高中数学苏教版（2019）3.2基本不等式
一、单选题
1．已知 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： ，
当且仅当 即 时取等号。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出函数 的最小值。
2．将一根铁丝切割成三段，做一个面积为 ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是（ ）
A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0），
则xy＝4，
此时三角形框架的周长C为：
x+y+ ＝x+y+ ，
∵x+y≥2 ＝4，
∴C＝x+y+ ≥4+2 ≈6.83，
故用7米的铁丝最合适。
故答案为：C．
【分析】利用实际问题的已知条件结合三角形的周长公式和均值不等式求最值的方法，从而得出用7米的铁丝最合理共用且浪费最少。
3．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得， ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而选出正确的选项。
二、填空题
4．限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，写成不等式就是 ．
【答案】v≤40
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】主要考查不等关系与不等式的概念，易得v≤40。
【分析】利用已知条件结合不等关系与不等式的概念，从而写出满足要求的不等式。
5．设 ， ，那么 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而求出 的取值范围 。
三、解答题
6．设 ，求 在 上的最大值.
【答案】解：因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号， 当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 在 上的最大值是 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出函数 在 上的最大值 。
7．设x，y都是正数，且 ＋ ＝3，求2x＋y的最小值.
【答案】 ，
当且仅当 ＝ ，即y＝2x时取等号；
又∵ ＋ ＝3，
∴x＝ ，y＝ ；
∴2x＋y的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出2x＋y的最小值。
8．（2020高一上·衡阳期中）
（1）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 、 ，篱笆的长度为 .
由已知得 ，由 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 ；
（2）解：由已知得 ，则 ，矩形菜园的面积为 .
由 ，可得 ，
当且仅当 时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 、 ，篱笆的长度为 .（1）由题意得出 ，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出 ，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
9．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
（1）仓库顶部面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
【答案】（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，
由题意得40x+2×45y＋20xy=3200
应用二元均值不等式，得3 200≥ +20xy,即S+6 ≤160,
而（ +16）（ -10）≤0.
∴ ≤10 S≤100.
因此S的最大允许值是100米2.
（2）当 即x=15米，
即铁栅的长为15米.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合矩形的面积公式得出 S=xy，由题意得40x+2×45y＋20xy=3200,再利用均值不等式求最值的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出仓库顶部面积S的取值范围，进而求出仓库顶部面积S的最大允许值。
（2） 为使S达到最大，而实际投资又不超过预算， 从而得出 ，再解方程组求出x，y的值，进而求出正面铁栅应设计为15米。
10．
（1）已知 ，求 的最小值．并求此时 的值；
（2）设 ，求函数 的最大值；
（3）已知 ，求 的最小值；
（4）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
【答案】（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号；故当 时， 取得最小值4；
（2） ， ．
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
∵ ，
∴函数 的最大值为 ．
（3） ，
，当且仅当 时取等号，即 时， 的最小值为 ，
（4） ， ， ， ．
当且仅当 时，上式等号成立，又 ， ， 时， ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值，并求出此时对应的 的值。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值。
（3）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
（4）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
11．
（1）已知 ，求 的最小值；
（2）已知 ，求 的最大值.
【答案】（1） ，
，
当且仅当 时取等号；
所以 的最小值为12；
（2） ，
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为-1.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值 。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值 。
12．证明不等式 ( ).
【答案】证明：因为 ，
所以 ，
所以
两边同除以4，即得 ，当且仅当 时，取等号.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再结合完全平方和公式，从而证出不等式 ( ) 成立。
13．已知a，b，c为任意实数，求证： ．
【答案】∵ ， ，∴ ．
即 ．当且仅当 时，等号成立．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出不等式 成立。
14．已知 、 、 都是正数，求证：
【答案】∵ 、 、 都是正数
∴ （当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）
∴ （当且仅当 时，取等号）
即 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出不等式 成立。
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一、单选题
1．已知 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
2．将一根铁丝切割成三段，做一个面积为 ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是（ ）
A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m
3．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，写成不等式就是 ．
5．设 ， ，那么 的取值范围是 ．
三、解答题
6．设 ，求 在 上的最大值.
7．设x，y都是正数，且 ＋ ＝3，求2x＋y的最小值.
8．（2020高一上·衡阳期中）
（1）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
9．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
（1）仓库顶部面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
10．
（1）已知 ，求 的最小值．并求此时 的值；
（2）设 ，求函数 的最大值；
（3）已知 ，求 的最小值；
（4）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
11．
（1）已知 ，求 的最小值；
（2）已知 ，求 的最大值.
12．证明不等式 ( ).
13．已知a，b，c为任意实数，求证： ．
14．已知 、 、 都是正数，求证：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： ，
当且仅当 即 时取等号。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出函数 的最小值。
2．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0），
则xy＝4，
此时三角形框架的周长C为：
x+y+ ＝x+y+ ，
∵x+y≥2 ＝4，
∴C＝x+y+ ≥4+2 ≈6.83，
故用7米的铁丝最合适。
故答案为：C．
【分析】利用实际问题的已知条件结合三角形的周长公式和均值不等式求最值的方法，从而得出用7米的铁丝最合理共用且浪费最少。
3．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得， ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而选出正确的选项。
4．【答案】v≤40
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】主要考查不等关系与不等式的概念，易得v≤40。
【分析】利用已知条件结合不等关系与不等式的概念，从而写出满足要求的不等式。
5．【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而求出 的取值范围 。
6．【答案】解：因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号， 当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 在 上的最大值是 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出函数 在 上的最大值 。
7．【答案】 ，
当且仅当 ＝ ，即y＝2x时取等号；
又∵ ＋ ＝3，
∴x＝ ，y＝ ；
∴2x＋y的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出2x＋y的最小值。
8．【答案】（1）解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 、 ，篱笆的长度为 .
由已知得 ，由 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 ；
（2）解：由已知得 ，则 ，矩形菜园的面积为 .
由 ，可得 ，
当且仅当 时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 、 ，篱笆的长度为 .（1）由题意得出 ，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出 ，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
9．【答案】（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，
由题意得40x+2×45y＋20xy=3200
应用二元均值不等式，得3 200≥ +20xy,即S+6 ≤160,
而（ +16）（ -10）≤0.
∴ ≤10 S≤100.
因此S的最大允许值是100米2.
（2）当 即x=15米，
即铁栅的长为15米.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合矩形的面积公式得出 S=xy，由题意得40x+2×45y＋20xy=3200,再利用均值不等式求最值的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出仓库顶部面积S的取值范围，进而求出仓库顶部面积S的最大允许值。
（2） 为使S达到最大，而实际投资又不超过预算， 从而得出 ，再解方程组求出x，y的值，进而求出正面铁栅应设计为15米。
10．【答案】（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号；故当 时， 取得最小值4；
（2） ， ．
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
∵ ，
∴函数 的最大值为 ．
（3） ，
，当且仅当 时取等号，即 时， 的最小值为 ，
（4） ， ， ， ．
当且仅当 时，上式等号成立，又 ， ， 时， ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值，并求出此时对应的 的值。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值。
（3）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
（4）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
11．【答案】（1） ，
，
当且仅当 时取等号；
所以 的最小值为12；
（2） ，
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为-1.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值 。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值 。
12．【答案】证明：因为 ，
所以 ，
所以
两边同除以4，即得 ，当且仅当 时，取等号.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再结合完全平方和公式，从而证出不等式 ( ) 成立。
13．【答案】∵ ， ，∴ ．
即 ．当且仅当 时，等号成立．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出不等式 成立。
14．【答案】∵ 、 、 都是正数
∴ （当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）
∴ （当且仅当 时，取等号）
即 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出不等式 成立。
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