2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试第一章空间向量与立体几何（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版数学选择性必修一同步测试第一章空间向量与立体几何（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 551.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-10 15:50:37 | ||
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文档简介
第一章空间向量与立体几何
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C． D．
2．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．a∥b，b⊥c
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
4．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为( )
A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5
C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8
5．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)
C．(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B．
C． D．
7．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面PBC与平面PAB夹角的正切值为( )
A． B．
C． D．
8．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A． B．
C． D．2
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A．＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C．＋＋
D．－＋－
10．设向量i，j，k是不共面的三个向量，则下列各组向量能作为空间向量基底的是( )
A．p＝i－2j＋k，q＝－i＋3j＋2k，r＝－3i＋7j
B．p＝i＋j－k，q＝2i＋3j－5k，r＝－7i＋18j＋22k
C．p＝i＋j，q＝i＋k，r＝j＋k
D．p＝i＋j，q＝i－j，r＝k
11．定义空间两个非零向量的一种运算a b＝|a||b|sin〈a，b〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b
C．(a＋b) c＝(a c)＋(b c)
D．若a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)，则a b＝|x1y2－x2y1|
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．下列结论正确的是( )
A．直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为
B．||的最大值为2
C．cos∠A1D1P的取值范围为
D．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.
14．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于________．
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝________，此时异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2，1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为坐标原点)
18．(本小题满分12分) 如图所示，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
19．(本小题满分12分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
20．(本小题满分12分)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．
22．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB．
(1)过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；
(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
第一章空间向量与立体几何
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C． D．
答案 C
解析 由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.故选C．
2．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．a∥b，b⊥c
答案 C
解析 ∵a＝(－2，－3,1)，c＝(－4，－6,2)，∴c＝2a，∴a∥c．又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝0，∴a⊥b．故选C．
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
答案 D
解析 ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．故选D．
4．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为( )
A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5
C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8
答案 A
解析 ∵a∥b且a≠0，∴b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.又m，n，p不共面，∴＝＝，∴x＝－13，y＝8.故选A．
5．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)
C．(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
答案 B
解析 设a＝(x，y，z)，因为＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，则解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B．
C． D．
答案 C
解析 设M点的坐标为(x，y,1)，因为AC∩BD＝O，所以O，又E(0,0,1)，A(，，0)，所以＝， ＝(x－，y－，1)，因为AM∥平面BDE，所以∥，所以＝＝，解得所以M点的坐标为.故选C．
7．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面PBC与平面PAB夹角的正切值为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，∴＝(0，－2，2)，＝(，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即令y＝1，则x＝，z＝1，即n＝.易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量，则|cos〈m，n〉|＝＝＝.
∴tan〈m，n〉＝.故选A．
8．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A． B．
C． D．2
答案 B
解析 如图，作EO⊥AB于O，以OE所在直线为x轴，O为坐标原点，过O作平行于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0，1,2)．则＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.故选B．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A．＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C．＋＋
D．－＋－
答案 BD
解析 A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝(－)＋(－)＝0.故选BD．
10．设向量i，j，k是不共面的三个向量，则下列各组向量能作为空间向量基底的是( )
A．p＝i－2j＋k，q＝－i＋3j＋2k，r＝－3i＋7j
B．p＝i＋j－k，q＝2i＋3j－5k，r＝－7i＋18j＋22k
C．p＝i＋j，q＝i＋k，r＝j＋k
D．p＝i＋j，q＝i－j，r＝k
答案 BCD
解析 对于A，令r＝mp＋nq，则－3i＋7j＝m(i－2j＋k)＋n(－i＋3j＋2k)＝(m－n)i＋(3n－2m)j＋(m＋2n)k，故得m＝－2，n＝1，即r＝－2p＋q，也就是说向量p，q，r共面，从而不能作为空间向量的一个基底．同理可得其他选项对应的三个向量不共面，即可作为空间向量的一个基底．故选BCD．
11．定义空间两个非零向量的一种运算a b＝|a||b|sin〈a，b〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b
C．(a＋b) c＝(a c)＋(b c)
D．若a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)，则a b＝|x1y2－x2y1|
答案 AD
解析 对于A，a b＝|a||b|sin〈a，b〉，b a＝|b||a|·sin〈b，a〉，故a b＝b a恒成立；对于B，λ(a b)＝λ(|a||b|sin〈a，b〉)，(λa) b＝|λ||a||b|sin〈λa，b〉，故λ(a b)＝(λa) b不会恒成立；对于C，令a＝λb，则(a＋b) c＝|1＋λ||b||c|sin〈(1＋λ)b，c〉，(a c)＋(b c)＝|λb||c|sin〈λb，c〉＋|b||c|sin〈b，c〉．若λ≥0，等式成立；若λ<0，等式显然不成立．故(a＋b) c＝(a c)＋(b c)不会恒成立；对于D，cos〈a，b〉＝，
sin〈a，b〉＝，
则有a b＝|a||b|·
＝|a|·
＝·
＝
＝＝|x1y2－x2y1|.
则a b＝|x1y2－x2y1|恒成立．故选AD．
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．下列结论正确的是( )
A．直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为
B．||的最大值为2
C．cos∠A1D1P的取值范围为
D．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
答案 ABCD
解析 对于A，连接AC，易知∠MCA即为直线CM与平面ABCD所成的角，AC＝2，CM＝3，则cos∠MCA＝，A正确；对于B，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,2,2)．
∵点P在侧面ABB1A1内，∴设P(a,0，b)，a，b∈[0,2]，则＝(a，－2，b－2)，∴||＝∈[2,2]，即||的最大值为2，B正确；对于C，cos∠A1D1P＝＝∈，C正确；对于D，∵M(0,0,1)，C(2，2,0)，B(2,0,0)，C＝(－2，－2,1)，P＝(2－a,0，－b)，D1P⊥CM，∴·＝－2a＋4＋b－2＝0，即b＝2a－2，∴a∈[1，2]．∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，∴S△PBC＝BC·PB＝×2×PB＝ .将b＝2a－2代入，可得S△PBC＝＝，a∈[1,2]，∴当a＝时，S△PBC取得最小值，最小值为，D正确．故选ABCD．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.
答案 2
解析 由题意知a∥b，所以＝＝，解得λ＝2.
14．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于________．
答案
解析 ＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝，
故当x＝时，||取最小值．
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
答案 －－＋
解析 连接AE，则＝－＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝________，此时异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为________．
答案
解析 如图，连接AC，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，所以＝(－1，1，m)，＝(－1，1,0)，
又·＝0，·＝0，
所以是平面BDD1B1的一个法向量．
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以m＝.
异面直线AP与A1B1所成角，即为AP与AB所成角，即∠PAB，由m＝，得AP＝＝，则cos∠PAB＝＝，即异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2，1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为坐标原点)
解 (1)因为a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，所以2a＋b＝(0，－5，5)，所以|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，设其坐标为E(x，y，z)，
则＝λ，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，
所以
所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．
又因为b＝(－2,1,1)，⊥b，
所以·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，
所以λ＝，所以E，
所以在直线AB上存在点E，
使得⊥B．
18．(本小题满分12分) 如图所示，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，S(0,0,1)，E.
证法一：连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.
因为＝(0,0,1)，＝，
所以＝，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD．
又OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．
证法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1,1,0)，＝，
所以即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量n1＝(1,1,0)．
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量n2＝＝(0,0,1)，
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD．
19．(本小题满分12分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解 (1)证明：因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝.
20．(本小题满分12分)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
解 ∵PA⊥平面ABCD，
∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，
如图，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1，0)，
设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得x＝y＝，∴n＝.
设点G的坐标为(0,0，m)，
又E，则＝.
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，
即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．
解 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)．
所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
所以cos〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
所以n1·＝0，n1·＝0，
即x＋y＝0且y＋2z＝0.取z＝1，得x＝2，y＝－2，
所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．
取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，
设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ.
由cosθ＝＝＝，得sinθ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.
22．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB．
(1)过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；
(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
解 (1)当N为线段FC的中点时，AF∥平面BDN.
证明如下：如图所示，连接AC，且AC与BD的交点为O，连接ON.
∵四边形ABCD为矩形，
∴O为AC的中点．
又N为FC的中点，∴AF∥ON.
∵AF 平面BDN，ON 平面BDN，
∴AF∥平面BDN.
故当N为FC的中点时，AF∥平面BDN.
(2)过O作PQ∥AB分别与AD，BC交于P，Q.
∵O为AC的中点，
∴P，Q分别为AD，BC的中点．
∵△ADE与△BCF均为等边三角形且AD＝BC，
∴△ADE≌△BCF.连接EP，FQ，则EP＝FQ.
∵EF∥AB，AB綊PQ，EF＝AB，
∴EF∥PQ，EF＝PQ，
∴四边形EPQF为等腰梯形．
取EF的中点M，连接MO，则MO⊥PQ.
又AD⊥EP，AD⊥PQ，EP∩PQ＝P，
∴AD⊥平面EPQF.过点O作OG⊥AB于点G，则OG∥AD，
∴OG⊥平面EPQF，∴OG⊥OM，OG⊥OQ.
分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
不妨设AB＝4，则由条件可得
O(0,0,0)，A(1，－2,0)，B(1,2,0)，F(0,1，)，D(－1，－2,0)，N，则＝(0,4,0)，＝(－1,3，)．
设n＝(x，y，z)是平面ABF的法向量，则
即
∴可取n＝(，0,1)．
由＝，
可得|cos〈，n〉|＝＝，
∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为.
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C． D．
2．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．a∥b，b⊥c
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
4．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为( )
A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5
C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8
5．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)
C．(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B．
C． D．
7．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面PBC与平面PAB夹角的正切值为( )
A． B．
C． D．
8．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A． B．
C． D．2
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A．＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C．＋＋
D．－＋－
10．设向量i，j，k是不共面的三个向量，则下列各组向量能作为空间向量基底的是( )
A．p＝i－2j＋k，q＝－i＋3j＋2k，r＝－3i＋7j
B．p＝i＋j－k，q＝2i＋3j－5k，r＝－7i＋18j＋22k
C．p＝i＋j，q＝i＋k，r＝j＋k
D．p＝i＋j，q＝i－j，r＝k
11．定义空间两个非零向量的一种运算a b＝|a||b|sin〈a，b〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b
C．(a＋b) c＝(a c)＋(b c)
D．若a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)，则a b＝|x1y2－x2y1|
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．下列结论正确的是( )
A．直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为
B．||的最大值为2
C．cos∠A1D1P的取值范围为
D．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.
14．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于________．
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝________，此时异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2，1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为坐标原点)
18．(本小题满分12分) 如图所示，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
19．(本小题满分12分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
20．(本小题满分12分)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．
22．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB．
(1)过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；
(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
第一章空间向量与立体几何
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C． D．
答案 C
解析 由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.故选C．
2．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．a∥b，b⊥c
答案 C
解析 ∵a＝(－2，－3,1)，c＝(－4，－6,2)，∴c＝2a，∴a∥c．又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝0，∴a⊥b．故选C．
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
答案 D
解析 ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．故选D．
4．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为( )
A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5
C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8
答案 A
解析 ∵a∥b且a≠0，∴b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.又m，n，p不共面，∴＝＝，∴x＝－13，y＝8.故选A．
5．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)
C．(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
答案 B
解析 设a＝(x，y，z)，因为＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，则解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B．
C． D．
答案 C
解析 设M点的坐标为(x，y,1)，因为AC∩BD＝O，所以O，又E(0,0,1)，A(，，0)，所以＝， ＝(x－，y－，1)，因为AM∥平面BDE，所以∥，所以＝＝，解得所以M点的坐标为.故选C．
7．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面PBC与平面PAB夹角的正切值为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，∴＝(0，－2，2)，＝(，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即令y＝1，则x＝，z＝1，即n＝.易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量，则|cos〈m，n〉|＝＝＝.
∴tan〈m，n〉＝.故选A．
8．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A． B．
C． D．2
答案 B
解析 如图，作EO⊥AB于O，以OE所在直线为x轴，O为坐标原点，过O作平行于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0，1,2)．则＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.故选B．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A．＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C．＋＋
D．－＋－
答案 BD
解析 A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝(－)＋(－)＝0.故选BD．
10．设向量i，j，k是不共面的三个向量，则下列各组向量能作为空间向量基底的是( )
A．p＝i－2j＋k，q＝－i＋3j＋2k，r＝－3i＋7j
B．p＝i＋j－k，q＝2i＋3j－5k，r＝－7i＋18j＋22k
C．p＝i＋j，q＝i＋k，r＝j＋k
D．p＝i＋j，q＝i－j，r＝k
答案 BCD
解析 对于A，令r＝mp＋nq，则－3i＋7j＝m(i－2j＋k)＋n(－i＋3j＋2k)＝(m－n)i＋(3n－2m)j＋(m＋2n)k，故得m＝－2，n＝1，即r＝－2p＋q，也就是说向量p，q，r共面，从而不能作为空间向量的一个基底．同理可得其他选项对应的三个向量不共面，即可作为空间向量的一个基底．故选BCD．
11．定义空间两个非零向量的一种运算a b＝|a||b|sin〈a，b〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b
C．(a＋b) c＝(a c)＋(b c)
D．若a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)，则a b＝|x1y2－x2y1|
答案 AD
解析 对于A，a b＝|a||b|sin〈a，b〉，b a＝|b||a|·sin〈b，a〉，故a b＝b a恒成立；对于B，λ(a b)＝λ(|a||b|sin〈a，b〉)，(λa) b＝|λ||a||b|sin〈λa，b〉，故λ(a b)＝(λa) b不会恒成立；对于C，令a＝λb，则(a＋b) c＝|1＋λ||b||c|sin〈(1＋λ)b，c〉，(a c)＋(b c)＝|λb||c|sin〈λb，c〉＋|b||c|sin〈b，c〉．若λ≥0，等式成立；若λ<0，等式显然不成立．故(a＋b) c＝(a c)＋(b c)不会恒成立；对于D，cos〈a，b〉＝，
sin〈a，b〉＝，
则有a b＝|a||b|·
＝|a|·
＝·
＝
＝＝|x1y2－x2y1|.
则a b＝|x1y2－x2y1|恒成立．故选AD．
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．下列结论正确的是( )
A．直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为
B．||的最大值为2
C．cos∠A1D1P的取值范围为
D．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
答案 ABCD
解析 对于A，连接AC，易知∠MCA即为直线CM与平面ABCD所成的角，AC＝2，CM＝3，则cos∠MCA＝，A正确；对于B，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,2,2)．
∵点P在侧面ABB1A1内，∴设P(a,0，b)，a，b∈[0,2]，则＝(a，－2，b－2)，∴||＝∈[2,2]，即||的最大值为2，B正确；对于C，cos∠A1D1P＝＝∈，C正确；对于D，∵M(0,0,1)，C(2，2,0)，B(2,0,0)，C＝(－2，－2,1)，P＝(2－a,0，－b)，D1P⊥CM，∴·＝－2a＋4＋b－2＝0，即b＝2a－2，∴a∈[1，2]．∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，∴S△PBC＝BC·PB＝×2×PB＝ .将b＝2a－2代入，可得S△PBC＝＝，a∈[1,2]，∴当a＝时，S△PBC取得最小值，最小值为，D正确．故选ABCD．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.
答案 2
解析 由题意知a∥b，所以＝＝，解得λ＝2.
14．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于________．
答案
解析 ＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝，
故当x＝时，||取最小值．
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
答案 －－＋
解析 连接AE，则＝－＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝________，此时异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为________．
答案
解析 如图，连接AC，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，所以＝(－1，1，m)，＝(－1，1,0)，
又·＝0，·＝0，
所以是平面BDD1B1的一个法向量．
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以m＝.
异面直线AP与A1B1所成角，即为AP与AB所成角，即∠PAB，由m＝，得AP＝＝，则cos∠PAB＝＝，即异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2，1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为坐标原点)
解 (1)因为a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，所以2a＋b＝(0，－5，5)，所以|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，设其坐标为E(x，y，z)，
则＝λ，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，
所以
所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．
又因为b＝(－2,1,1)，⊥b，
所以·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，
所以λ＝，所以E，
所以在直线AB上存在点E，
使得⊥B．
18．(本小题满分12分) 如图所示，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，S(0,0,1)，E.
证法一：连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.
因为＝(0,0,1)，＝，
所以＝，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD．
又OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．
证法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1,1,0)，＝，
所以即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量n1＝(1,1,0)．
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量n2＝＝(0,0,1)，
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD．
19．(本小题满分12分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解 (1)证明：因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝.
20．(本小题满分12分)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
解 ∵PA⊥平面ABCD，
∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，
如图，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1，0)，
设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得x＝y＝，∴n＝.
设点G的坐标为(0,0，m)，
又E，则＝.
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，
即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．
解 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)．
所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
所以cos〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
所以n1·＝0，n1·＝0，
即x＋y＝0且y＋2z＝0.取z＝1，得x＝2，y＝－2，
所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．
取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，
设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ.
由cosθ＝＝＝，得sinθ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.
22．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB．
(1)过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；
(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
解 (1)当N为线段FC的中点时，AF∥平面BDN.
证明如下：如图所示，连接AC，且AC与BD的交点为O，连接ON.
∵四边形ABCD为矩形，
∴O为AC的中点．
又N为FC的中点，∴AF∥ON.
∵AF 平面BDN，ON 平面BDN，
∴AF∥平面BDN.
故当N为FC的中点时，AF∥平面BDN.
(2)过O作PQ∥AB分别与AD，BC交于P，Q.
∵O为AC的中点，
∴P，Q分别为AD，BC的中点．
∵△ADE与△BCF均为等边三角形且AD＝BC，
∴△ADE≌△BCF.连接EP，FQ，则EP＝FQ.
∵EF∥AB，AB綊PQ，EF＝AB，
∴EF∥PQ，EF＝PQ，
∴四边形EPQF为等腰梯形．
取EF的中点M，连接MO，则MO⊥PQ.
又AD⊥EP，AD⊥PQ，EP∩PQ＝P，
∴AD⊥平面EPQF.过点O作OG⊥AB于点G，则OG∥AD，
∴OG⊥平面EPQF，∴OG⊥OM，OG⊥OQ.
分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
不妨设AB＝4，则由条件可得
O(0,0,0)，A(1，－2,0)，B(1,2,0)，F(0,1，)，D(－1，－2,0)，N，则＝(0,4,0)，＝(－1,3，)．
设n＝(x，y，z)是平面ABF的法向量，则
即
∴可取n＝(，0,1)．
由＝，
可得|cos〈，n〉|＝＝，
∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为.