北京市海淀区锦秋学校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·海淀开学考） 下列标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·海淀开学考） 若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是三角形（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
3．（2020八上·雷州期中）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·海淀开学考） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八上·海淀开学考）已知三角形三边长分别为，，，且为奇数，则这样的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，平分交于点，交于点，下列四个结论：
；
点在的垂直平分线上；
图中共有个等腰三角形；
≌；
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．（2022七下·锦州期末）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SAS
8．（2022八上·新城开学考）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，共36.0分）
9．（2023八上·海淀开学考） 如图，已知，若以“”为依据证明≌，还需要添加的条件是 ．
10．（2023八上·海淀开学考）已知，点在的内部，，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的周长为 ．
11．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，为边上一点，于，连结，，若，则
12．（2023八上·海淀开学考） 若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长满足，则这样的三角形有 个
13．（2021六下·高青期末）已知10a＝2，10b＝3，则102a+3b＝ ．
14．（2023八上·海淀开学考）如图，一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．
15．（2020八上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，射线 于点A，点E、D分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 和 全等，则 的长为 .
16．（2023八上·海淀开学考） 如图，小亮从点处出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处，小亮走出的这个边形的周长是 米
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·海淀开学考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2023八上·海淀开学考）如图，点、、、在一条直线上，，，求证：．
19．（2023八上·海淀开学考）（1）如图，在直线一侧、两点，在上找一点，使、、三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图，在内部有两点、，是否在、上分别存在点、，使彻、、、，四点组成的四边形的周长最短，找出、两点，保留作图痕迹．
20．（2023八上·海淀开学考）如图，已知是等边三角形，于点，于点，，求证：
（1）≌；
（2）是的垂直平分线．
21．（2023八上·海淀开学考）爱思考的小候同学在学习因式分解的课上因为走神，没能听到刘老师讲的十字相乘法，因为害怕批评，小侯同学不敢去问刘老师，于是对于使用十字相乘法因式分解的题目，进行了如下研究：
对多项式进行因式分解，小侯同学通过观察发现，这个多项式的前两项与完全平方公式相似，于是他将整个多项式，使得多项式变为：；
随后他先使用完全平方公式变形得到：；
再次通过观察，他发现可以理解为，此时借由平方差公式，可以将这个代数式变为：．
经过验证，所得答案确实为原多项式因式分解的结果，请你按照小侯同学的步骤解决一下问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
22．（2023八上·海淀开学考）（1）问题背景：如图，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证： ；用，，填空
（2）拓展延伸：如图，将中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请求出，，三条线段的数量关系，并证明；
（3）实际应用：如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标．
23．（2023八上·海淀开学考）如图，是等边三角形，延长至点，将点关于直线对称得到点，延长线段至点使得，连接，，，，记线段交直线于点，线段交直线于点，连接请你补全图形，判断的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，符合题意。
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条轴折叠后能够重合的图形为轴对称图形。
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质可知：
三角形内一点到三角形三条边的距离相等的点是角平分线的交点
故答案为：D
【分析】根据角平分线的判定定理及性质即可求出答案。
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高线定义可得：过点B作BE⊥AC，垂足为点E，则线段BE即为△ABC的高，所以综合选项只有D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】直接根据三角形的高线进行排除选项即可．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，A正确，符合题意；
B：，B错误，不符合题意；
C：，C错误，不符合题意；
D：，D错误，不符合题意。
故答案为：A
【分析】根据有理数加减运算，同底数幂的乘除法，幂的乘方进行计算即可求出答案。
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
，及5
∵a为奇数
∴a=7或9
故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系列出关于a的不等式，解不等式，求奇数解即可求出答案。
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
正确
∴点在的垂直平分线上
正确
都是等腰三角形
正确
在△AED和△BCD中
∴≌
正确
故答案为：A
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，角平分线性质，直线平行性质，垂线段平分线定理的逆定理，全等三角形的判定定理进行计算求证，即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：第③块保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法，结合图形求解即可。
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．
，
的面积为，的面积为，
，
的面积的面积，
，
的面积，的面积，
，
的面积的面积，
的面积，
，
的面积为2.
故答案为：A.
【分析】连接AE、CD，设△ABC的面积为m，由已知知BD=2AB、EC=3BC、AC=AF，则△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，△ADF的面积=△ACD的面积=3m，△ECA的面积为3m，△EDC的面积为6m，△AEF的面积=△EAC的面积=3m，然后根据S△DEF=36可得m的值，进而可得△ABC的面积.
9．【答案】OA=OD
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：由题意可得：
在△AOB和△DOC中
∴≌
∴还需要添加的条件是OA=OD
故答案为：OA=OD
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
10．【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线OA的对称点C，关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD
由题意可得：CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=4
∴△COD是等边三角形
∴CD=OC=OD=4
即 的周长的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=4
故答案为：4
【分析】作点P关于直线OA的对称点C，关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD，根据对称性得出CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=4，求出∠COD=60°，得出△COD是等边三角形，再根据等边三角形性质即可求出答案。
11．【答案】35
【知识点】余角、补角及其性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
DE是线段AC的垂直平分线
∵EA=EC
∵在中，，，
故答案为：35
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形中两锐角互余即可求出答案。
12．【答案】11
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设中间数为x，则前面一个数为x-1，后面一个数为x+1
由题意可得：
解得：662∴x的值为：663，664，666，666，667，668，669，670，771，672，673，共11个
故答案为11
【分析】根据题意设设中间数为x，则前面一个数为x-1，后面一个数为x+1，求出周长m，可求出x的取值范围，x取自然数即可求出答案。
13．【答案】108
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵10a＝2，10b＝3，
∴102a+3b＝（10a）2 （10b）3＝4×27＝108，
故答案为108．
【分析】根据幂的乘方进行计算即可。
14．【答案】45°，135°，165°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当，AC∥BE
当，AC∥BE
当，AC∥BE
故答案为：45°，135°，165°
【分析】根据三角形内角和定理及两直线平行的判定定理即可求出答案。
15．【答案】5或12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL），
即AE=BC=5；
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt△CBA与Rt△DAE中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等.
综上所述，AE=5或12.
故答案为：5或12.
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置.②Rt△CBA≌Rt△DAE，此时AE=AB=12，E、B重合.
16．【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：走n次后构成一个正n边形
∵n边形外角和为360°
∴15n=360，解得：n=24
则周长为5×24=120（米）
故答案为：120
【分析】根据多边形外角和定理可求出n边形的边数，再求出周长即可。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；多项式乘多项式；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据幂点的乘方，同底数幂的乘除法法则进行化简求值即可。
（2）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则进行化简即可。
18．【答案】证明：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得到，再根据全等三角形的判定定理可得：≌，再根据全等三角形性质即可求出答案。
19．【答案】（1）解：如图中，点即为所求；
（2）如图中，点，即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据对称点的性质，找出C点关于AB的对称点，连接DC'交AB于点P即为所得。
（2）作M关于OA的对称点C，N关于OB的对称点D，连接CD交OA于点E，OB于点F即为所得。
20．【答案】（1）证明：是的角平分线，
．
于点，于点，
．
在和中，
，
≌．
．
于点，于点，
．
在和中，
，
≌．
（2）证明：≌，
．
又，
．
在和中，
，
≌．
，．
是的中垂线．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，由题意得，根据全等三角形判定定理可得 ≌，即可得DE=DF，再根据三角形判定定理即可求出答案。
（2）根据全等三角形性质可得AB=AC，根据全等三角形判定定理可得≌，即可求出答案。
21．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法得到，再根据平方差公式即可求出答案。
（2） 根据配方法得到 ，再根据平方差公式即可求出答案。
22．【答案】（1）DE；BD；CE
（2），
证明：在中，，
，，
．
在和中，
≌，
，，
；
（3）点的坐标为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）∵直线，直线
在△ADB和△CEA中
故答案为：DE=BD+CE
（3）作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于F
由（1）可知：
故点B的坐标为：（1，4）
【分析】（1）根据三角形内角和定理，全等三角形判定定理可得出，再根据全等三角形性质即可求出答案。
（2）根据三角形内角和定理可得出，再证明≌，再根据全等三角形性质即可求出答案。
（3）作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于F，根据（1）中的条件可得，再根据点的坐标即可求出答案。
23．【答案】解：补全图形如下：
是等边三角形，证明如下：
是等边三角形，
，，
，关于对称，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得出，，再根据点的对称性及三角形内角和定理得出，，再根据全等三角形判定定理得出≌，≌，再根据全等三角形性质及等边三角形判定定理即可求出答案。
1 / 1北京市海淀区锦秋学校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·海淀开学考） 下列标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，符合题意。
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条轴折叠后能够重合的图形为轴对称图形。
2．（2023八上·海淀开学考） 若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是三角形（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质可知：
三角形内一点到三角形三条边的距离相等的点是角平分线的交点
故答案为：D
【分析】根据角平分线的判定定理及性质即可求出答案。
3．（2020八上·雷州期中）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高线定义可得：过点B作BE⊥AC，垂足为点E，则线段BE即为△ABC的高，所以综合选项只有D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】直接根据三角形的高线进行排除选项即可．
4．（2023八上·海淀开学考） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，A正确，符合题意；
B：，B错误，不符合题意；
C：，C错误，不符合题意；
D：，D错误，不符合题意。
故答案为：A
【分析】根据有理数加减运算，同底数幂的乘除法，幂的乘方进行计算即可求出答案。
5．（2023八上·海淀开学考）已知三角形三边长分别为，，，且为奇数，则这样的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
，及5∵a为奇数
∴a=7或9
故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系列出关于a的不等式，解不等式，求奇数解即可求出答案。
6．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，平分交于点，交于点，下列四个结论：
；
点在的垂直平分线上；
图中共有个等腰三角形；
≌；
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
正确
∴点在的垂直平分线上
正确
都是等腰三角形
正确
在△AED和△BCD中
∴≌
正确
故答案为：A
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，角平分线性质，直线平行性质，垂线段平分线定理的逆定理，全等三角形的判定定理进行计算求证，即可求出答案。
7．（2022七下·锦州期末）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：第③块保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法，结合图形求解即可。
8．（2022八上·新城开学考）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．
，
的面积为，的面积为，
，
的面积的面积，
，
的面积，的面积，
，
的面积的面积，
的面积，
，
的面积为2.
故答案为：A.
【分析】连接AE、CD，设△ABC的面积为m，由已知知BD=2AB、EC=3BC、AC=AF，则△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，△ADF的面积=△ACD的面积=3m，△ECA的面积为3m，△EDC的面积为6m，△AEF的面积=△EAC的面积=3m，然后根据S△DEF=36可得m的值，进而可得△ABC的面积.
二、填空题（本大题共8小题，共36.0分）
9．（2023八上·海淀开学考） 如图，已知，若以“”为依据证明≌，还需要添加的条件是 ．
【答案】OA=OD
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：由题意可得：
在△AOB和△DOC中
∴≌
∴还需要添加的条件是OA=OD
故答案为：OA=OD
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
10．（2023八上·海淀开学考）已知，点在的内部，，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的周长为 ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线OA的对称点C，关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD
由题意可得：CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=4
∴△COD是等边三角形
∴CD=OC=OD=4
即 的周长的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=4
故答案为：4
【分析】作点P关于直线OA的对称点C，关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD，根据对称性得出CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=4，求出∠COD=60°，得出△COD是等边三角形，再根据等边三角形性质即可求出答案。
11．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，为边上一点，于，连结，，若，则
【答案】35
【知识点】余角、补角及其性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
DE是线段AC的垂直平分线
∵EA=EC
∵在中，，，
故答案为：35
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形中两锐角互余即可求出答案。
12．（2023八上·海淀开学考） 若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长满足，则这样的三角形有 个
【答案】11
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设中间数为x，则前面一个数为x-1，后面一个数为x+1
由题意可得：
解得：662∴x的值为：663，664，666，666，667，668，669，670，771，672，673，共11个
故答案为11
【分析】根据题意设设中间数为x，则前面一个数为x-1，后面一个数为x+1，求出周长m，可求出x的取值范围，x取自然数即可求出答案。
13．（2021六下·高青期末）已知10a＝2，10b＝3，则102a+3b＝ ．
【答案】108
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵10a＝2，10b＝3，
∴102a+3b＝（10a）2 （10b）3＝4×27＝108，
故答案为108．
【分析】根据幂的乘方进行计算即可。
14．（2023八上·海淀开学考）如图，一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．
【答案】45°，135°，165°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当，AC∥BE
当，AC∥BE
当，AC∥BE
故答案为：45°，135°，165°
【分析】根据三角形内角和定理及两直线平行的判定定理即可求出答案。
15．（2020八上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，射线 于点A，点E、D分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 和 全等，则 的长为 .
【答案】5或12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL），
即AE=BC=5；
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt△CBA与Rt△DAE中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等.
综上所述，AE=5或12.
故答案为：5或12.
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置.②Rt△CBA≌Rt△DAE，此时AE=AB=12，E、B重合.
16．（2023八上·海淀开学考） 如图，小亮从点处出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处，小亮走出的这个边形的周长是 米
【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：走n次后构成一个正n边形
∵n边形外角和为360°
∴15n=360，解得：n=24
则周长为5×24=120（米）
故答案为：120
【分析】根据多边形外角和定理可求出n边形的边数，再求出周长即可。
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·海淀开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；多项式乘多项式；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据幂点的乘方，同底数幂的乘除法法则进行化简求值即可。
（2）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则进行化简即可。
18．（2023八上·海淀开学考）如图，点、、、在一条直线上，，，求证：．
【答案】证明：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得到，再根据全等三角形的判定定理可得：≌，再根据全等三角形性质即可求出答案。
19．（2023八上·海淀开学考）（1）如图，在直线一侧、两点，在上找一点，使、、三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图，在内部有两点、，是否在、上分别存在点、，使彻、、、，四点组成的四边形的周长最短，找出、两点，保留作图痕迹．
【答案】（1）解：如图中，点即为所求；
（2）如图中，点，即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据对称点的性质，找出C点关于AB的对称点，连接DC'交AB于点P即为所得。
（2）作M关于OA的对称点C，N关于OB的对称点D，连接CD交OA于点E，OB于点F即为所得。
20．（2023八上·海淀开学考）如图，已知是等边三角形，于点，于点，，求证：
（1）≌；
（2）是的垂直平分线．
【答案】（1）证明：是的角平分线，
．
于点，于点，
．
在和中，
，
≌．
．
于点，于点，
．
在和中，
，
≌．
（2）证明：≌，
．
又，
．
在和中，
，
≌．
，．
是的中垂线．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，由题意得，根据全等三角形判定定理可得 ≌，即可得DE=DF，再根据三角形判定定理即可求出答案。
（2）根据全等三角形性质可得AB=AC，根据全等三角形判定定理可得≌，即可求出答案。
21．（2023八上·海淀开学考）爱思考的小候同学在学习因式分解的课上因为走神，没能听到刘老师讲的十字相乘法，因为害怕批评，小侯同学不敢去问刘老师，于是对于使用十字相乘法因式分解的题目，进行了如下研究：
对多项式进行因式分解，小侯同学通过观察发现，这个多项式的前两项与完全平方公式相似，于是他将整个多项式，使得多项式变为：；
随后他先使用完全平方公式变形得到：；
再次通过观察，他发现可以理解为，此时借由平方差公式，可以将这个代数式变为：．
经过验证，所得答案确实为原多项式因式分解的结果，请你按照小侯同学的步骤解决一下问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法得到，再根据平方差公式即可求出答案。
（2） 根据配方法得到 ，再根据平方差公式即可求出答案。
22．（2023八上·海淀开学考）（1）问题背景：如图，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证： ；用，，填空
（2）拓展延伸：如图，将中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请求出，，三条线段的数量关系，并证明；
（3）实际应用：如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）DE；BD；CE
（2），
证明：在中，，
，，
．
在和中，
≌，
，，
；
（3）点的坐标为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）∵直线，直线
在△ADB和△CEA中
故答案为：DE=BD+CE
（3）作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于F
由（1）可知：
故点B的坐标为：（1，4）
【分析】（1）根据三角形内角和定理，全等三角形判定定理可得出，再根据全等三角形性质即可求出答案。
（2）根据三角形内角和定理可得出，再证明≌，再根据全等三角形性质即可求出答案。
（3）作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于F，根据（1）中的条件可得，再根据点的坐标即可求出答案。
23．（2023八上·海淀开学考）如图，是等边三角形，延长至点，将点关于直线对称得到点，延长线段至点使得，连接，，，，记线段交直线于点，线段交直线于点，连接请你补全图形，判断的形状，并证明你的结论．
【答案】解：补全图形如下：
是等边三角形，证明如下：
是等边三角形，
，，
，关于对称，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得出，，再根据点的对称性及三角形内角和定理得出，，再根据全等三角形判定定理得出≌，≌，再根据全等三角形性质及等边三角形判定定理即可求出答案。
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