北师大版（2019）必修第一册《第二章 函数》单元测试卷（含解析）

北师大版（2019）必修第一册《第二章 函数》单元测试卷
一、单选题
1．已知幂函数y＝f（x）的图象过点P（2，4），则f（3）＝（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
2．已知f（x）是定义在R上的偶函数．若f（5）＝0，则f（﹣5）＝（　　）
A．3． B．2 C．0 D．﹣2
3．函数的定义域是（　　）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3} D．{x|x≤﹣2}
4．设函数f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值为7，则f（x）在（﹣∞，0）上的最大值为（　　）
A．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3
5．函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在区间（﹣∞，4]上单调递增，则m的取值范围是（　　）
A．[﹣3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，5] D．（﹣∞，﹣3]
6．下列函数中，是偶函数且值域为[0，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝ C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|
7．设f（x）＝，则f（5）的值为（　　）
A．16 B．18 C．21 D．24
8．若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“孪生函数”，那么函数f（x）＝x2+1，x∈{0，1}的“孪生函数”个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y＝1与y＝x0 B．y＝x与
C．y＝2log2x与 D．y＝x2与
10．已知定义在R上的偶函数f（x），对 x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当0≤x≤3时，f（x）＝2x﹣6，则f（2021）＝（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2
11．下列图像中，能表示函数y＝f（x）图像的是（　　）
A． B．
C． D．
12．下列结论中正确的个数有（　　）
（1）幂函数的图像一定过原点；
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa在其定义域上是严格减函数；
（3）当a＞0时，幂函数y＝xa在其定义域上是严格增函数；
（4）函数y＝2x2既是二次函数，又是幂函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．函数，则f（x）＝　 　（注明定义域）．
14．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣2）的定义域为 　 　．
15．函数的最大值为 　 　．
16．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，若x∈（0，2]时，f（x）＝1﹣|x﹣1|，则x∈[﹣2，0）时，f（x）＝　 　．
三、解答题
17．已知函数．
（1）求；
（2）若f（a）＝1，求a的值．
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递增区间．（只需写出结论）
19．已知x＞0．
（1）求函数的最小值，并指出此时x的取值；
（2）用定义法证明在区间（2，+∞）上为增函数．
20．已知函数f（x）＝|x|（x+1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，的最大值．
21．已知函数，x∈[﹣1，1]．
（1）用单调性的定义证明函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上是单调递增；
（2）求关于x的不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集．
22．已知f（x）＝是定义在R上的奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题
1． 解：设f（x）＝xα，则2α＝4，得α＝2，
所以f（x）＝x2，
所以f（3）＝32＝9，
故选：D．
2． 解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，f（5）＝0，
所以f（﹣5）＝f（5）＝0，
故选：C．
3． 解：∵，∴x+1≥0，解得x≥﹣1，
故函数的定义域为{x|x≥﹣1}，
故选：A．
4． 解：令g（x）＝mx+，则g（x）是定义域内的奇函数，
∵f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值为7，∴g（x）在（0，+∞）内的最小值为5，
可得g（x）在（﹣∞，0）上的最大值为﹣5，
则f（x）在（﹣∞，0）上的最大值为﹣5+2＝﹣3．
故选：D．
5． 解：函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3图象开口向下，且对称轴为x＝﹣＝1﹣m，
所以函数的单调递增区间为（﹣∞，1﹣m]，
又因为函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在区间（﹣∞，4]上单调递增，
∴1﹣m≥4，解得m≤﹣3．
所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．
故选：D．
6． 解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2﹣1，为二次函数，是偶函数，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；
对于B，f（x）＝＝，不是偶函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝log2x，为对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝|x|＝，是偶函数且值域为[0，+∞），符合题意；
故选：D．
7． 解：由分段函数可知f（5）＝f（10）＝f（15）＝18，
故选：B．
8． 解：根据题意，f（x）＝x2+1，定义域为{0，1}的“孪生函数”的定义域的情况有{0，﹣1}，{0，﹣1，1}，共2个．
故选：C．
9． 解：对于A，y＝1的定义域为R，而y＝x0定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故两函数不表示同一个函数；
对于B，y＝x的定义域和值域都为R，的定义域和值域都为[0，+∞），定义域与值域都不相同，故两函数不表示同一个函数；
对于C，y＝2log2x的定义域为（0，+∞），的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故两函数不表示同一个函数；
对于D，y＝x2与＝x2，两个函数的定义域都为R，解析式相同，值域都为[0，+∞），故两函数表示同一个函数．
故选：D．
10． 解：依题意对 x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立且定义在R上的偶函数f（x），
所以f（﹣x+6）＝f（﹣x）+f（3）＝f（x）+f（3）＝f（x+6），所以f（x﹣6）＝f（x+6），
所以f（x+12）＝f（x），
所以f（x）是周期为12的周期函数，
故f（2021）＝f（12×168+5）＝f（5）＝f（﹣1+6）＝f（﹣1）+f（3）＝f（1）+f（3）＝2×1﹣6+2×3﹣6＝﹣4．
故选：C．
11． 解：根据函数的定义，一一映射或多对一映射表示函数，
对于A中，符合函数的定义，所以可以表示函数；
对于B、C、D中，都不符合函数的定义，所以不能表示函数．
故选：A．
12． 解：对（1），当y＝x﹣1不过原点，∴（1）错误；
对（2），当y＝x﹣1时，在定义域内不是单调减函数，∴（2）错误；
对（3），当y＝x2时，在定义域内不是单调增函数，∴（3）错误；
对（4），函数y＝2x2既是二次函数，但不是幂函数，∴（4）错误．
故选：A．
二、填空题
13． 解：令，则x＝（t+1）2，t≥﹣1，
所以f（t）＝（t+1）2+1＝t2+2t+2，t≥﹣1，
所以f（x）＝x2+2x+2（x≥﹣1）．
故答案为：x2+2x+2（x≥﹣1）．
14． 解：∵f（x）的定义域为（﹣1，0），∴由﹣1＜2x﹣2＜0，解得．∴函数的定义域为．
故答案为：．
15． 解：因，则f（x）在[2，4]上为减函数，f（x）max＝f（2）＝2，
所以x＝2时，f（x）取得最大值2．
故答案为：2．
16． 解：若x∈（﹣2，0），
则﹣x∈（0，2），
∵x∈（0，2]时，f（x）＝1﹣|x﹣1|，
∴当﹣x∈（0，2）时，f（﹣x）＝1﹣|﹣x﹣1|＝1﹣|x+1|，
∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x）＝|x+1|﹣1，x∈[﹣2，0），
故答案为：|x+1|﹣1．
三、解答题
17． 解：（1）∵，
∴．
（2）由函数解析式知：x＞1时，f（x）＞1恒成立；x＜﹣1时，f（x）＜1恒成立；
∴仅当﹣1≤a≤1，有f（a）＝a2+1＝1，解得a＝0．
18． 解：（I）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＞0，则﹣x＜0，
当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x2+2x，
所以f（x）＝x2﹣2x，
故f（x）＝，
（II）函数的大致图像如图所示，
故函数f（x）的单调递增区间（1，+∞），（﹣∞，﹣1）．
19． 解：（1）由对勾函数的性质，
函数在（0，2）上单调递减，
在[2，+∞）单调递增，，
即当x＝2时，函数f（x）取最小值4．
（2）证明：任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，
由x1＞2，x2＞2且x1＜x2知x1﹣x2＜0，x1x2＞4，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，从而有f（x1）＜f（x2），
故在区间（2，+∞）上为增函数．
20． 解：f（x）＝|x|（x+1）＝，
当x＜0时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分，
对称轴为直线x＝﹣，以（﹣，）为顶点；
当x＞0时，函数图象是开口向上的抛物线弧，
在（0，+∞）上为增函数，最小值为f（0）＝0．
由此可得函数的图象如右图所示
（1）由函数的表达式，结合二次函数的性质，
可得f（x）在和[0，+∞）上递增，在上递减；
（2）∵函数f（x）在[﹣1，﹣]上是增函数，在[﹣，0]上减函数，在[0，]上是增函数
∴函数的最大值是f（﹣）与f（）中较大的那一个
∵，
∴f（x）在区间[﹣1，]的最大值为
21． 解：（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，则
＝，
∵，1﹣x1x2＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
故函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上是单调递增；
（2）由（1）结论，及f（1﹣x）＜f（x）知：，
解得．
因此，不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集为．
22．解：（1）f（x）＝是定义在R上的奇函数．
所以f（0）＝0 b﹣20＝0 b＝1；
所以b＝1，
经验证，b＝1符合题意．
（2）f（x）在R上是单调递减函数，
由（1）知b＝1，所以f（x）＝＝＝﹣+．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（﹣+）﹣（﹣+）＝﹣，
因为x1＜x2，所以0＜＜，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上是单调递减函数；
（3）由f（x）为奇函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，
所以f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）＝f（a2﹣1），
即1﹣a＞a2﹣1，整理得a2+a﹣2＜0，
解得﹣2＜a＜1，
所以实数a的取值范围是（﹣2，1）