2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 414.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-10 16:28:13 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
1．4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一．选择题
1.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量的为( )
A．＋2＋2 B．－3－2
C．＋3－2 D．＋2－3
2.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A． B．
C． D．
3．(多选)已知平面α内有一点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( )
A．P1(1，－1,1) B．P2
C．P3 D．P4
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
6．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
7．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝( )
A．a B．2a
C．a或2a D．2a或4a
9．(多选)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为( )
二、填空题
10．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是________．
11．已知平面α的一个法向量u＝(－2，x,1)，平面β的一个法向量v＝(1，－2，y)．若α∥β，则x＋y＝________，若α⊥β，则x－＝________.
12．向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2,3,1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．
三、解答题
13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
14. 如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG与直线PG和BC都垂直．
15. 如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.求证：直线MN∥平面PBC．
第一章 空间向量与立体几何
1．4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一．选择题
1.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量的为( )
A．＋2＋2 B．－3－2
C．＋3－2 D．＋2－3
答案 C
解析 连接AP，∵A，B，C，P四点共面，∴可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由题图可知x＝3，y＝－2.
2.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，∴
即解得
故＝.
3．(多选)已知平面α内有一点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( )
A．P1(1，－1,1) B．P2
C．P3 D．P4
答案 BC
解析 对于A中的点P1(1，－1,1)，＝(1,0,1)，·n＝≠0，排除A；同理可排除D；对于B中的点P2，＝，∴·n＝0；对于C中的点P3(2,1,1)，＝(0，－2,1)，∴·n＝0.故选BC．
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，C1(0,1,1)，E，∴＝，＝(－1，1,0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD．
5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案 D
解析 因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝ x＝6，y＝.
6．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
答案 B
解析 由题意知，与a共线的向量都能作为平面γ的法向量，由(3,6,9)＝3(1,2,3)知，向量(3,6,9)与向量a＝(1,2,3)共线．故选B．
7．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
答案 C
解析 ∵l∥α，∴l与平面α的法向量垂直．故2×1＋×m＋1×2＝0，解得m＝－8.故选C．
8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝( )
A．a B．2a
C．a或2a D．2a或4a
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则点B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)，＝.又·＝a2－a2＋0＝0，C·＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a．故AE＝a或2a．故选C．
9．(多选)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为( )
答案 AD
解析 如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′，连接AC，BD，∵M，P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，又DB′ 平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l⊥平面MNP，故A正确；在D中，与A中证明同理，可证l⊥MP，l⊥MN，又MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP，故D正确；对于B，建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则M(1,0,0)，N(2,2,1)， ＝(1,2,1)，直线l所在体对角线两个顶点坐标分别为(0,0,2)，(2,2,0)，
所以直线l的方向向量n＝(2,2，－2)，∵n·＝4≠0，∴直线l不可能垂直于平面MNP，故B错误；同理，可在C中建立相同的空间直角坐标系，则M(2,0,1)，N(1,2,0)，＝(－1，2，－1)，∵n·＝4≠0，∴直线l不可能垂直于平面MNP，故C错误．故选AD．
二、填空题
10．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是________．
答案 或
解析 设所求向量为c＝(x，y，z)，
则解得或
11．已知平面α的一个法向量u＝(－2，x,1)，平面β的一个法向量v＝(1，－2，y)．若α∥β，则x＋y＝________，若α⊥β，则x－＝________.
答案 －1
解析 因为α∥β，所以u∥v，所以＝＝，解得x＝4，y＝－，所以x＋y＝.因为α⊥β，所以u⊥v，所以－2×1＋(－2)x＋1×y＝0，故x－＝－1.
12．向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2,3,1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．
答案 否
解析 m·a＝(2,3,1)·(－1,2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2,3,1)·(2，－2,3)＝4－6＋3＝1≠0.所以l与α不垂直．
三、解答题
13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
证明 证法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则可求得
M，N，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1,1,0)，
于是＝，＝(1,0，1)，
＝(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，
所以n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
证法二：因为＝－＝－
＝(－)＝，
所以∥.
而MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，所以MN∥平面A1BD．
14. 如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG与直线PG和BC都垂直．
证明 (1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz.
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0，0,3)，E(0，2,1)，F(0，1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)．
于是＝(0，－1，－1)，
＝(1，－1，－1)．
设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，
则即可取n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，
∴平面GEF⊥平面PBC．
(2)由(1)，知＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)，
∴·＝0，·＝0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG与直线PG和BC都垂直．
15. 如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.求证：直线MN∥平面PBC．
证明 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)
＝－＋＝－，
∴与，共面，
∵MN 平面PBC，∴MN∥平面PBC．
1．4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一．选择题
1.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量的为( )
A．＋2＋2 B．－3－2
C．＋3－2 D．＋2－3
2.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A． B．
C． D．
3．(多选)已知平面α内有一点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( )
A．P1(1，－1,1) B．P2
C．P3 D．P4
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
6．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
7．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝( )
A．a B．2a
C．a或2a D．2a或4a
9．(多选)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为( )
二、填空题
10．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是________．
11．已知平面α的一个法向量u＝(－2，x,1)，平面β的一个法向量v＝(1，－2，y)．若α∥β，则x＋y＝________，若α⊥β，则x－＝________.
12．向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2,3,1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．
三、解答题
13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
14. 如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG与直线PG和BC都垂直．
15. 如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.求证：直线MN∥平面PBC．
第一章 空间向量与立体几何
1．4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一．选择题
1.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量的为( )
A．＋2＋2 B．－3－2
C．＋3－2 D．＋2－3
答案 C
解析 连接AP，∵A，B，C，P四点共面，∴可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由题图可知x＝3，y＝－2.
2.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，∴
即解得
故＝.
3．(多选)已知平面α内有一点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( )
A．P1(1，－1,1) B．P2
C．P3 D．P4
答案 BC
解析 对于A中的点P1(1，－1,1)，＝(1,0,1)，·n＝≠0，排除A；同理可排除D；对于B中的点P2，＝，∴·n＝0；对于C中的点P3(2,1,1)，＝(0，－2,1)，∴·n＝0.故选BC．
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，C1(0,1,1)，E，∴＝，＝(－1，1,0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD．
5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案 D
解析 因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝ x＝6，y＝.
6．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
答案 B
解析 由题意知，与a共线的向量都能作为平面γ的法向量，由(3,6,9)＝3(1,2,3)知，向量(3,6,9)与向量a＝(1,2,3)共线．故选B．
7．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
答案 C
解析 ∵l∥α，∴l与平面α的法向量垂直．故2×1＋×m＋1×2＝0，解得m＝－8.故选C．
8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝( )
A．a B．2a
C．a或2a D．2a或4a
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则点B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)，＝.又·＝a2－a2＋0＝0，C·＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a．故AE＝a或2a．故选C．
9．(多选)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为( )
答案 AD
解析 如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′，连接AC，BD，∵M，P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，又DB′ 平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l⊥平面MNP，故A正确；在D中，与A中证明同理，可证l⊥MP，l⊥MN，又MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP，故D正确；对于B，建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则M(1,0,0)，N(2,2,1)， ＝(1,2,1)，直线l所在体对角线两个顶点坐标分别为(0,0,2)，(2,2,0)，
所以直线l的方向向量n＝(2,2，－2)，∵n·＝4≠0，∴直线l不可能垂直于平面MNP，故B错误；同理，可在C中建立相同的空间直角坐标系，则M(2,0,1)，N(1,2,0)，＝(－1，2，－1)，∵n·＝4≠0，∴直线l不可能垂直于平面MNP，故C错误．故选AD．
二、填空题
10．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是________．
答案 或
解析 设所求向量为c＝(x，y，z)，
则解得或
11．已知平面α的一个法向量u＝(－2，x,1)，平面β的一个法向量v＝(1，－2，y)．若α∥β，则x＋y＝________，若α⊥β，则x－＝________.
答案 －1
解析 因为α∥β，所以u∥v，所以＝＝，解得x＝4，y＝－，所以x＋y＝.因为α⊥β，所以u⊥v，所以－2×1＋(－2)x＋1×y＝0，故x－＝－1.
12．向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2,3,1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．
答案 否
解析 m·a＝(2,3,1)·(－1,2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2,3,1)·(2，－2,3)＝4－6＋3＝1≠0.所以l与α不垂直．
三、解答题
13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
证明 证法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则可求得
M，N，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1,1,0)，
于是＝，＝(1,0，1)，
＝(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，
所以n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
证法二：因为＝－＝－
＝(－)＝，
所以∥.
而MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，所以MN∥平面A1BD．
14. 如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG与直线PG和BC都垂直．
证明 (1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz.
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0，0,3)，E(0，2,1)，F(0，1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)．
于是＝(0，－1，－1)，
＝(1，－1，－1)．
设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，
则即可取n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，
∴平面GEF⊥平面PBC．
(2)由(1)，知＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)，
∴·＝0，·＝0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG与直线PG和BC都垂直．
15. 如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.求证：直线MN∥平面PBC．
证明 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)
＝－＋＝－，
∴与，共面，
∵MN 平面PBC，∴MN∥平面PBC．