2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试1.2 空间向量基本定理（含解析）

第一章　空间向量与立体几何
1．2　空间向量基本定理
一．选择题
1.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A．2a B．2b
C．2a＋3b D．2a＋5c
2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　)
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
3．(多选)O，A，B，C为空间的四个点，又{，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　)
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
4.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)
A．，－，
B．－，，
C．，，－
D．，，－
5．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　)
A．＝－a＋b＋c
B．＝－b－a－c
C．＝a－b－c
D．＝a－b＋c
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量用基底{i，j，k}表示为(　　)
A．＝i＋j＋k B．＝i＋j＋k
C．＝3i＋2j＋5k D．＝3i＋2j－5k
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　)
A．重合 B．垂直
C．平行 D．无法确定
8．如图是一个平行六面体ABCD－A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，＝2，则＝(　　)
A．＋＋ B．＋－
C．＋－ D．＋－
9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　)
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
10．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的向量组为(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
二、填空题
11．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．
13．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝________.
三、解答题
14．已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形， ABB1A1， BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求直线BA1与AC所成的角的余弦值．
15. 如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
第一章　空间向量与立体几何
1．2　空间向量基本定理
一．选择题
1.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A．2a B．2b
C．2a＋3b D．2a＋5c
答案　D
解析　由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，在四个选项中，只有D与p，q不共面，因此，2a＋5c与p，q能构成一组基底，故选D．
2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　)
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案　C
解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D不能作为基底．故选C．
3．(多选)O，A，B，C为空间的四个点，又{，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　)
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
答案　ACD
解析　由于{，，}为空间的一个基底，所以，，不共面，因此，O，A，B，C四点一定不共面，则A，C，D正确，B错误．故选ACD．
知识点二 用基底表示向量
4.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)
A．，－，
B．－，，
C．，，－
D．，，－
答案　B
解析　＝＋＋
＝＋(－)＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
即x＝－，y＝，z＝.故选B．
5．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　)
A．＝－a＋b＋c
B．＝－b－a－c
C．＝a－b－c
D．＝a－b＋c
答案　D
解析　＝＋＝－＋(＋)
＝－＋O＝a－b＋c．
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量用基底{i，j，k}表示为(　　)
A．＝i＋j＋k B．＝i＋j＋k
C．＝3i＋2j＋5k D．＝3i＋2j－5k
答案　C
解析　＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　)
A．重合 B．垂直
C．平行 D．无法确定
答案　B
解析　连接C1E，则＝＋＋，＝＋＝－(＋)．设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直．
8．如图是一个平行六面体ABCD－A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，＝2，则＝(　　)
A．＋＋ B．＋－
C．＋－ D．＋－
答案　B
解析　取BC的中点F，连接A1F，则A1D1綊FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F綊D1E，所以＝.又＝＋＋＝－＋＋，所以＝＋－.故选B．
9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　)
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
答案　A
解析　＝＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋.对比＝x＋y＋z，知x＝y＝z＝1.
10．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的向量组为(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
答案　BCD
解析　如图所示，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理可知b，c，z不共面，x，y，a＋b＋c也不共面，故B，C，D都可以作为空间的基底，而a，b，x共面，故A不能作为空间的基底．故选BCD．
二、填空题
11．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
答案　1　－1
解析　因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．
答案　
解析　设CA＝CC1＝2CB＝2，＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个基底，＝＋＝－k＋j，＝＋＋＝－i＋k＋j.cos〈，〉＝＝＝，所以直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为.
13．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝________.
答案　2　1　
解析　如图，＝＋
＝＋(＋)
＝2a＋b＋c＝xa＋yb＋zc．
所以x＝2，y＝1，z＝.
三、解答题
14．已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形， ABB1A1， BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求直线BA1与AC所成的角的余弦值．
解　如图所示，＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底.＝＋＝i＋k，＝＋＝－i＋j，cos〈，〉＝＝＝－.所以直线BA1与AC所成角的余弦值为.
15. 如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
解　连接AC，AC1.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c．
(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c．
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c．
(4)＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c．