数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.3直线的一般式方程（共22张ppt）

(共22张PPT)
2.2.3直线的一般式方程
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直线方程
点斜式 × √ √
斜截式 × √ √
两点式 × × √
截距式 × × ×
【答案】(1)；(2)=1；
(3)； (4).
新知探究
问题1：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是,经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是,;
(3)经过两点，;
(4)在轴上的截距是,倾斜角是.
都可以化简为
新知探究
思考：(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗？
(2)任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？
直线
斜率存在
斜率
不存在
0
都可以用,（，不同时为）表示
新知探究
思考：(2)任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？
（，不同时为）
过点
垂直于轴
任意一个关于的二元一次方程,（，不同时为）都表示一条直线吗？
新知探究
我们把关于的二元一次方程
(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
注：直线的一般式适用于所有直线.
问题2：你能试着互化直线的一般式与我们前面所学的直线的其他形式吗？
新知探究
一般式与其他形式的互化
练习巩固
练习1：斜率为，且在轴上截距为的直线的一般式方程是( ).
、 、 、 、
【答案】
变式1-1：在直角坐标系中，直线的倾斜角是( ).
、 、 、 、
【答案】
新知探究
问题3：在方程中，为何值时，方程表示的直线：
①平行于轴？②平行于轴？③与轴重合？④与轴重合？
①此时，
②此时不存在，
③，此时
④，此时不存在，
练习巩固
例5：已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点，斜率为的直线的
点斜式方程是，
化为一般式，得.
练习巩固
例6：把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
解：把直线的一般式方程化为斜截式.
因此，直线的斜率，它在轴上的截距是.
在直线的方程中，令，得，
即直线在轴上的截距是.
由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，
过，两点作直线，就得直线(如图).
练习巩固
练习2：根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点；
(2)斜率是，在轴上的截距为；
解：(1)由点斜式，得直线方程为，
即.
(2)由斜截式，得直线方程为，
即.
练习巩固
练习2：根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(3)经过点两，点；
(4)在轴，轴上的截距分别为，；
(5)经过点，且平行于轴.
解： (3)由两点式，得直线方程为，
即.
(4)由截距式，得直线方程为，
即.
(5).
练习巩固
变式2：已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距.
解： ∵，所以点斜式方程为，
斜截式方程为，
一般式方程为，
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.
练习巩固
练习3：(1)已知直线与直线平行，求的值；
解： (1)由，知：
①当时，显然与不平行；
②当时，，需.
解得或，
∴的值为或.
练习巩固
练习3：(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？
解： (2)由题意知，直线.
①若1，即时，直线与直线显然垂直.
②若1即时，直线与直线不垂直.
③若1且，则直线，的斜率都存在，
，.当时，即解得综上可知，当或时，直线.
新知探究
两条直线的位置关系
练习巩固
变式3：已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程.
(1)过点，且与平行；
(2)过点，且与垂直.
解： (1)由与平行，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
(2)由与垂直，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
练习巩固
练习4：已知直线.
(1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限；
解： (1)证明：将直线的方程整理为，
∴直线的斜率为，且过定点，
而点在第一象限内，故不论为何值，恒过第一象限.
练习巩固
练习4：已知直线.
(2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围.
解： 直线的斜率为.
如图所示，要使不经过第二象限，需斜率，
∴，即的取值范围为.
练习巩固
变式4：已知直线.若直线不经过第二象限，求的取值范围.
解：①当，即时，直线方程为，该直线不经过第二象限，
满足要求.
②当，即时，直线化为截距式方程，
因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在轴的截距小于等于零，即解得所以.
由①②可得，的取值范围为.
小结
形式 方程 适用条件
点斜式 斜率存在的直线
斜截式 斜率存在的直线
两点式 斜率存在且不为
截距式 斜率存在且不为，不过原点
一般式 （，不同时为） 所有