2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试1.1.1 空间向量及其线性运算（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试1.1.1 空间向量及其线性运算（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 362.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-10 15:48:42 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
1．1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
一．选择题
1.下列说法中，错误的是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件
B．若a＝b，b＝c，则a＝c
C．向量a，b相等的充要条件是
D．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
4．如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A． B．3
C．3 D．2
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
6.设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
7．以下说法正确的为( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b
C．不相等的两个空间向量的模必不相等
D．对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
8．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
9．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是( )
A． B．
C． D．
10．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且＝α＋β，则( )
A．α＝，β＝－1
B．α＝－，β＝1
C．α＝1，β＝－
D．α＝－1，β＝
11．(多选)设A，B，C是空间任意三点，下列结论正确的是( )
A．＋＝ B．＋＋＝0
C．－＝ D．＝－
二、填空题
12．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状一定是________．
13. 已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，O＝b，O＝c，则O＝________.
14．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.
三、解答题
15．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
16．如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中：
(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；
(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
17. 如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
第一章 空间向量与立体几何
1．1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
一．选择题
1.下列说法中，错误的是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 D
解析 共线的单位向量是相等向量或相反向量．
2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
答案 C
解析 因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C．
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件
B．若a＝b，b＝c，则a＝c
C．向量a，b相等的充要条件是
D．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
答案 AB
解析 A正确，∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在 ABCD中，有＝；B正确，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c；C不正确，由a∥b，知a与b的方向相同或相反；D显然不正确．故选AB．
4．如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A． B．3
C．3 D．2
答案 B
解析 －＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.故选B．
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
答案 D
解析 因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.
6.设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
答案 A
解析 已知m＋n＝1，则m＝1－n，所以＝(1－n)＋n＝－n＋n －＝n(－) ＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线．故选A．
7．以下说法正确的为( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b
C．不相等的两个空间向量的模必不相等
D．对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
答案 D
解析 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故A错误；向量是不能比较大小的，故B错误；不相等的两个空间向量的模也可以相等，故C错误；由向量加法的几何意义可知D正确．故选D．
8．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
答案 A
解析 记c＝2a－b，由共面向量的判定方法易知，a，b，c三个向量是共面向量．故选A．
9．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 由于ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，所以||＝||，且与方向相同，故＝.故选C．
10．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且＝α＋β，则( )
A．α＝，β＝－1
B．α＝－，β＝1
C．α＝1，β＝－
D．α＝－1，β＝
答案 A
解析 根据向量加法的多边形法则以及已知可得，＝＋＋＝＋＋＝＋－＋＋＝－，∴α＝，β＝－1.故选A．
11．(多选)设A，B，C是空间任意三点，下列结论正确的是( )
A．＋＝ B．＋＋＝0
C．－＝ D．＝－
答案 ACD
解析 B中向量的和应该是零向量，而不是数0，B错误；由空间向量的线性运算法则，知A，C，D正确．故选ACD．
二、填空题
12．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状一定是________．
答案 平行四边形
解析 因为＝＋，所以四边形ABCD是以AB与AD为邻边，AC为对角线的平行四边形．
13. 已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，O＝b，O＝c，则O＝________.
答案 a＋b＋c
解析 ∵MP＝2PN，
∴M＝2P，
即O－O＝2(O－O)，
3O＝O＋2O＝a＋b＋c，
∴O＝a＋b＋c．
14．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.
答案 － －
解析 如图所示，在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，则＝＋.
∵＝－＝－＝＝(－)，＝＝＝－，
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
三、解答题
15．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
16．如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中：
(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；
(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
解 (1)－－＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋0＝＋＝.
在图中所示如下：
(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0＋＝.
在图中所示如下：
17. 如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c
＝，
∴∥.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．
1．1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
一．选择题
1.下列说法中，错误的是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件
B．若a＝b，b＝c，则a＝c
C．向量a，b相等的充要条件是
D．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
4．如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A． B．3
C．3 D．2
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
6.设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
7．以下说法正确的为( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b
C．不相等的两个空间向量的模必不相等
D．对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
8．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
9．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是( )
A． B．
C． D．
10．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且＝α＋β，则( )
A．α＝，β＝－1
B．α＝－，β＝1
C．α＝1，β＝－
D．α＝－1，β＝
11．(多选)设A，B，C是空间任意三点，下列结论正确的是( )
A．＋＝ B．＋＋＝0
C．－＝ D．＝－
二、填空题
12．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状一定是________．
13. 已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，O＝b，O＝c，则O＝________.
14．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.
三、解答题
15．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
16．如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中：
(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；
(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
17. 如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
第一章 空间向量与立体几何
1．1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
一．选择题
1.下列说法中，错误的是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 D
解析 共线的单位向量是相等向量或相反向量．
2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
答案 C
解析 因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C．
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件
B．若a＝b，b＝c，则a＝c
C．向量a，b相等的充要条件是
D．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
答案 AB
解析 A正确，∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在 ABCD中，有＝；B正确，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c；C不正确，由a∥b，知a与b的方向相同或相反；D显然不正确．故选AB．
4．如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A． B．3
C．3 D．2
答案 B
解析 －＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.故选B．
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
答案 D
解析 因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.
6.设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
答案 A
解析 已知m＋n＝1，则m＝1－n，所以＝(1－n)＋n＝－n＋n －＝n(－) ＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线．故选A．
7．以下说法正确的为( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b
C．不相等的两个空间向量的模必不相等
D．对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
答案 D
解析 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故A错误；向量是不能比较大小的，故B错误；不相等的两个空间向量的模也可以相等，故C错误；由向量加法的几何意义可知D正确．故选D．
8．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
答案 A
解析 记c＝2a－b，由共面向量的判定方法易知，a，b，c三个向量是共面向量．故选A．
9．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 由于ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，所以||＝||，且与方向相同，故＝.故选C．
10．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且＝α＋β，则( )
A．α＝，β＝－1
B．α＝－，β＝1
C．α＝1，β＝－
D．α＝－1，β＝
答案 A
解析 根据向量加法的多边形法则以及已知可得，＝＋＋＝＋＋＝＋－＋＋＝－，∴α＝，β＝－1.故选A．
11．(多选)设A，B，C是空间任意三点，下列结论正确的是( )
A．＋＝ B．＋＋＝0
C．－＝ D．＝－
答案 ACD
解析 B中向量的和应该是零向量，而不是数0，B错误；由空间向量的线性运算法则，知A，C，D正确．故选ACD．
二、填空题
12．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状一定是________．
答案 平行四边形
解析 因为＝＋，所以四边形ABCD是以AB与AD为邻边，AC为对角线的平行四边形．
13. 已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，O＝b，O＝c，则O＝________.
答案 a＋b＋c
解析 ∵MP＝2PN，
∴M＝2P，
即O－O＝2(O－O)，
3O＝O＋2O＝a＋b＋c，
∴O＝a＋b＋c．
14．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.
答案 － －
解析 如图所示，在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，则＝＋.
∵＝－＝－＝＝(－)，＝＝＝－，
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
三、解答题
15．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
16．如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中：
(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；
(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
解 (1)－－＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋0＝＋＝.
在图中所示如下：
(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0＋＝.
在图中所示如下：
17. 如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c
＝，
∴∥.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．