高中数学苏教版（2019）5.4函数的奇偶性
一、多选题
1．若函数 的导函数 的图象关于y轴对称，则 的解析式可能为（ ）
A． ＝3cosx B． ＝x3+x C． D． ＝ex+x
【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ＝3cosx，其导数 ＝﹣3sinx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B， ＝x3+x，其导数 ＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于C， ＝x ，其导数 ＝1 ，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D， ＝ex+x，其导数 ＝ex+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
故答案为：BC．
【分析】利用导数的运算法则求出函数的导函数，再利用偶函数图象的对称性，从而判断出函数为偶函数，再利用偶函数的定义，从而找出函数的解析式。
2．设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（ ）
A．(-1，1) B．(0，2) C．(-2，0) D．(2，4)
【答案】C,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(-2)=f（2）=0，函数f(x)的草图如图，
又由xf(x)<0 或 ，
由图可得-22，
即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞)。
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合偶函数的图象的对称性和函数在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0， 从而画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象求出满足不等式的解集。
3．定义在 上的奇函数 为减函数，偶函数 在区间 上的图象与 的图象重合，设 ，则下列不等式中成立为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为 上的奇函数且为减函数， ， ；
为奇函数， 为偶函数，
， ， ， ，
对于AB， ，
又 在区间 上的图象与 的图象重合， ， ，
， ，
则A符合题意，B不符合题意；
对于CD， ， ，则C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用奇函数的定义结合减函数的性质，再利用已知条件，从而找出不等式成立的选项。
二、单选题
4．已知偶函数 在区间 上单调递减，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为偶函数 在区间 上单调递减，且满足 ，
所以不等式等价为 ，即： ，
所以 ，解得： ，
故 的取值范围是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和减函数的性质，从而得出满足 等价为 ，即 ，再利用绝对值不等式求解集的方法，从而求出满足不等式的实数x的取值范围。
5．（2016高二下·普宁期中）若函数 为奇函数，则a=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）为奇函数
∴f（﹣1）=﹣f（1）
∴ =
∴1+a=3（1﹣a）
解得a=
故选A
【分析】利用奇函数的定义得到f（﹣1）=﹣f（1），列出方程求出a．
6．已知函数f（x）是偶函数，则下列方程一定是函数f（2x+1）的图象一条对称轴方程的是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣ C．x＝1 D．x＝
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】由f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，再向左平移 个单位可得f（2x+1），故此时函数的图象关于x＝ 对称。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合偶函数图象的对称性，再结合函数图象的伸缩变换和平移变换，从而找出 一定是函数f（2x+1）的图象一条对称轴方程的选项。
7．已知 是定义在R上的奇函数，则 的值是（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】∵ 是定义在R上的奇函数，
∴ ，解得 ，
∴ ，
则 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质，从而求出a的值，进而求出函数的解析式，再利用代入法求出函数的值。
8．f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数 且在（﹣∞，0）上为增函数，则在（0，+∞）上（ ）
A．两个都是增函数
B．两个都是减函数
C．f（x）为增函数，g（x）为减函数
D．f（x）为减函数，g（x）为增函数
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
设0＜x1＜x2，﹣x2＜﹣x1＜0，
∵f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，
f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，﹣f（x2）+f（x1）＜0，f（x1）＜f（x2），
g（﹣x2）﹣g（﹣x1）＜0，g（x2）＜g（x1），
∴f（x）为增函数，g（x）为减函数。
故答案为：C．
【分析】利用奇函数的定义和偶函数的定义，再结合函数的单调性，从而判断出函数 f（x）和函数g（x）的单调性。
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－ )， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由于 是偶函数，故 ，
， ，
由于 在 是增函数，所以 ，
即b＜c＜a。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出，再利用函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。
三、填空题
10．设偶函数 的定义域为 ，若当 时， 的图象如图所示，则不等式 的解集是 ．
【答案】 ，或
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由图象可知：当 时， 的解为 ，
因为 是偶函数，图象关于y轴对称，
所以当 时， 的解为 ，
所以 的解是 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知的图像结合偶函数的图象的对称性，从而画出函数的图象，再利用函数的图象求出不等式的解集。
11．已知定义在 上的函数 满足： 是奇函数， 是偶函数，则 等于 .
【答案】-12
【知识点】奇函数；偶函数；函数的值
【解析】【解答】根据题意， 是奇函数，则 ，
由于 是偶函数，则 ，
所以 ，解得 。
故答案为：-12。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和偶函数的定义，从而解方程组求出函数值。
12．已知函数f（x）＝ 是（﹣∞，+∞）上的奇函数，则g（﹣1）＝ ．
【答案】1
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】由题意g（﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2×1﹣3）＝1。
故答案为：1。
【分析】利用分段函数的解析式结合奇函数的定义，从而求出函数值。
13．设偶函数f(x)满足： ，且当时 时， ，则 ．
【答案】
【知识点】偶函数；函数的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
∵f(x)是偶函数，
。
故答案为： 。
【分析】 当 时， ， 再利用代入法结合已知条件偶函数f(x)满足： ， 从而结合代入法和偶函数的定义，从而求出函数值。
四、解答题
14．已知函数f(x)＝ ·x3.
（1）求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）求证：f(x)>0.
【答案】（1）由2x－1≠0，得x≠0.
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
（2）因为函数f(x)的定义域关于原点对称，
f(－x)＝
＝ ，
所以f(x)为偶函数.
（3）证明：当x>0时， ，x3>0，
所以f(x)>0.
因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)>0.
综上所述，对于定义域内的任意x都有f(x)>0.
【知识点】函数的定义域及其求法；偶函数；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用分式函数求定义域的方法，从而求出函数的定义域。
（2）利用偶函数的定义判断出函数为偶函数。
（3） 当x>0时， ，x3>0，所以f(x)>0，再利用已知条件结合偶函数的定义，从而证出对于定义域内的任意x都有f(x)>0。
15．已知函数 ( ，且 ).
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并求函数的单调区间.
【答案】（1）∵ ( 且 )，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
故函数 的定义域 ，
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
∵ ，
∴函数为奇函数，
设 ，则 ，
因为函数u在 和 上均为减函数，
当 时，函数 在 为增函数，
所以函数 在 ， 上为减函数，
当 时，函数 在 为减函数，
故函数 在 ， 上为增函数.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用对数型函数定义域求解方法结合分式不等式求解集的方法，进而求出函数的定义域。
(2)利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用换元法， 设 ，则 ， 再利用分类讨论的方法结合的单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
16．已知函数f（x）＝ ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
【答案】（1）解1﹣x2≠0得，x≠±1，
∴f（x）的定义域为{x|x≠±1}，
（2）f（x）为偶函数，
证明：由（1）知f（x）的定义域为{x|x≠±1}，定义域关于原点对称，
又 ，
∴f（x）为偶函数．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用分式函数求定义域的方法，从而求出函数的定义域。
（2）利用偶函数的定义判断并证出函数为偶函数。
17．已知奇函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0，设不等式解集为A，B＝A∪{x|1≤x≤ }，求函数g（x）＝﹣3x2+3x﹣4（x∈B）的最大值．
【答案】解：根据题意，可得 ，解得 ，
又∵f（x）是奇函数，
，
又f（x）在（﹣3，3）上是减函数，
，即 ，解得x＞2或x＜﹣3，
综上得 ，即 ，
，
又 知：g（x）在B上为减函数，
∴ ．
【知识点】并集及其运算；函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的性质，从而求出不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0 的解集A，再利用已知条件结合并集的运算法则，从而求出集合B，再利用二次函数的图象判断出在集合B上的函数的单调性，从而求出函数的最大值。
18．已知函数 .
（1）指出 在定义域 上的奇偶性与单调性（只要求写出结论，无须证明）；
（2）已知实数 满足 a+b>0，b+c>0，c+a>0 ，试判断 与0的大小，并加以证明.
【答案】（1）由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，所以 为奇函数，
设 ，且 ，
则
，
因为 ，可得 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以函数 是定义域为 的增函数.
（2）由（1）知函数 是定义域为 的增函数，
又由 ，可得 ，所以 ，即 ，
同理可得 ，
所以 ，
即 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用增函数的定义判断出函数的单调性。
（2） 由（1）知函数 是定义域为 的增函数， 又由 ，可得 ， 再利用函数的单调性结合奇函数的定义，得出 ，即 ， 同理可得 ， 再利用求和法判断并证出 。
1 / 1高中数学苏教版（2019）5.4函数的奇偶性
一、多选题
1．若函数 的导函数 的图象关于y轴对称，则 的解析式可能为（ ）
A． ＝3cosx B． ＝x3+x C． D． ＝ex+x
2．设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（ ）
A．(-1，1) B．(0，2) C．(-2，0) D．(2，4)
3．定义在 上的奇函数 为减函数，偶函数 在区间 上的图象与 的图象重合，设 ，则下列不等式中成立为（ ）
A． B．
C． D．
二、单选题
4．已知偶函数 在区间 上单调递减，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2016高二下·普宁期中）若函数 为奇函数，则a=（ ）
A． B． C． D．1
6．已知函数f（x）是偶函数，则下列方程一定是函数f（2x+1）的图象一条对称轴方程的是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣ C．x＝1 D．x＝
7．已知 是定义在R上的奇函数，则 的值是（ ）
A．-3 B． C． D．
8．f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数 且在（﹣∞，0）上为增函数，则在（0，+∞）上（ ）
A．两个都是增函数
B．两个都是减函数
C．f（x）为增函数，g（x）为减函数
D．f（x）为减函数，g（x）为增函数
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－ )， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
三、填空题
10．设偶函数 的定义域为 ，若当 时， 的图象如图所示，则不等式 的解集是 ．
11．已知定义在 上的函数 满足： 是奇函数， 是偶函数，则 等于 .
12．已知函数f（x）＝ 是（﹣∞，+∞）上的奇函数，则g（﹣1）＝ ．
13．设偶函数f(x)满足： ，且当时 时， ，则 ．
四、解答题
14．已知函数f(x)＝ ·x3.
（1）求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）求证：f(x)>0.
15．已知函数 ( ，且 ).
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并求函数的单调区间.
16．已知函数f（x）＝ ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
17．已知奇函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0，设不等式解集为A，B＝A∪{x|1≤x≤ }，求函数g（x）＝﹣3x2+3x﹣4（x∈B）的最大值．
18．已知函数 .
（1）指出 在定义域 上的奇偶性与单调性（只要求写出结论，无须证明）；
（2）已知实数 满足 a+b>0，b+c>0，c+a>0 ，试判断 与0的大小，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ＝3cosx，其导数 ＝﹣3sinx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B， ＝x3+x，其导数 ＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于C， ＝x ，其导数 ＝1 ，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D， ＝ex+x，其导数 ＝ex+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
故答案为：BC．
【分析】利用导数的运算法则求出函数的导函数，再利用偶函数图象的对称性，从而判断出函数为偶函数，再利用偶函数的定义，从而找出函数的解析式。
2．【答案】C,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(-2)=f（2）=0，函数f(x)的草图如图，
又由xf(x)<0 或 ，
由图可得-22，
即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞)。
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合偶函数的图象的对称性和函数在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0， 从而画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象求出满足不等式的解集。
3．【答案】A,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为 上的奇函数且为减函数， ， ；
为奇函数， 为偶函数，
， ， ， ，
对于AB， ，
又 在区间 上的图象与 的图象重合， ， ，
， ，
则A符合题意，B不符合题意；
对于CD， ， ，则C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用奇函数的定义结合减函数的性质，再利用已知条件，从而找出不等式成立的选项。
4．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为偶函数 在区间 上单调递减，且满足 ，
所以不等式等价为 ，即： ，
所以 ，解得： ，
故 的取值范围是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和减函数的性质，从而得出满足 等价为 ，即 ，再利用绝对值不等式求解集的方法，从而求出满足不等式的实数x的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）为奇函数
∴f（﹣1）=﹣f（1）
∴ =
∴1+a=3（1﹣a）
解得a=
故选A
【分析】利用奇函数的定义得到f（﹣1）=﹣f（1），列出方程求出a．
6．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】由f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，再向左平移 个单位可得f（2x+1），故此时函数的图象关于x＝ 对称。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合偶函数图象的对称性，再结合函数图象的伸缩变换和平移变换，从而找出 一定是函数f（2x+1）的图象一条对称轴方程的选项。
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】∵ 是定义在R上的奇函数，
∴ ，解得 ，
∴ ，
则 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质，从而求出a的值，进而求出函数的解析式，再利用代入法求出函数的值。
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
设0＜x1＜x2，﹣x2＜﹣x1＜0，
∵f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，
f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，﹣f（x2）+f（x1）＜0，f（x1）＜f（x2），
g（﹣x2）﹣g（﹣x1）＜0，g（x2）＜g（x1），
∴f（x）为增函数，g（x）为减函数。
故答案为：C．
【分析】利用奇函数的定义和偶函数的定义，再结合函数的单调性，从而判断出函数 f（x）和函数g（x）的单调性。
9．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由于 是偶函数，故 ，
， ，
由于 在 是增函数，所以 ，
即b＜c＜a。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出，再利用函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。
10．【答案】 ，或
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由图象可知：当 时， 的解为 ，
因为 是偶函数，图象关于y轴对称，
所以当 时， 的解为 ，
所以 的解是 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知的图像结合偶函数的图象的对称性，从而画出函数的图象，再利用函数的图象求出不等式的解集。
11．【答案】-12
【知识点】奇函数；偶函数；函数的值
【解析】【解答】根据题意， 是奇函数，则 ，
由于 是偶函数，则 ，
所以 ，解得 。
故答案为：-12。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和偶函数的定义，从而解方程组求出函数值。
12．【答案】1
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】由题意g（﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2×1﹣3）＝1。
故答案为：1。
【分析】利用分段函数的解析式结合奇函数的定义，从而求出函数值。
13．【答案】
【知识点】偶函数；函数的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
∵f(x)是偶函数，
。
故答案为： 。
【分析】 当 时， ， 再利用代入法结合已知条件偶函数f(x)满足： ， 从而结合代入法和偶函数的定义，从而求出函数值。
14．【答案】（1）由2x－1≠0，得x≠0.
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
（2）因为函数f(x)的定义域关于原点对称，
f(－x)＝
＝ ，
所以f(x)为偶函数.
（3）证明：当x>0时， ，x3>0，
所以f(x)>0.
因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)>0.
综上所述，对于定义域内的任意x都有f(x)>0.
【知识点】函数的定义域及其求法；偶函数；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用分式函数求定义域的方法，从而求出函数的定义域。
（2）利用偶函数的定义判断出函数为偶函数。
（3） 当x>0时， ，x3>0，所以f(x)>0，再利用已知条件结合偶函数的定义，从而证出对于定义域内的任意x都有f(x)>0。
15．【答案】（1）∵ ( 且 )，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
故函数 的定义域 ，
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
∵ ，
∴函数为奇函数，
设 ，则 ，
因为函数u在 和 上均为减函数，
当 时，函数 在 为增函数，
所以函数 在 ， 上为减函数，
当 时，函数 在 为减函数，
故函数 在 ， 上为增函数.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用对数型函数定义域求解方法结合分式不等式求解集的方法，进而求出函数的定义域。
(2)利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用换元法， 设 ，则 ， 再利用分类讨论的方法结合的单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
16．【答案】（1）解1﹣x2≠0得，x≠±1，
∴f（x）的定义域为{x|x≠±1}，
（2）f（x）为偶函数，
证明：由（1）知f（x）的定义域为{x|x≠±1}，定义域关于原点对称，
又 ，
∴f（x）为偶函数．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用分式函数求定义域的方法，从而求出函数的定义域。
（2）利用偶函数的定义判断并证出函数为偶函数。
17．【答案】解：根据题意，可得 ，解得 ，
又∵f（x）是奇函数，
，
又f（x）在（﹣3，3）上是减函数，
，即 ，解得x＞2或x＜﹣3，
综上得 ，即 ，
，
又 知：g（x）在B上为减函数，
∴ ．
【知识点】并集及其运算；函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的性质，从而求出不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0 的解集A，再利用已知条件结合并集的运算法则，从而求出集合B，再利用二次函数的图象判断出在集合B上的函数的单调性，从而求出函数的最大值。
18．【答案】（1）由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，所以 为奇函数，
设 ，且 ，
则
，
因为 ，可得 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以函数 是定义域为 的增函数.
（2）由（1）知函数 是定义域为 的增函数，
又由 ，可得 ，所以 ，即 ，
同理可得 ，
所以 ，
即 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用增函数的定义判断出函数的单调性。
（2） 由（1）知函数 是定义域为 的增函数， 又由 ，可得 ， 再利用函数的单调性结合奇函数的定义，得出 ，即 ， 同理可得 ， 再利用求和法判断并证出 。
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