沪教版高三（上）第16章 排列组合和二项式定理单元试卷（含解析）

沪教版高三（上）单元试卷：第16章 排列组合和二项式定理
一、选择题（共15小题）
1．二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．60
3．若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
4．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
5．（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（　　）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
6．使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（　　）
A．﹣40 B．10 C．40 D．45
8．（1+）5的展开式中x2的系数（　　）
A．10 B．5 C． D．1
9．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）＝（　　）
A．45 B．60 C．120 D．210
10．设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．设函数f（x）＝，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（　　）
A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15
12．（1+x）10的二项展开式中的一项是（　　）
A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4
13．已知（﹣）5的展开式中含的项的系数为30，则a＝（　　）
A． B．﹣ C．6 D．﹣6
14．在的展开式中，x4的系数为（　　）
A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15
15．的展开式中，常数项为15，则n＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共12小题）
16．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝　 　．
17．在（2+x）5的展开式中，x3的系数为　 　（用数字作答）
18．在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是　 　（用数字填写答案）．
19．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是　 　（用数字作答）．
20．设二项式的展开式中常数项为A，则A＝　 　．
21．设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a＝　 　．
22．（x+1）n的展开式中x3的系数是　 　（用数字作答）
23．的二项展开式中的常数项为　 　．
24．设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn．若点Ai（i，ai）（i＝0，1，2）的位置如图所示，则a＝　 　．
25．在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为　 　．
26．在（﹣1）4的展开式中，x的系数为　 　．
27．（x3+）7的展开式中的x5的系数是　 　（用数字填写答案）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，
∴＝15，即＝15，解得n＝6，
故选：B．
2． 解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1＝，
令r＝2，则（x2+x）3的通项为＝，
令6﹣k＝5，则k＝1，
∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为＝30．
故选：C．
3． 解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，
所以Tr+1＝＝，
令﹣7+2r＝﹣3，解得r＝2，
代入得：，
解得a＝1，
故选：C．
4． 解：已知（1+ax）（1+x）5＝（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）
展开式中x2的系数为+a ＝5，解得a＝﹣1，
故选：D．
5． 解：由二项式定理可知：Tr+1＝，
要求解（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，
所以r＝3，
所求系数为：＝﹣20．
故选：A．
6． 解：设（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，
则：Tr+1＝3n﹣r xn﹣r ＝3n﹣r ，
令n﹣r＝0得：n＝r，又n∈N+，
∴当r＝2时，n最小，即nmin＝5．
故选：B．
7． 解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：
的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积
含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积
含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积
∵展开式的通项为
（x﹣1）5展开式的通项为Tk+1＝C5rx5﹣r（﹣1）r＝（﹣1）rC5rx5﹣r
∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）＝45
故选：D．
8． 解：，
故选：C．
9． 解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：＝20．f（3，0）＝20；
含x2y1的系数是＝60，f（2，1）＝60；
含x1y2的系数是＝36，f（1，2）＝36；
含x0y3的系数是＝4，f（0，3）＝4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）＝120．
故选：C．
10． 解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a＝，
同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b＝＝．
再由13a＝7b，可得13＝7，即 13×＝7×，
即 13＝7×，即 13（m+1）＝7（2m+1），解得m＝6，
故选：B．
11． 解：当x＞0时，f[f（x）]＝＝的展开式中，常数项为：＝﹣20．
故选：A．
12． 解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1＝ xr，故当r＝3时，此项为120x3，
故选：C．
13． 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1＝＝；
展开式中含的项的系数为30，
∴，
∴r＝1，并且，解得a＝﹣6．
故选：D．
14． 解：在的展开式中
x4项是＝﹣15x4，
故选：C．
15． 解：的展开式中，常数项为15，
则，
所以n可以被3整除，
当n＝3时，C31＝3≠15，当n＝6时，C62＝15，
故选：D．
二、填空题（共12小题）
16． 解：设f（x）＝（a+x）（1+x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
令x＝1，则a0+a1+a2+…+a5＝f（1）＝16（a+1），①
令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5＝f（﹣1）＝0．②
①﹣②得，2（a1+a3+a5）＝16（a+1），
所以2×32＝16（a+1），
所以a＝3．
故答案为：3．
17． 解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1＝25﹣rxr，
所求x3的系数为：＝40．
故答案为：40．
18． 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1＝；
要求x2的项的系数，
∴5﹣r＝2，
∴r＝3，
∴x2的项的系数是22（﹣1）3C53＝﹣40．
故答案为：﹣40．
19． 解：设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为Tr+1，
则Tr+1＝x5﹣r yr，
令r＝3，
则含x2y3的项的系数是＝10．
故答案为：10．
20． 解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1＝ （﹣1）r ＝（﹣1）r ．
令＝0，解得r＝3，故展开式的常数项为﹣＝﹣10，
故答案为﹣10．
21． 解：的展开式的通项为Tr+1＝C5rx10﹣2r（）r＝C5rx10﹣3rar
令10﹣3r＝7得r＝1，
∴x7的系数是aC51
∵x7的系数是﹣10，
∴aC51＝﹣10，
解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
22． 解：展开式的通项为Tr+1＝ nrxr
令r＝3得到展开式中x3的系数是 n3
故答案为： n3
23． 解；设的二项展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1＝ （﹣1）r ，
由6﹣r＝0得：r＝4．
∴的二项展开式中的常数项为 （﹣1）4＝＝15．
故答案为：15．
24． 解：（1+）n的展开式的通项为，
由图知，a0＝1，a1＝3，a2＝4，
∴，，
，，
a2﹣3a＝0，
解得a＝3，
故答案为：3．
25． 解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1＝ （x）6﹣r （﹣）r＝（﹣）r x6﹣2r，
令6﹣2r＝2，解得r＝2，∴展开式中x2的系数为×＝，
故答案为：．
26． 解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为Tr+1＝ （﹣1）r ，
令2﹣＝1，求得r＝2，
∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为＝6，
故答案为：6．
27． 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1＝＝；
要求展开式中含x5的项的系数，
∴21﹣4r＝5，
∴r＝4，可得：＝35．
故答案为：35