数系的扩充与复数的引入（全章教学案）(江苏省盐城市射阳县)

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高二数学08春
数系的扩充与复数的引入第一课时
课 题: 数系的扩充
教学目的: 了解数系的扩充过程, 理解虚数及有关概念.
教学重点: 复数的概念
教学难点: 虚数单位的引入
教学过程:
一.问题情境
方程x2+1=0无实根, 如何才能有解呢
二.建构数学
1.实数集及实数集子集:
2.数的概念扩充原则
①增添了新元素
②新旧元素在一起构成数集
③原有的运算关系仍然保持
④解决了旧的数集不能解决的矛盾
3.复数概念、代数形式.
复数z=a+bi
三.数学运用
例1.写出下列复数的实部与虚部, 并指出哪些是实数, 哪些是虚数, 哪些是纯虚数
4 , 2－3i , 0 , i , 5+i , 6i
例2.实数m取什么值时, 复数z=m(m－1)+(m－1)i是
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
例3.已知(x+y)+(x－2y)i=(2x－5)+(3x+y)i , 求实数x ,y.
四.课堂练习:
书P105 1-4
1.当实数m为何值时, z=+(m2+5m+6)i是
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
2.实数k为何值时, 复数(1+i )k2－(3+5i)k－2(2+3i)分别是
(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数; (4)零
3.已知2x－1+(y+1)i=x－y+(－x－y)i , 求实数x , y的值.
五.思考.复数能比较大小吗
作业
1.下列说法正确的个数____________ .
①若实数a与ai对应, 则实数集与纯虚数集一一对应；②若z=a+bi （a , b∈R）, 则当且仅当a=0且b≠0时, z为纯虚数; ③(z1－z2)2+(z2－z3)2=0 , 则z1=z2=z3 ; ④x+yi=1+ix=y=1 .
2.复数1－i的虚部是____________ .
3.如果复数a+bi (a , b∈R)是虚数, 则a 、 b的取值范围为____________ .
4.以3i－的虚部为实部, 以3i2+i的实部为虚部的复数是____________ .
5.如果复数a+bi为实数0 , 则a 、 b的值 分别为____________ .
6.若a , b , c∈C , 则(a－b)2+(b－c)2=0是a=b=c的 ____________条件.
7.若log2(x2－3x－2)+ilog2(x2+2x+1)是大于1的实数, 则实数x的取值范围____________ .
8.已知(1+i)m2+(8－5i)m+12－14i=0, 则实数m=___________ .
9.若log2(m2－3m－3)+ilog2(m－2)为纯虚数, 求实数m的值.
10.已知: +(x2－2x－3)i=0 (x∈R), 求x的值.
11.分解因式x4－8 .
12.已知复数z=k2－3k+(k2－5k+6)i (k∈R) 是负数 , 求k .
13.已知a－1+2ai=－4+4i , 求复数a.
高二数学08春
数系的扩充与复数的引入第二课时
课 题: 复数的四则运算(1)
教学目的: 掌握复数的加法和减法的运算法则, 并能熟练、准确运用.
教学重点: 运算法则
教学难点: 复数的代数形式
教学过程:
一.问题情境
i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算. 任意两个复数z1 , z2呢
二.建构数学
设z1=a+bi , z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数, 则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i是一个复数, 且满足交换律、结合律, 对任何z1 , z2 , z3∈C有z1+z2=z2+z1 , (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi (x , y∈R)叫做复数a+bi减去复数c+di的差, 记作(a+bi)－(c+di).
∴ z1－z2=(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i是一个复数.
三.数学应用
例1.计算: (1－3i)－(2+5i)+(－4+9i) .
例２.计算：(１) (―i)+(―i)+(―+i)
　(２) [(a―b)+(a+b)i]―[(a+b)+(a―b)i]
例３.设复数z=(a2+a－2)+(a2－8a+6i) , 其中a∈R , 当a取何值时.
(1)z∈R ; (2)z是纯虚数;
四.课堂练习:
计算:
(1) (5―3i)+(8―5i)―4i
(2) (―2―4i)―(―2+i)+(1+8i)
(3) (5+4i)+(―3―3i)
(４) (3+2i)―8i―(2―3i)
(５) (+i)+(1―i)―(+i)
作业
1.a=0是复数a+bi (a , b∈R)为纯虚数的___________ 条件.
2.设z=(2t2+5t－3)+(t2+2t+2)i (t∈R), 则下列结论（1）z对应的点在第一象限 ；（2） z一定不是纯虚数；（3） z对应的点在实轴下方；（4）z一定不是实数正确的序号是 __________ .
3.若复数(a+1)+(a－1)i≠0, 则a的取值是__________ .
4.i+i2+i3+ … +i2008 等于__________ .
5.设m∈R , 复数z=(2+i)m2－3(1+i)m－2(1－i)
(1)若z为实数, 则m=_____________ .
(2)若z为纯虚数, 则m=_____________ .
6.若关于x的方程x2+(1+2i)x－(3m－1)i=0有实根, 则纯虚数m=______________ .
7.若复数z=(sinθ－1)+i (sinθ－cosθ)为实数, 则θ=____________ ; 若z为纯虚数, 则θ=____________.
8.已知方程x2－(tanθ+i)x－(i+2)=0
(1)若方程有实根, 求θ及两根;
(2)证明无论θ为何值, 此方程不可能有纯虚根.
9.已知关于x的二次方程x2+(2+i)x+4ab+(2a－b)i=0 (a , b∈R) .
(1)当方程有实根时, 求点(a , b)的轨迹方程;
(2)求方程实数根的取值范围. （选）
高二数学08春
数系的扩充与复数的引入第三课时
课 题: 复数的四则运算(2)
教学目的: 掌握复数的乘法和除法的运算法则, 并能熟练, 准确运用.
教学重点: 运算法则
教学难点: 复数的除法
教学过程:
一.问题情境
复数的加法和减类似于多项式的加、减法, 那么复数的乘法, 是否也是类似于多项式的乘法呢
二.建构数学
(1) (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i
两个复数的积仍然是一个复数
复数的乘法满足交换律, 结合律以及分配律
即 z1 , z2 , z3∈C有: z1z2=z2z1
(z1z2)z3=z1(z2z3)
z 1(z2+z3)=z1z2+z2z3
推广:
z 1 , z2 , z3∈C
m, n∈N*
有zm·zn=zm+n
(zm)n=zmn
(z1z2)n=z1nz2n
思考: 1° a>0时, 方法x2+a=0的解是什么
2°什么是共轭复数.
(1)把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi(x , y∈R)叫做复数a+bi除以复数c+di的商, 记作或(a+bi)÷(c+di) .
思考: 如何运算
(
三.数学应用
例1.计算: (1) (―2―i) (3―2i)(―1+3i) (2) (a+bi)(a―bi)
例2.计算: (1) (2) (3)
例3.已知z=1+i , a , b∈R , 若=1－i , 求a , b的值.
四.课堂练习
书108页：2，3，4，5
1.设=, 求证: (1) ; (2) ; (3) .
2.设z=, 求证: (1)z2=－ (2)z3=－1 (3)z2－z+1=0
3.规定i°=1, i－m =(m∈N*), 求证: i4n =1, i4n+1 = i , i4n+2 =－1, i4n+3 =－i对一切n∈Z都成立.
五.回顾与思考
1. , i有哪些性质
2. (1±i)2=±2i的运用.
高二数学08春第3周作业(305)
1.复数= ____________ .
2.若z1=a+2i , z2=3－4i , 且为纯虚数, 则实数a的值为_____________ .
3.复数的值是____________ .
4.+= ____________ .
5.已知复数z0=3+2i , 复数z满足z·z0=3z+z0 , 则复数z=______________ .
6.= _____________ .
7.复数z=, 则W=z2+z4+z6+z8+z10的值为_____________ .
8.当z=时, z100 +z50 +1的值等于_____________ .
9.能使(n+i)4成为整数的整数n的个数是_____________ .
10.已知: f(n)=in－i－n (i2=－1, n∈N)，集合{f(n)}的元素个数是____________ .
11.f(z)=1－, z1=2+3i , z2=5－i , 求.
12.设, 求的值.
13.设n是4的倍数, 试求和: S=1+2i+3i2+4i3+ … +(n+1)in .
高二数学08春
数系的扩充与复数的引入第四课时
课 题: 复数的四则运算(3)
教学目的: 掌握复数的四则运算及应用
教学重点: 四则运算的应用
教学难点: 复数的方根的求法
教学过程:
一.问题情境
几个特殊的复数及性质. 1. i 2. 3. 4. (1±i)2 .
二.建构数学
三.数学运用
例1.设等比数列{zn}中, 其中z1=1 , z2=a+bi , z3=b+ai (a , b∈R , 且a>0) .
(1)求a , b的值;
(2)试求使z1+z2+ … +zn=0的最小正整数n ;
(3)对(2)中的正整数n , 求z1·z2 … zn的值.
例2.求3+4i的平方根.
例3.①若复数z满足方程i = i－1, 求z ; ②若复数z满足(1+2i)=4+3i , 求z .
例4.在复数范围内分解因式.
①a4－b4 ②x2+4 ③x2+2x+5 ④a2+b2+c2+2ab
例5.已知z2=－7－24i , 求复数z .
例6.已知z1 , z2∈C , z1z2=0 , 求证: z1 , z2中至少有一个是0 .
例8.求－1的4个四次方根.
四.回顾与思考.
作业
1. (+)+(1=___________________ .
2. (1―3i11)+(2+4i18)―(5―5i23)=_____________.
3. (x+yi)i―2+4i=(x+yi)(1+i), 实数x , y分别为_________________ .
4.，实数x , y分别为___________________ .
5.已知z1=1+2i , z2=3―4i , , 则z=_______________ .
6. ____________.
7. 若是1的立方虚根, 则 =____________ .
8. 复数()12 =______________ .
9. 若, 则____________.
10.若(3―10i)y+(―2+i)x=1―9i , 求实数x , y .
11.已知复数z=1+i , 求实数a , b使az+2b=(a+2z)2 .
12.求值(1+i)n·(1―i)6－n
高二数学08春
数系的扩充与复数的引入第五课时
课 题: 复数的几何意义(1)
教学目的: 1.掌握复平面的概念及复数的几何意义(加减法)
2.复数集与复平面内点的对应关系
3.复数集与复平面中向量的对应关系
教学重点: 复数的加减法的几何意义
教学难点: 复数的加减法的几何意义
教学过程:
一.问题情境
实数与数轴上的点是一一对应的, 复数能否用点来表示呢
二.建构数学
1.复平面:
2.实轴:
3虚轴:
4.模
5.加法的几何意义, 减法的几何意义
6. |z1－z2|的几何意义.
三.数学应用
例1.在复平面内, 分别用点和向量表示下列复数:
4 , 2+i , －i , －1+3i , 3－2i .
例2.已知复数z1=3+4i , z2=－1+5i , 试比较它们模的大小.
例3.设z∈C , 满足下列条件的点z的集合是什么图形
(1)|z|=2 (2)2<|z|<3
例4.已知在复平面内，定点M与复数m=1+2i对应，动点Z与复数z=x+yi对应，那么满足不等式|z-m|≤2的点Z的集合是什么图形？
例5．在复平面上，设点A、B、C ，对应的复数分别为i,1,4+2i。过A、B、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD的长。
四.课堂练习
1.如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2, 那么|z+i+1|的最小值是___________ .
2.满足|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是___________ .
3.求复数z1=3+4i及z2=的模, 并且比较它们模的大小.
五.回顾反思
作业
1.使|logx－4i|≥|3+4i|成立的x的取值范围是__________ .
2.复数i+i2在复平面内表示的点在第___________象限.
3.复数z=1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为___________ .
4.已知复数z=x－2+yi的模是2, 则点(x , y)的轨迹方程是___________ .
5.若复数z满足z=(m－2)+(m+1)i , 其中m∈R , 则|z|=____________ .
6.已知集合M={1 , 2 , (m2－3m－1)+(m2－5m+6)i}, m∈R , N={－1 , 3} , 满足M∩N≠, 则m=____________ .
7.关于x的方程x2+5x+m=0有两个虚根x1 , x2 , 且满足|x1－x2|=3 , 则实数m的值为________.
8.若复数z满足|z|－=, 则z=___________ .
9.若z∈C , 且|z+2－2i|=1 , 则|z－2－2i|的最小值是____________ .
10.已知复数, z1=1+cosθ+isinθ, z2=1－sinθ+icosθ, 且|z1|2+|z2|2≥2 , 求θ的取值范围.
11.设z∈C , 求满足z+∈R , 且|z－2|=2的复数z.
高二数学08春
数系的扩充与复数的引入第六课时
课 题: 复数的几何意义(2)
教学目的: 掌握复数几何意义的应用
教学重点: 加减法几何意义的应用
教学难点: 加减法几何意义的应用
教学过程:
一.问题情境
二.建构数学
复数加减法的几何意义
三.数学应用
例1. 设复数z满足|z|=2 , 且(z－a)2=a , 求实数a的值 .
例2.已知复数z1 , z2满足条件|z1|=2 , |z2|=3 , 且3z1+2z2=6, 求复数z1和z2 .
例3.已知z1 , z2∈C , |z1|=|z2|=1 , |z1+z2|=, 求|z1－z2| .
例4.已知，求复数.
例5.复平面内, 求曲线|z－1+i|=1关于直线y=x对称的曲线方程.
四.课堂练习
1.若z是复数且|z+5+12i|=2 , 则|z|最小值是_____________ .
2.若复数z满足|z+3－i|=, 则|z|的最大值为a , |z|的最小值为b , 则a+b=_________.
3.设z满足|z+i|+|z－i|=2 , 那么|z+i+1|的最小值是____________ .
五.回顾反思
作业
1.方程z2－5|z|+6=0的复数集内解的个数是__________ .
2.若虚数z=a+bi (a , b∈R) , 则|z2| , |z|2 , z2的关系是__________ .（填“=”或“”）
3.已知虚数(x－2)+yi (x , y∈R)的模为, 则的最大值是__________ .
4.已知复数|z|=, 则|z2－z+|的最大值是__________ .
5.|1+i|+|(1+i)2|+ … +|(1+i)n|的值是____________ .
6.若|z1|=5 , z2=3+4i , 且z1·z2是纯虚数, 则z1=___________ .
7.已知z·－(z+1)()=|z|, 则复数z=___________ .
8.已知,那么复数在平面内对应的点位于在 象限.
9.如果,试说明复数在复平面上的对应点
在第几象限.
10.复数z满足: |z－3－3i|－|, 试求|z|的最大值和最小值.
体验高考：
1（07广东文2）．若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则__________ .
2（07山东文1）．复数的实部是__________ .
3（07四川理1) ．复数的值是__________ .
4（07海南、宁夏文15）．是虚数单位，__________ .（用的形式表示，）
5（07安徽理4）若a为实数，＝-，则a等于__________ .
实数(R)
有理数(Q)
无理数
正有理数
零
负有理数
循环小数
(整数、有限小数、无限循环小数
小数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
复数的运算
复数的加法与减法
复数的加法
法则: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
满足的运算律: 交换律, 结合律
两个复数的和仍是一个复数
复数的减法
法则: (a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i
两个复数的差仍是一个复数
法则: (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i
满足的运算律: 交换律, 结合律, 分配率
两个复数的积仍是一个复数
法则: (a+bi)÷(c+di)=
(c+di≠0)
两个复数的商是一个复数
复数的乘法
复数的除法
复数的乘法与减法
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