专题1.1探索勾股定理 知识梳理讲解（含解析）八年级数学上册北师大版基础知识专项突破讲与练

专题1.1 探索勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】勾股定理
1．定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果有a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有
2．变形公式有：；
3．解题的基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机结合起来，就是把直角三角形中的这个图形的“形”与三边关系这个“数（量）”结合起来，这就是数形结合
【知识点2】勾股定理的证明
1．常用的验证法：验证方法很多，有测量法、几何证明法，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，利用面积等关系进行证明．
2．经典的勾股定理证明方法：
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
【考点一】勾股定理 求线段长
【例1】
1．如图，嘉嘉在荡秋千时发现，秋千在静止位置时，下端离地面米，荡秋千到位置时，下端距静止位置的水平距离等于米，距地面米，求秋千的长．

【举一反三】
【变式1】
2．如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．

【变式2】
3．如图，在中，，，，于．求：

(1)的长和的面积；
(2)的长．
【考点二】勾股定理 求面积
【例2】
4．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．
【举一反三】
【变式1】
5．计算图中四边形ABCD的面积.
【变式2】
6．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，
(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；
(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．
【考点三】勾股定理 求两条线段的平方和
【例3】
7．已知将边长分别为a和2b（a＞b）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5．试通过你获取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值．
【举一反三】
【变式】
8．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2 ＋ CF2的值．
【考点四】勾股定理 折叠问题
【例4】
9．如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．

【举一反三】
【变式1】
10．如图，直角三角形纸片的两直角边，．现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C点E重合．求的长．
【变式2】
11．（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长．
（2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上．
①求的长．
②求的长．
【考点四】勾股定理 动点与折叠问题
【例5】【变式3】
12．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝9，AB＝CD＝15．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长度
【举一反三】
【变式1】
13．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）
(1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；
(2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________．
【变式2】
14．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．
(1)求证：AM=MF；
(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；
(3)当CF=4时，求CM的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．米
【分析】根据题意，设为米，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，

根据题意可知：，
设为米，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴秋千的长为米．
【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
2．12
【分析】为高，那么题中有两个直角三角形．在这两个直角三角形中，设为未知数，可利用勾股定理都表示出长．求得长，再根据勾股定理求得长即可．
【详解】解：设，则，
在中，，
在中，，
∴，
，
解得，
在中，．
【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．
3．(1)，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积；
（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∴．
（2）解：，
，
．
【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
4．△ABC的面积为，CD的长为cm
【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高．
【详解】解：∵∠ACB=90
∴
∵
∴
∴
答：△ABC的面积为，CD的长为cm．
【点睛】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变．
5．246
【分析】根据观察图形可以看出四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD的面积之和，根据AD，AB可以计算△ABD的面积和BD的长，根据CD，BD可以计算△BCD的面积，即可解题．
【详解】解：在Rt△ABD中，BD为斜边，
AD=12，AB=16，
则BD=，
故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD=×12×16+×15×20=96+150=246．
答：四边形ABCD的面积为246．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积计算方法，本题中正确的计算△ABD和△BCD的面积是解题的关键．
6．(1)，证明见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
【详解】（1）解：①，
根据勾股定理可知：，
；
（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；
（3）解：由（2）知．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
7．a2+b2＝25，a2﹣b2＝7．
【分析】根据勾股定理，长方形的面积为24，正方形的面积计算方法，列出关于a、b方程组，然后求解．
【详解】解：根据题意得
a2+b2＝52＝25，
a 2b＝24，
∴a2+b2+2ab=49，
∴a+b＝7，
由图2得（a-b）2=52-24=1，
∵a＞b，
∴a-b=1，
∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=7×1=7，
∴a2+b2＝25，a2﹣b2＝7．
【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质及直角三角形．解题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角形、小正方形间的数量关系．
8．100
【分析】根据角平分线的定义推知∠ECF=90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．
【详解】解：∵ B、C、D三点在一条直线上，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝∠ACB＋∠ACD＝×180°＝90°.
∴CE2 ＋ CF2＝EF2 .
∵EF＝10，
∴CE2＋CF2＝102＝100.
【点睛】本题考查勾股定理, 角平分线线的性质.
9．
【分析】根据折叠的性质可得，，，设，则，在中，，列方程求解即可．
【详解】在中，，，，
由折叠性质可知，
，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键．
10．CD的长为．
【分析】根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得的长，从而利用勾股定理可求得的长．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
设，则在中，，
∴．
答：的长为．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
11．（1）10cm；（2）① 4cm；② 3cm
【分析】（1）利用勾股定理，进行求解即可；
（2）①根据翻折得到，利用求出的长即可；
②在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）设，则，
在中：，即：，
解得：；
∴；
（2）①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，
∴，
∴；
②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，
∴，
设，则，
在中：，即：，
解得：；
即：．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，对应边相等，对应角相等，以及勾股定理，是解题的关键．
12．DE＝3或27．
【分析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．
【详解】如图1，
∵折叠，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线，
∵∠ABD′=∠BEC，∠AD′B=∠C＝90°，AD′＝BC，
∴ABD′≌△BEC，
∴BE＝AB＝15，
∵BD′＝＝＝12，
∴DE＝D′E＝15﹣12＝3；
如图2，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE＝AB＝15，
∴DE＝D″E＝15+12＝27．
综上所知，DE＝3或27．
【点睛】此题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
13．(1)1
(2)或13
(3)或10
【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论．
（2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答．
（3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答．
【详解】（1） 四边形ABCD是长方形，
，，，，
，
由翻折性质可知：，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
．
（2）存在，分两种情况：
如图③，当点E在长方形内部时：
作于G，设，则
由翻折可知，，
在中，由勾股定理可得：，即 ，
解得：，即，
在与 中：
，解得：．
如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中：
，
．
综上，当或时，有．
（3）过点E作交AB于点M，交CD于点N．
如图⑤，点E在长方形内部： 则，
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
，即
解得：
如图⑥，点E在长方形外部：则，
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
，即
解得：
综上，若点E到直线AB的距离等于3，或．
【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键．
14．(1)见解析
(2)
(3)或 21
【分析】（1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解；
（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，如图所示，则，；
第二种情况，点在线段上，如图所示，则，
在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴ABCD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝MF；
（2）∵点E是边BC的中点，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，，
∴ABCD，，
∴∠F＝∠BAF，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）当时，设，应分两种情况：
第一种情况，点在线段上，如图所示，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示，则，
∴在中，，
∴，解得，
∴的长为
综上可知，当CF=4时，CM的长为或 21
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，分类讨论的思想是解题的关键．
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