第1—2章 综合练习题 （含解析） 2023-2024学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第1—2章 综合练习题 （含解析） 2023-2024学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 280.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-11 11:16:48 | ||
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文档简介
2023-2024学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第1—2章》综合练习题（附答案）
一、选择题（共36分）
1．下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝3x﹣1 C．y＝ D．xy＝
2．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
3．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
4．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
5．已知一次函数y1＝kx+b（k＜0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2，实数x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3
6．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
10．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为min
11．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则tan∠CFB等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共24分）
13．已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则n＝ ．
14．在锐角△ABC中，若|cos2A﹣|+（tanB﹣）2＝0，则∠C的正切值是 ．
15．将∠BAC放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
16．反比例函数y＝﹣图象上三个点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′＝ ．
18．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上，且AB∥x轴，BC∥y轴，点C在x轴上，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共60分）
19．计算：
（1）．
（2）．
20．如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，△ABC的面积为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知OB＝BA，点P（m，1）在该反比例函数的图象上，点Q是x轴上一动点，若QA+QP最小，求点Q的坐标．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，cosA＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值．
22．已知，如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），点B（m，﹣1）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出不等式ax+b≥的解集是 ．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
24．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高．（参考数据：＝1.4，＝1.7）
25．如图，已知反比例函数和一次函数y＝2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共36分）
1．解：由反比例的定义可知，函数y＝，y＝3x﹣1，xy＝是反比例函数，
而y＝中，y是x的一次函数，
故选：C．
2．解：A、sinB＝，
则b＝csinB，本选项说法错误；
B、b＝csinB，本选项说法正确；
C、tanB＝，
则b＝atanB，本选项说法错误；
D、b＝atanB，本选项说法错误；
故选：B．
3．解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣，y2＝﹣1，y3＝．
∵﹣1＜﹣＜，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
4．解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
5．解：依照题意画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y1＞y2，实数x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
故选：A．
6．解：A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误；
B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；
C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故错误；
D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故正确；
故选：D．
7．解：∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，
∴BC＝＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝α，
∴cosα＝cosB＝＝＝，
故选：A．
8．解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB＝S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC＝（BD+AC） CD＝（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故选：B．
9．解：作AD⊥BC交BC延长线于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴cos∠ABC＝＝．
故选：D．
10．解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，
故B选项不合题意；
令y＝20，则＝20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y＝＝80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则＝30，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为＝min，
故选：D．
11．解：如图，作出CD⊥AB，垂足为D，则EF∥CD，
∴设EC＝x，则AE＝3x，sinA＝sin30°＝EF：AE＝1：2，
∴EF＝x，
∵cosA＝cos30°＝AF：AE＝，
∴AF＝x．
∵EF∥CD，
∴＝＝3，＝＝，
∴FD＝＝x，CD＝EF＝2x，
∴tan∠CFB＝＝．
故选：C．
12．解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵S△OBC＝1，
∴BD＝1，
∵tan∠BOC＝，
∴＝，
∴OD＝3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝1×3＝3．
故选：D．
二、填空题（共24分）
13．解：∵函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，
∴，
∴n＝2．
故答案为：2．
14．解：由题意得，cos2A﹣＝0，tanB﹣＝0，
则cosA＝，tanB＝，
解得，∠A＝60°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
tan60°＝，
则∠C的正切值是，
故答案为：．
15．解：如图所示：连接BC，
∵AB＝BC＝，AC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠BAC＝．
故答案为：．
16．解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＜y2＞0、y3＜0，
∴y2＞y1＞y3，
故答案为：y2＞y1＞y3．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝5，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′＝AB＝2，∠B′AB＝90°，
即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，
∴CM＝AB＝2，AM＝BC＝，
∴B′M＝2﹣＝，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C＝＝＝5，
∴S△AB′C＝＝，
∴5×AN＝2×2，
解得：AN＝4，
∴sin∠ACB′＝＝，
故答案为：．
18．解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，延长BA交y轴于点D，如图，
∵AB∥x轴，
∴S矩形AEOD＝1，S矩形BFOD＝4，
∴S矩形AEFB＝4﹣1＝3，
∴S△FAB＝1.5，
∴S△ABC＝S△FAB＝1.5．
故答案为1.5．
三、解答题（共60分）
19．解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
20．解：（1）连接OA，
∵△AOB的面积＝△ABC的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，
∴|k|＝2，
∴k＝±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴k＞0．
∴k＝4．
∴这个反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵OB＝BA，
∴设A（a，a），
∵反比例函数y＝经过点A，
∴a2＝4，
∴a＝2，
∴A（2，2），
把y＝1代入y＝得，x＝4，
∴P（4，1）．
作点P关于x轴的对称点P′（4，﹣1），连接AP′与x轴交于点Q，此时QA+QP最小，
设过A，P′的直线表达式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴过A，P′的直线表达式为．
由，得．
∴点Q的坐标为．
21．解：（1）∵AC＝15，cosA＝，
∴cosA＝＝，
∴AB＝25，
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD＝（或12.5）；
（2）方法一：
∵BC2＝AB2﹣AC2＝400
AD＝BD＝CD＝，
∴设DE＝x，EB＝y，
∴，
解得x＝，
∴sin∠DBE＝＝＝．
方法二：
∵AC＝15，cosA＝，
∴AB＝15÷＝25，
∴BC＝20，cos∠ABC＝＝，
∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠ABC，
∴cos∠DCB＝cos∠ABC＝，
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，
∴cos∠DCB＝，
即＝，
∴CE＝16，∴DE＝CE﹣CD＝16﹣12.5＝3.5，
∴sin∠DBE＝＝＝．
22．解：（1）∵y＝函数的图象过点A（1，4），
∴k＝4，即y＝，
又∵点B（m，﹣1）在y＝上，
∴m＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
又∵一次函数y＝ax+b过A、B两点，
即，
解得：，
∴y＝x+3；
（2）由y＝x+3可知C（﹣3，0），
∴S△OAB＝S△OAC+S△OBC＝×3×4+×3×1＝．
（3）根据图象可得：不等式ax+b≥的解为：﹣4≤x＜0或x≥1．
故答案为：﹣4≤x＜0或x≥1．
23．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
24．解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，
∴HE＝EF＝10米，
∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5（米），
∴古树的高为11.5米；
（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，
∴DG＝DEtan60°＝DE，
设DE＝x米，则DG＝x米，
在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，
∴GD＝DF＝EF+DE，
∴x＝10+x，
解得：x＝5+5，
∴CG＝DG+DC＝x+1.5＝（5+5）+1.5＝16.5+5≈25（米），
答：教学楼CG的高约为25米．
25．解：（1）由题意得
②﹣①得k＝2
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）由，
解得，．
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）
（3），OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA＝OP1得P1（，0），
由OA＝OP2得P2（﹣，0）；
由OA＝AP3得P3（2，0）．
②当OA为底时，OP4＝AP4得P4（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（﹣，0），（2，0），（1，0）．
一、选择题（共36分）
1．下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝3x﹣1 C．y＝ D．xy＝
2．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
3．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
4．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
5．已知一次函数y1＝kx+b（k＜0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2，实数x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3
6．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
10．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为min
11．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则tan∠CFB等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共24分）
13．已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则n＝ ．
14．在锐角△ABC中，若|cos2A﹣|+（tanB﹣）2＝0，则∠C的正切值是 ．
15．将∠BAC放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
16．反比例函数y＝﹣图象上三个点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′＝ ．
18．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上，且AB∥x轴，BC∥y轴，点C在x轴上，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共60分）
19．计算：
（1）．
（2）．
20．如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，△ABC的面积为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知OB＝BA，点P（m，1）在该反比例函数的图象上，点Q是x轴上一动点，若QA+QP最小，求点Q的坐标．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，cosA＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值．
22．已知，如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），点B（m，﹣1）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出不等式ax+b≥的解集是 ．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
24．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高．（参考数据：＝1.4，＝1.7）
25．如图，已知反比例函数和一次函数y＝2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共36分）
1．解：由反比例的定义可知，函数y＝，y＝3x﹣1，xy＝是反比例函数，
而y＝中，y是x的一次函数，
故选：C．
2．解：A、sinB＝，
则b＝csinB，本选项说法错误；
B、b＝csinB，本选项说法正确；
C、tanB＝，
则b＝atanB，本选项说法错误；
D、b＝atanB，本选项说法错误；
故选：B．
3．解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣，y2＝﹣1，y3＝．
∵﹣1＜﹣＜，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
4．解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
5．解：依照题意画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y1＞y2，实数x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
故选：A．
6．解：A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误；
B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；
C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故错误；
D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故正确；
故选：D．
7．解：∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，
∴BC＝＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝α，
∴cosα＝cosB＝＝＝，
故选：A．
8．解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB＝S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC＝（BD+AC） CD＝（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故选：B．
9．解：作AD⊥BC交BC延长线于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴cos∠ABC＝＝．
故选：D．
10．解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，
故B选项不合题意；
令y＝20，则＝20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y＝＝80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则＝30，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为＝min，
故选：D．
11．解：如图，作出CD⊥AB，垂足为D，则EF∥CD，
∴设EC＝x，则AE＝3x，sinA＝sin30°＝EF：AE＝1：2，
∴EF＝x，
∵cosA＝cos30°＝AF：AE＝，
∴AF＝x．
∵EF∥CD，
∴＝＝3，＝＝，
∴FD＝＝x，CD＝EF＝2x，
∴tan∠CFB＝＝．
故选：C．
12．解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵S△OBC＝1，
∴BD＝1，
∵tan∠BOC＝，
∴＝，
∴OD＝3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝1×3＝3．
故选：D．
二、填空题（共24分）
13．解：∵函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，
∴，
∴n＝2．
故答案为：2．
14．解：由题意得，cos2A﹣＝0，tanB﹣＝0，
则cosA＝，tanB＝，
解得，∠A＝60°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
tan60°＝，
则∠C的正切值是，
故答案为：．
15．解：如图所示：连接BC，
∵AB＝BC＝，AC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠BAC＝．
故答案为：．
16．解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＜y2＞0、y3＜0，
∴y2＞y1＞y3，
故答案为：y2＞y1＞y3．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝5，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′＝AB＝2，∠B′AB＝90°，
即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，
∴CM＝AB＝2，AM＝BC＝，
∴B′M＝2﹣＝，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C＝＝＝5，
∴S△AB′C＝＝，
∴5×AN＝2×2，
解得：AN＝4，
∴sin∠ACB′＝＝，
故答案为：．
18．解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，延长BA交y轴于点D，如图，
∵AB∥x轴，
∴S矩形AEOD＝1，S矩形BFOD＝4，
∴S矩形AEFB＝4﹣1＝3，
∴S△FAB＝1.5，
∴S△ABC＝S△FAB＝1.5．
故答案为1.5．
三、解答题（共60分）
19．解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
20．解：（1）连接OA，
∵△AOB的面积＝△ABC的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，
∴|k|＝2，
∴k＝±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴k＞0．
∴k＝4．
∴这个反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵OB＝BA，
∴设A（a，a），
∵反比例函数y＝经过点A，
∴a2＝4，
∴a＝2，
∴A（2，2），
把y＝1代入y＝得，x＝4，
∴P（4，1）．
作点P关于x轴的对称点P′（4，﹣1），连接AP′与x轴交于点Q，此时QA+QP最小，
设过A，P′的直线表达式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴过A，P′的直线表达式为．
由，得．
∴点Q的坐标为．
21．解：（1）∵AC＝15，cosA＝，
∴cosA＝＝，
∴AB＝25，
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD＝（或12.5）；
（2）方法一：
∵BC2＝AB2﹣AC2＝400
AD＝BD＝CD＝，
∴设DE＝x，EB＝y，
∴，
解得x＝，
∴sin∠DBE＝＝＝．
方法二：
∵AC＝15，cosA＝，
∴AB＝15÷＝25，
∴BC＝20，cos∠ABC＝＝，
∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠ABC，
∴cos∠DCB＝cos∠ABC＝，
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，
∴cos∠DCB＝，
即＝，
∴CE＝16，∴DE＝CE﹣CD＝16﹣12.5＝3.5，
∴sin∠DBE＝＝＝．
22．解：（1）∵y＝函数的图象过点A（1，4），
∴k＝4，即y＝，
又∵点B（m，﹣1）在y＝上，
∴m＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
又∵一次函数y＝ax+b过A、B两点，
即，
解得：，
∴y＝x+3；
（2）由y＝x+3可知C（﹣3，0），
∴S△OAB＝S△OAC+S△OBC＝×3×4+×3×1＝．
（3）根据图象可得：不等式ax+b≥的解为：﹣4≤x＜0或x≥1．
故答案为：﹣4≤x＜0或x≥1．
23．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
24．解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，
∴HE＝EF＝10米，
∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5（米），
∴古树的高为11.5米；
（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，
∴DG＝DEtan60°＝DE，
设DE＝x米，则DG＝x米，
在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，
∴GD＝DF＝EF+DE，
∴x＝10+x，
解得：x＝5+5，
∴CG＝DG+DC＝x+1.5＝（5+5）+1.5＝16.5+5≈25（米），
答：教学楼CG的高约为25米．
25．解：（1）由题意得
②﹣①得k＝2
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）由，
解得，．
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）
（3），OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA＝OP1得P1（，0），
由OA＝OP2得P2（﹣，0）；
由OA＝AP3得P3（2，0）．
②当OA为底时，OP4＝AP4得P4（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（﹣，0），（2，0），（1，0）．