.
教师样卷
一．选择题(30分）
1.已知在△ABC中,AB=AC,且∠B=α,则α的取值范围是(　B　)
A.α≤45°　　　　B.0°<α<90° C.α=90°　　　　D.90°<α<180°
2.如图,在△ABC中,∠B=65°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为(　B　)
A.45°　　　　B.55°　　　　C.60°　　　　D.65°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,BM平分∠ABC,l与BM相交于点P.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP=(　C　)
A.24°　　　　B.30°　　　　C.32°　　　　D.36°
4.如图,△ABC是等边三角形,两个锐角都是45°的直角三角尺的一条直角边在BC上,则∠1的度数为(　D　)
A.60°　　　　B.65°　　　　C.70°　　　　D.75°
5.在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=(　C　)
A.16°　　　　B.28° C.44°　　　　D.45°
6.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长,则只需知道(　A　)
A.△ABC的周长 B.△AFH的周长 C.四边形FBGH的周长 D.四边形ADEC的周长
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是(C)
A．8 B．6　 C．4 D．7
8．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形．若∠1＝40°，则∠2的大小为(B)
A．60° B．80° C．90° D．100°
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)
A．20° B．35° C．40° D．70°
10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，则∠CDE的度数为（ B ）
A.15° B.20° C.25° D.30°
二．填空题(30分)
11.等腰三角形有一个外角为100°,则它的底角为　80°或50°　　　　　　.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°,则∠DAC=　　75　　°.
第12题图 第13题图 第15题图 第16题图
13.如图,在等边三角形ABC的边AB、AC上各取一点D,E,连结CD,BE交于点F,且∠EFC=60°.若BD=1,CE=2,则BC的长度为　3　　　.
14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为　　63°或27°　　.
15.如图是一钢架示意图,且∠AOB=10°,为了使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH,……,添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管　　8　　根.
16.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=25°，则∠ACE的度数是___32.5°_____.
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，F为AC上一点，且AF=EF.若∠B=42°，则∠EFC为___84°_____.
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FEM＝__100O_____．
19．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC＝__1080_____．
20．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的数量关系是 3∠1－∠2=180°
三．解答题（60分）
21．(8分)已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
(2)如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.
解:(1)如图1中，线段BF即为所求．(2)如图2中，线段BG即为所求．
28．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB(AAS)，∴BE＝CD．又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OB＝OC．
(2)连结DE．∵∠ABC＝70°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×70°＝40°．∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，∴∠A＋∠DOE＝180°，∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．
23. （10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）
（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．
解：（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．
（2）选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．
选择②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
选择①③理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，
∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，
AB=AC，
选择②③理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
24.(10分)问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗 说明理由;
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
解：(1)∠DAC的度数不会改变.理由:∵EA=EC,∴∠EAC=∠C①,∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA,
∵∠BAE=90°,∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C,∠BAD=(180°-∠B)=[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C,∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C②,由①②得∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°. (2)设∠ABC=m°,则∠BAD=(180°-m°)
=90°-m°,∠AEB=180°-n°-m°,∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+m°,∵EA=EC,∴∠CAE=∠AEB=90°-n°-m°,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+m°+90°-n°-m°=n°.
25．(10分)一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把它剪开，恰好得到2个等腰三角形，求出它的最大内角可能值．
解：如图所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°.
当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，
其最大内角依次是116°，99°，108°，88°，
所以共5种情况，其最大内角依次是90°，116°，99°，108°，88°.
26.（12分）如图,已知等腰△ABP中,AP=BP,∠P<90°,BD⊥AP交AP于点D,AC平分∠BAP,AC与BD交于点E,与PB交于点C.
(1)当∠P=40°时,求∠BEC的度数;
(2)猜想∠P与∠BEC之间的数量关系,并说明理由;
(3)当△BEC是等腰三角形时,求∠P的度数.
解：(1)∵AP=BP,∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA==70°,∵BD⊥AP,∴∠BDA=90°,∵AC平分∠BAP,∴∠PAE=∠BAP=35°,∴∠BEC=∠AED=90°-∠PAE=55°.
（2）∠BEC=45°+.理由如下:∵AP=BP,∴∠ABP=∠BAP=
=90°-,∵BD⊥AP,∴∠BDA=90°,∵AC平分∠BAP,∴∠PAE=∠PAB=45°-,
∴∠BEC=∠AED=90°-∠PAE=90°-=45°+.
(3)易知∠CBE=90°-∠P,由(2)知∠BCE=∠P+∠PAC=∠P+45°-=45°+,∠BEC=45°+.分情况讨论:①若EC=BC,则∠BEC=∠CBE,∴45°+=90°-∠P,解得∠P=36°;②若BE=CE,则∠BCE=∠CBE,∴45°+=90°-∠P,解得∠P=°;③若BC=BE,则∠BEC=∠BCE,∴45°+=45°+,解得∠P=0°(不符合题意,舍去).
∴当△BEC是等腰三角形时,∠P的度数为36°或.