北师大版（2019）必修第二册《第三章 数学建模活动（二）》单元测试卷（含解析）

北师大版（2019）必修第二册《第三章 数学建模活动（二）》单元测试卷
一、选择题
1．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2（1+）．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了（　　）（lg2≈0.3010）
A．10% B．30% C．60% D．90%
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到[20，80）mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（　　）
A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时
3．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武．已知火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料质量M（单位：kg），火箭质量m（单位：kg）的函数关系是：，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（　　）（参考数值为ln2≈0.69；ln101≈4.62）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（　　）
A．在t1时刻，两车的位置相同
B．t1 时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．在t0时刻，甲车在乙车前面
5．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301）（　　）
A．12块 B．13块 C．14块 D．15块
6．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y（℃）与时间t（min）近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y（℃）与时间t（min）近似满足函数的关系式为（a，b为常数），通常这种热饮在40℃时，口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（　　）
A．35min B．30min C．25min D．20min
7．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险，现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（　　）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2≈0.301，lg3≈0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1小时）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
8．如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入﹣支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：
（1）图2的建议是：减少支出，提高票价；
（2）图2的建议是：减少支出，票价不变；
（3）图3的建议是：减少支出，提高票价；
（4）图3的建议是：支出不变，提高票价；
上面说法中正确的是（　　）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3）
9．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为2361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（　　）（参考数据：lg2≈0.30）
A．1030 B．1028 C．1036 D．1093
10．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（　　）
A． B． C． D．
11．下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是
x 2 3 4 5 6 7 8 9
y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99
（　　）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
12．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（　　）
（注：结余＝收入﹣支出）
A．收入最高值与收入最低值的比是3：1
B．结余最高的月份是7月份
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
二、填空题
13．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站　 　．
14．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置　 　门高炮？（用数字作答，已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 　 　元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 　 　．
16．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过 　 　h后池水中药品的浓度达到最大．
三、解答题
17．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
18．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
19．2020年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且C（x）＝．由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
20．某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有经验公式P＝m+65，Q＝76+4，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．
（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；
（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？
21．某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数f（t）（万人）近似地满足f（t）＝4+，而人均消费g（t）（元）近似地满足g（t）＝125﹣|t﹣25|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益W（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N+）的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值．
22．某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C＝3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式S＝，已知每日的利润L＝S﹣C，且当x＝2时，L＝3．
（1）求k的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1． 解：当＝1000时，C1＝Wlog21000，当＝8000时，C2＝Wlog28000，
∴＝＝＝≈1.3，
∴C大约增加了30%，
故选：B．
2． 解：1.6×100＝160mg，则n小时后的血液中酒精含量为160×（1﹣30%）n＝160×0.7n，由160×0.7n＜20，解得n≥6，
故选：C．
3． 解：由题意火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料质量M（单位：kg），
火箭质量m（单位：kg）的函数关系是：，
火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，
可得，
故选：B．
4． 解：由图可知，当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程为a+c+d，而乙走过的路程为c+d+b，
从图象上可知a与b大小不确定，则在t1时刻，甲的路程可能大于乙的路程，故A不一定正确；
t1时刻后，甲车可能在乙车的前面，故B不一定正确；
当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程大于乙走过的路程，故C错误；
在t0时刻，甲车在乙车前面，故D正确．
∴一定正确的是D．
故选：D．
5． 解：设至少需要通过这样的玻璃x块，则（1﹣10%）x，
∴，∴，即x＞，
∴至少需要通过这样的玻璃14块，
故选：C．
6． 解：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象的解析式为，
图象过（5，100）和（15，60），则，得，
即y＝80+20，t≥5，
当y＝40时，得
80+20＝40，即80＝20，得80＝，得＝2，得t＝25，
即最少需要的时间为25min，
故选：C．
7． 解：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，
由题意可得：500≤2500×（1﹣20%）x≤1500，
整理得：，
∴，
∵＝＝＝≈2.2，
同理可得7.0，
∴2.2≤x≤7.0，
∴应在用药2.2小时后及7.0小时前再向病人的血液补充药，
故选：A．
8． 解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，
直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，
即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，
但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，
即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，
故选：C．
9． 解：由题意：M≈2361，N≈1080，
根据对数性质有：2＝10lg2≈100.30，
∴M≈2361≈（100.30）361≈10108，
∴≈＝1028．
故选：B．
10． 解：根据题意，函数的图象有三段，
第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的横截面的面积不变，
其中第二段上升速度更快，说明第二段横截面的面积较小，
第三段函数图象与x轴平行，水面不再上升，此时水注满杯子，
分析选项：B符合题意；
故选：B．
11． 解：观察图表中函数值y随自变量x变化规律，得到：
∵随着自变量x增加，函数值也在增加，但是增加的幅度越来越小，
∴它最可能的函数模型为对数函数．
故选：D．
12． 解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，
由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20＝60，故B正确，
由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，
由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）＝45万元，故D错误，
故选：D．
二、填空题
13． 解：设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，
于是y1＝，y2＝k2x，
∴，解得k1＝20，k2＝．
设总费用为y，则y＝+x≥2＝8．
当且仅当x＝5时取等号．
故答案为：5km．
14． 解：设需要至少布置n门高炮，
∵某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，
要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，
∴1﹣（1﹣0.2）n＞0.9，
解得n＞10.3，n∈N，
∴需要至少布置11门高炮．
故答案为：11．
15． 解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），
即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；
②在促销活动中，设订单总金额为m元，
可得（m﹣x）×80%≥m×70%，
即有x≤恒成立，
若m＜120，可得到支付款为80%m；
当m≥120，
可得x≤＝15，
则x的最大值为15元．
故答案为：130，15
16． 解：C＝＝＝5，当且仅当t＝，t＝2时取等号．
因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．
故答案为：2．
三、解答题
17． 解：（1）行车所用时间为，
根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：
y＝＝（50≤x≤100）
（2）y＝≥26，当且仅当，即时，等号成立
∴当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．
18． 解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，
则y＝45x+180（x﹣2）+180 2a＝225x+360a﹣360．
由已知ax＝360，得 ，
所以 ．
（II）因为x＞0，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
19． 解：（1）根据题意，当0＜x＜40时，L（x）＝5×100x﹣10x2﹣100x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，
当x≥40时，L（x）＝5×100x﹣501x﹣+4500﹣2500＝2000﹣（x+），
故L（x）＝；
（2）根据题意，当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10x2+400x﹣2500＝﹣10（x﹣20）2+1500，
当x＝20时，L（x）≤L（20）＝1500，
当x≥40时，L（x）＝2000﹣（x+）
而x+≥2＝200，当且仅当x＝100时等号成立，
则L（x）≤L（100）＝1800，
又由L（20）＜L（100），故L（x）max＝1800；
故当x＝100时，即当2020年生产100百辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元．．
20． 解：（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150﹣x）（万元）（25≤x≤125）．
所以y＝（150﹣x）+65+76+4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
其定义域为[25，125]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）令t＝，
因为x∈[25，125]，
所以t∈[5，5]，有y＝﹣+203﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
所以当t＝6时，即x＝36时，ymax＝203﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
21． 解：（Ⅰ）＝…．（5分）
（Ⅱ）①当t∈[1，25]时，W（t）＝401+4t+≥401+2＝441（当且仅当时取等号）
所以，当t＝5时，W（t）取得最小值441．…．（8分）
②当t∈（25，30]时，因为W（t）＝递减，
所以t＝30时，W（t）有最小值W（30）＝484＞441，…．（11分）
综上，t∈[1，30]时，旅游日收益W（t）的最小值为441万元．…．（12分）
22． 解：由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y＝…（4分）
（1）当x＝2时，L＝3，即：…（5分）
∴k＝18…（6分）
（2）当x≥6时，L＝11﹣x为单调递减函数，
故当x＝6时，Lmax＝5 …（8分）
当0＜x＜6时，…（11分）
当且仅当，
即x＝5时，Lmax＝6…（13分）
综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．…（14分）