北师大版（2019）必修第二册《第六章 立体几何初步》单元测试卷（含解析）

北师大版（2019）必修第二册《第六章 立体几何初步》单元测试卷
一、单选题
1．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为（　　）
A．4+ B．4 C．8+ D．6
2．设α，β为两个不重合的平面，能使α∥β成立的是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等
D．α，β垂直于同一平面
3．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（　　）
A．若m∥β，n⊥α，α⊥β，则m⊥n
B．若m⊥α，n⊥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D．若α⊥β，α∩β＝m，n β，m⊥n，则n⊥α
4．圆柱底面周长为4π，高为4，则它的体积为（　　）
A．4π B．8π C．12π D．16π
5．若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的表面积为（　　）
A．6π B．5π C．4π D．
6．如图，AB是圆的直径，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圆上一点（不同于A，B），且PA＝AC，则二面角P﹣BC﹣A的平面角为（　　）
A．∠PAC B．∠CPA C．∠PCA D．∠CAB
7．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（　　）
A．α⊥γ，且β⊥γ
B．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥α
C．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥β
D．α内存在不共线的三点到β的距离相等
8．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱锥A1﹣ABC的体积是（　　）
A． B． C．4 D．8
9．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1．其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图所示的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合为点G，则有（　　）
A．SG⊥平面EFG B．EG⊥平面SEF C．GF⊥平面SEF D．SG⊥平面SEF
（多选）11．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥β，n∥β，m，n α，则α∥β
D．若n α，n⊥β，则α⊥β
（多选）12．已知m，n，l是三条直线，α是一个平面，下列命题不正确的是（　　）
A．若m∥l，n∥l，则m∥n B．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
二、填空题
13．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间有一点P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为　 　．
14．设长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为　 　．
15．在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝3，则该四棱锥的外接球的表面积为　 　．
16．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的体积为　 　．
三、解答题
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：
（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
18．如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB＝2，AB＝AC＝PA＝2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）过AC的平面交PD于点M，若VM﹣PAC＝，求三棱锥P﹣AMC的体积．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1⊥CC1，点E，F分别是BC，A1B1的中点，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1．
（1）求证：B1C1⊥A1C；
（2）求证：EF∥平面A1C1CA．
21．如图，在棱长为2的正方体ACBD﹣A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点．
（1）证明：AB∥平面A1B1C；
（2）若M是AB的中点，证明：平面MCC1⊥平面ABB1A1；
（3）求三棱锥M﹣A1B1C的体积．
22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AC和A1B1的中点，且AB＝BC．
（1）求证：平面BMN⊥平面ACC1A1；
（2）求证：MN∥平面BCC1B1．
参考答案与试题解析
一、单选题
1． 解：根据三视图转换为几何体的直观图：
该三棱锥是底面为腰长为2、底为的等腰三角形，
侧面分别是两个腰为2的等腰直角三角形和一个底为、高为的三角形，
如图所示：
所以该三棱锥的表面积为，
故选：A．
2． 解：对于A，α内有无数条直线与β平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以A错误；
对于B，α内有两条相交直线与β平行，根据两平面平行的判定定理知，α∥β，所以B正确；
对于C，α内有无数个点到β的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面β，所以也能得出无数个点到平面β的距离相等，C错误；
对于D，当α、β垂直于同一个平面时，α与β也可以相交，所以D错误．
故选：B．
3． 解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：
在A中，若m∥β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
在D中，若α⊥β，α∩β＝m，n β，m⊥n，
则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．
故选：D．
4． 解：设圆柱底面半径为r，所以底面圆周长为2πr＝4π，解得r＝2；
又圆柱的高为4，所以它的体积为V＝πr2h＝π×22×4＝16π．
故选：D．
5． 解：∵一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
设等边三角形的边长为2r，则2r＝2，
则它的高为r，底面半径r＝，
所以这个圆锥的表面积为π r2+πr 2r＝6π，
故选：A．
6． 解：∵点C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，
又PA⊥BC，AC∩PA＝A，AC、PA 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
∵AC⊥BC，∴∠PCA为二面角P﹣BC﹣A的平面角．
故选：C．
7． 解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．
B中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；
C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．
D中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．
故选：B．
8． 解：∵AB⊥AC，AB＝AC＝2，
∴，且A1A⊥底面ABC，A1A＝2，
∴．
故选：A．
9． 解：由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面CB1D1；所以①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正确．
故选：D．
10． 解：如图所示
∵始终有 SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，
∴SG⊥GE，SG⊥GF
又 GE∩GF＝G
∴SG⊥平面 EFG．
故选：A．
11． 解：对于A，m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A正确；
对于B，由α⊥γ，β⊥γ，得α∥β或α与β相交，故B错误；
对于C，由m∥β，n∥β，m，n α，若m与n相交，则α∥β，若m∥n，则α可能平行β，也可能与β相交，故C错误；
对于D，由平面与平面垂直的判定，可得若n α，n⊥β，则α⊥β，故D正确．
故选：AD．
12． 解：对于A，若m∥l，n∥l，由平行公理可得m∥n，故A正确；
对于B，若m⊥l，n⊥l，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；
对于C，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故C错误；
对于D，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质可得m∥n，故D正确．
故选：BC．
二、填空题
13． 解：根据题意，过点P分别作三个平面的垂线，垂足分别为B、D、F，
∵三个平面两两垂直，
∴分别以PB、PD、PF为长、宽、高，作长方体OABC﹣EDPF，如图所示．
∵点P到三个面的距离分别为3、4、5，
∴长方体的对角线长为＝，
即OP的长为．
故答案为：5
14． 解：由长方体的对角线等于其外接球的直径2R可得：（2R）2＝32+22+12，解得：R＝，
故答案为：．
15． 解：底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝3，
如图所示：
设外接球的半径为R，
所以（2R）2＝42+32+32＝34，
解得，
所以．
故答案为：34π．
16． 解：设圆柱上底面圆的半径为r，
则根据题意得r2+1＝4，∴r2＝3，
∴该圆柱的体积为V＝3π 2＝6π．
故答案为：6π．
三、解答题
17． 证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，
∵DE 平面DEC1，A1B1 平面DEC1，
∴A1B1∥平面DEC1．
解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．
∴BE⊥AC，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BE 平面ABC，
∴BE⊥AA1，
又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，
∵C1E 平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．
18． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB＝A，AB⊥BC，
∴PA⊥平面ABCD，又BC 面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA＝A，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，
∴AF⊥PB，
又PB∩BC＝B，∴AF⊥平面PBC，
∵EF 平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB＝1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
＝（0，0，1），＝（1，1，0），
设平面APC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
＝（0，1，﹣1），＝（1，1，﹣1），
设平面PBC的法向量＝（a，b，c），
则，取b＝1，得＝（0，1，1），
|cos＜＞|＝||＝，
∴＜＞＝60°，又sin60°＝，
∴二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值为．
19． 证明：（1）由题意，底面ABCD是菱形，且AB＝AC＝2，∴BD⊥AC，
在△PAB中，∵AB＝PA＝2，，∴PA2+AB2＝PB2，
即∠PAB＝90°，∴PA⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA 平面PAB，
∴PA⊥平面ABCD，而BD 平面ABCD，则PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC；
解：（2）由（1）知：PA⊥平面ABCD，
∴＝＝，
而VM﹣PAC＝VP﹣AMC，且，
∴．
20． 证明：（1）因为BC1⊥C1C，又平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，
且平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝C1C，
所以BC1⊥平面ACC1A1．
又因为A1C 平面A1C1CA，
所以BC1⊥A1C．
（2）取A1C1中点G，连FG，连GC，如图所示：
在△A1B1C1中，因为F，G分别是A1B1，A1C1中点，
所以FG∥B1C1，且FG＝B1C1．
在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点，
所以EC∥B1C1，且EC＝B1C1．
所以EC∥FG，且EC＝FG．
所以四边形FECG是平行四边形．
所以FE∥GC．
又因为FE 平面A1C1CA，GC 平面A1C1CA，
所以EF∥平面A1C1CA．
21． 证明：（1）∵在棱长为2的正方体ACBD﹣A1C1B1D1中，AB∥A1B1，
A1B1 平面A1B1C，AB 平面A1B1C，
∴AB∥平面A1B1C．
（2）在棱长为2的正方体ACBD﹣A1C1B1D1中，
∵BC＝AC，M是线段AB中点，∴CM⊥AB，
∵AA1⊥平面ABC，CM 平面ABC，则CM⊥AA1，
∵AB 平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，
且AB∩AA1，∴CM⊥平面ABB1A1，
∵CM 平面MCC1，∴平面MCC1⊥平面ABB1A1．
解：（3）∵AB∥平面A1B1C，∴点M，点A到平面A1B1C的距离相等，
∴三棱锥M﹣A1B1C的体积：
＝＝＝．
22．证明：（1）因为M为棱AC的中点，且AB＝BC，所以BM⊥AC，
又因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC
因为BM 平面ABC，所以AA1⊥BM
又因为AC，A1A 平面ACC1A1且AC∩A1A＝A，所以BM⊥平面ACC1A1
因为BM 平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1
（2）取BC的中点P，连接B1P和MP
因为M、P为棱AC、BC的中点，
所以 MP∥AB，且MP＝AB，
因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以A1B1∥AB，A1B1＝AB
因为N为棱A1B1的中点，
所以B1N∥BA，且B1N＝BA；
所以B1N∥PM，且B1N＝PM；
所以MNB1P是平行四边形，
所以MN∥PB1
又因为MN 平面BCC1B1，PB1 平面BCC1B1
所以MN∥平面BCC1B1
注意：也可以取C1B1的中点，同理用线面平行的判定定理证得） （说明：如用面面平行的性质定理证的话，一定先证线面平行，得到面面平行，再用面面平行的性质定理证得）．