2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 470.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-10 15:50:23 | ||
图片预览
文档简介
1．4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
一．选择题
1. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A． B．
C． D．
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则点N到直线AC1的距离为( )
A． B．
C． D．
3. 直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
5. 正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
6．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角为( )
A．120° B．45°
C．135° D．60°
7．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
10．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，则直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为( )
A． B．
C． D．
11．(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为
D．点C和点G到平面AEF的距离相等
二、填空题
12．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
13．如图，已知四边形ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________．
14．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
三、解答题
15．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD．
(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；
(3)求平面CDE与平面ACD夹角的余弦值．
16. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AEG与平面ACG夹角的大小．
1．4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
一．选择题
1. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0，0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0，1,1)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(1,0,1)，所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则点N到直线AC1的距离为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 如图，以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0,1)，C1(1,1,0)，N，所以＝(1,1，－1)，因为＝，所以＝＝，所以M.
取a＝＝，u＝＝(1,1，－1)，则a2＝，a·u＝.
所以点N到直线AC1的距离为＝.
3. 直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|
答案 D
解析 由题意知，θ与α相等或互补，且α∈，所以cosα＝|cosθ|.故选D．
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 解法一：∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＝.而||＝＝ ＝＝，同理，||＝.如令α为所求角，则cosα＝＝＝.故选D．
解法二：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，
∴＝－(1,0,0)＝，＝－(0,1,0)＝.故·＝0×1＋×0＋1×＝，||＝＝，||＝＝.∴cosα＝＝＝.故选D．
5. 正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题意得A(1，－1,0)，C(－1，1,0)，B(1,1,0)，S(0，0，)．
∴＝(－2,2,0)，
＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，)．
设直线AC与平面SBC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.
6．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角为( )
A．120° B．45°
C．135° D．60°
答案 B
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0，1)，B(1,0,0)，C(1，1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面ADE与平面BCE的夹角为θ，平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(1,0,1)．
又平面ADE的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
所以cosθ＝|cos〈n，〉|＝，
所以平面ADE与平面BCE夹角为45°.
7．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
答案 A
解析 ＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，
而cos〈，〉＝＝＝，
故直线AB和CD所成角的余弦值为.故选A．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 解法一：如图1，过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角．设正方体棱长为1，则MF＝，GF＝，∴sin∠MGF＝.
图1 图2
解法二：如图2，分别以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，∵F，G，∴＝，设直线FG与平面A1ACC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
答案 B
解析 由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)．又A(a,0,0)，B(a，a,0)，＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d＝＝＝a．
10．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，则直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 由题知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示：
则B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，N，P(λ，0,1)，∴＝.易得平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)，则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：sinθ＝|cos〈，n〉|＝，∴tanθ＝，于是问题转化为函数最值问题，而θ∈，当λ＝时，tanθ最大，此时tanθ＝2.
11．(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为
D．点C和点G到平面AEF的距离相等
答案 BC
解析 如图，以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，E，F，G，D1(0,0,1)，C(0,1,0)．对选项A，＝(0,0,1)，A＝，从而·A＝≠0，所以DD1与直线AF不垂直，A错误；对选项B，＝，A＝，A＝，设平面AEF的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则
取x1＝2，则y1＝1，z1＝2，故平面AEF的一个法向量为n＝(2,1,2)，因为·n＝0，所以直线A1G与平面AEF平行，B正确；对选项C，由图可知平面ABCD的一个法向量m＝(0,0,1)，设平面AEF与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ＝＝，即平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为，C正确；对选项D，C＝(1，－1,0)，则点C到平面AEF的距离为＝，G＝，则点G到平面AEF的距离为＝，故点C和点G到平面AEF的距离不相等，D错误．故选BC．
二、填空题
12．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
答案
解析 由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.
13．如图，已知四边形ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________．
答案 60°
解析 设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，则＝－＝c－a，＝a＋b，
∴·＝(c－a)·(a＋b)＝－1.
又||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝－.
又异面直线夹角的取值范围是(0°，90°]，
∴AC与BF所成的角为60°.
14．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
答案
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
∴可取n＝.
又＝(－7，－7,7)，
∴点D到平面ABC的距离d＝＝.
三、解答题
15．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD．
(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；
(3)求平面CDE与平面ACD夹角的余弦值．
解 (1)如图所示，建立空间直角坐标系Axyz.
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M.
＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°.
(2)证明：由＝，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD．
又AD∩AM＝A，故CE⊥平面AMD．
而CE 平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则
于是
令x＝1，可得u＝(1,1,1)．
又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
所以|cos〈u，v〉|＝＝＝.
所以平面CDE与平面ACD夹角的余弦值为.
16. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AEG与平面ACG夹角的大小．
解 (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，
AB，AP 平面ABP，AB∩AP＝A，
所以BE⊥平面ABP，又BP 平面ABP，
所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°.
(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以|cos〈m，n〉|＝＝.
因此所求的角为60°.
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
一．选择题
1. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A． B．
C． D．
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则点N到直线AC1的距离为( )
A． B．
C． D．
3. 直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
5. 正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
6．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角为( )
A．120° B．45°
C．135° D．60°
7．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
10．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，则直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为( )
A． B．
C． D．
11．(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为
D．点C和点G到平面AEF的距离相等
二、填空题
12．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
13．如图，已知四边形ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________．
14．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
三、解答题
15．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD．
(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；
(3)求平面CDE与平面ACD夹角的余弦值．
16. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AEG与平面ACG夹角的大小．
1．4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
一．选择题
1. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0，0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0，1,1)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(1,0,1)，所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则点N到直线AC1的距离为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 如图，以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0,1)，C1(1,1,0)，N，所以＝(1,1，－1)，因为＝，所以＝＝，所以M.
取a＝＝，u＝＝(1,1，－1)，则a2＝，a·u＝.
所以点N到直线AC1的距离为＝.
3. 直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|
答案 D
解析 由题意知，θ与α相等或互补，且α∈，所以cosα＝|cosθ|.故选D．
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 解法一：∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＝.而||＝＝ ＝＝，同理，||＝.如令α为所求角，则cosα＝＝＝.故选D．
解法二：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，
∴＝－(1,0,0)＝，＝－(0,1,0)＝.故·＝0×1＋×0＋1×＝，||＝＝，||＝＝.∴cosα＝＝＝.故选D．
5. 正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题意得A(1，－1,0)，C(－1，1,0)，B(1,1,0)，S(0，0，)．
∴＝(－2,2,0)，
＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，)．
设直线AC与平面SBC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.
6．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角为( )
A．120° B．45°
C．135° D．60°
答案 B
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0，1)，B(1,0,0)，C(1，1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面ADE与平面BCE的夹角为θ，平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(1,0,1)．
又平面ADE的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
所以cosθ＝|cos〈n，〉|＝，
所以平面ADE与平面BCE夹角为45°.
7．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
答案 A
解析 ＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，
而cos〈，〉＝＝＝，
故直线AB和CD所成角的余弦值为.故选A．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 解法一：如图1，过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角．设正方体棱长为1，则MF＝，GF＝，∴sin∠MGF＝.
图1 图2
解法二：如图2，分别以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，∵F，G，∴＝，设直线FG与平面A1ACC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
答案 B
解析 由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)．又A(a,0,0)，B(a，a,0)，＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d＝＝＝a．
10．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，则直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 由题知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示：
则B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，N，P(λ，0,1)，∴＝.易得平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)，则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：sinθ＝|cos〈，n〉|＝，∴tanθ＝，于是问题转化为函数最值问题，而θ∈，当λ＝时，tanθ最大，此时tanθ＝2.
11．(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为
D．点C和点G到平面AEF的距离相等
答案 BC
解析 如图，以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，E，F，G，D1(0,0,1)，C(0,1,0)．对选项A，＝(0,0,1)，A＝，从而·A＝≠0，所以DD1与直线AF不垂直，A错误；对选项B，＝，A＝，A＝，设平面AEF的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则
取x1＝2，则y1＝1，z1＝2，故平面AEF的一个法向量为n＝(2,1,2)，因为·n＝0，所以直线A1G与平面AEF平行，B正确；对选项C，由图可知平面ABCD的一个法向量m＝(0,0,1)，设平面AEF与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ＝＝，即平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为，C正确；对选项D，C＝(1，－1,0)，则点C到平面AEF的距离为＝，G＝，则点G到平面AEF的距离为＝，故点C和点G到平面AEF的距离不相等，D错误．故选BC．
二、填空题
12．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
答案
解析 由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.
13．如图，已知四边形ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________．
答案 60°
解析 设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，则＝－＝c－a，＝a＋b，
∴·＝(c－a)·(a＋b)＝－1.
又||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝－.
又异面直线夹角的取值范围是(0°，90°]，
∴AC与BF所成的角为60°.
14．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
答案
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
∴可取n＝.
又＝(－7，－7,7)，
∴点D到平面ABC的距离d＝＝.
三、解答题
15．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD．
(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；
(3)求平面CDE与平面ACD夹角的余弦值．
解 (1)如图所示，建立空间直角坐标系Axyz.
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M.
＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°.
(2)证明：由＝，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD．
又AD∩AM＝A，故CE⊥平面AMD．
而CE 平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则
于是
令x＝1，可得u＝(1,1,1)．
又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
所以|cos〈u，v〉|＝＝＝.
所以平面CDE与平面ACD夹角的余弦值为.
16. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AEG与平面ACG夹角的大小．
解 (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，
AB，AP 平面ABP，AB∩AP＝A，
所以BE⊥平面ABP，又BP 平面ABP，
所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°.
(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以|cos〈m，n〉|＝＝.
因此所求的角为60°.