2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
2.3 二次函数与
一元二次方程、不等式
（第一课时）
人教A版2019必修第一册
学习目标
1. 理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；
2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系；
3. 理解含参不等式的解法。
情景导入
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20 ｍ2，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为xcm,则另一条边长为(12-x)m，
由题意,得
(12-x)x>20，其中x∈{x|0整理得
x2-12x+20<0， x∈{x|0求得上述不等式的解集，即可得到问题的答案．
新知讲解
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式，称为一元二次不等式．
一元二次不等式的一般形式是：
注：若无a≠0这个条件，则该不等式不一定是一元二次不等式，需对a是否为零展开讨论.
新知讲解
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
步骤：1．做出函数的图像；
2．求出图像与x轴交点的横坐标；（函数的零点）
3．观察图像位于x轴上方（或下方）所对应的x取值范围．
注：使得 成立的实数x（方程 的解）即为二次函数 的零点．
新知讲解
观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？
二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．
当x＜2 时，y＞0，即x2－12x+20>0；
当2当x＞10时，y＞0，即x2－12x+20>0；
故一元二次不等式x2－12x＋20＜0
的解集是{x|2＜x＜10}．
新知讲解
一元二次不等式的解法
()
两个不等实根
()
两个相等实根
没有实数根
{}
{}
R
{}


典例分析
【例1】(1)求不等式x2－5x＋6＞0的解集.
【解析】对于方程x2－5x＋6＞0，因为Δ>0，
故有两个不等的实数根，解得x1＝2，x2＝3 ．
画出二次函数y＝x2－5x＋6的大致图象，
结合图象得不等式x2－5x＋6＞0
的解集为：
一元二次不等式的解法
【例1】(2)求不等式9x2－6x＋1＞0的解集．
【解析】对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的大致图象，
结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为 ．
所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝
典例分析
一元二次不等式的解法
【例1】(3)求不等式－x2+2x－3＞0的解集．
【解析】不等式可化为x2－2x+3<0，因为 <0
所以方程x2－2x+3=0无实数根
画出二次函数y=x2－2x+3的大致图象，
结合图象得不等式x2－2x+3<0的解集为:
典例分析
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的过程
将原不等式化成的形式
计算的值
方程有两个不等实根( )
原不等式的解集为
{|｝
方程有两个相等实根( )
原不等式的解集为
{|｝
方程
没有实根
原不等式的解集为
R
方法归纳
变式训练
【变式1】 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;　 (2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0.
一元二次不等式的解法
图①
解:(1)对于方程2x2-3x-2=0,因为Δ>0,所以它有两个不相等的实数根.
变式训练
一元二次不等式的解法
(2)原不等式可化为3x2-6x+2<0.
对于方程3x2-6x+2=0,
因为Δ=36-4×3×2=12>0,
所以它有两个不相等的实数根,
图②
变式训练
一元二次不等式的解法
图③
变式训练
一元二次不等式的解法
(4)对于方程x2-2x+2=0,因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数根.
画出二次函数y=x2-2x+2的图象(图④),结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R.
图④
变式训练
一元二次不等式的解法
一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系
典例分析
变式训练
一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系
典例分析
【例3】 解关于x的不等式x2-2ax-8a2<0.
解:不等式x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0,
方程x2-2ax-8a2=0的两根为x1=-2a,x2=4a.
当-2a=4a,即a=0时,不等式即为x2<0,解集为 ;
当-2a>4a,即a<0时,得4a当-2a<4a,即a>0时,得-2a综上所述,当a=0时,原不等式的解集为 ;
当a<0时,原不等式的解集为{x|4a当a>0时,原不等式的解集为{x|-2a解含参数的一元二次不等式
【变式3】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1>0.
变式训练
解含参数的一元二次不等式
变式训练
解含参数的一元二次不等式
当堂检测
B
解析:因为2x+3-x2>0,
所以(x-3)(x+1)<0,
所以-1所以不等式的解集为{x|-1当堂检测
C
当堂检测
当堂检测
4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是　 .
解析:由表知当x=-2,或x=3时,y=0,
所以二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3).
又因为当x=1时,y=-6,
所以a=1.
所以不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.
答案:{x|x<-2或x>3}
当堂检测
5.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
课堂小结
1.化标准
2.计算判别式
将原不等式化成 ax2+bx+c>0(a>0) 的形式
计算 =b2－4ac 的值
方程 ax2+bx+c＝0 有
两个不相等的实数根，
解得 x1，x2 (x1方程 ax2+bx+c＝0 有两个相等的实数根，解得 x1=x2=－
方程 ax2+bx+c＝0 没有实数根
原不等式的解集为{ x | xx2 }
原不等式的解集为{ x | x≠－ }
原不等式的解集为 R
>0
=0
<0
4.口诀（大于取两边，小于取中间）
3.求根（因式分解、求根公式）
谢谢
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