5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 课件（共18张PPT）

课程名称：5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
学科：数学 年级：高一
必修第一册
我们知道，单位圆上的点，以（1,0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数刻画。
对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
复习回顾
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度H与时间t的关系吗？
问题1
因为筒车上的盛水桶在做匀速圆周运动，可以考虑用三角函数模型来刻画它的运动规律。
水面
将筒车抽象为一个几何图形
问题2 如何建立直角坐标系？
问题3 与盛水桶运动相关的量有哪些？
转轮的中心O到水面的距离h
筒车的半径r
筒车转动的角速度ω
经过的时间 t
盛水筒的初始位置P0
x
y
构建函数模型
以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
设t=0时，盛水筒M位于P0，
以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，
水面
所以 H=r sin(ωt+φ)+h ②
ωt
OP为终边的角为ωt+φ
则 y = r sin(ωt+φ) ①
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律。而h为常量，我们可以只研究①的性质。
φ
经过t s后运动到点P(x,y)
（1）由最低点到达最高点是半圈，耗时10分钟
（2）建立如图所示直角坐标系
设该盛水筒距离水面的高度为y，可得
令
即
所以
解得
所以转动一周的过程中，水流出的时间为 分钟
巩固练习1
某筒车半径为１０米，筒车转轮中心距离水面的高度为６米，筒车逆时针匀速转动，每２０分钟转一圈，某个盛水筒开始时位于最低点，则
（１）这个盛水筒经过几分钟第一次到达最高点？
（２）当盛水筒距离水面高度不低于１１米时，其中的水会流出，则在转动一周的过程中，水流出的时间是多少？
巩固练习2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120????，转盘直径为110????，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30????????????.
?
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动?????????????????后距离地面的高度为????米，求在转动一周的过程中，????关于????的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动五????????????后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差?(单位：????)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
?
如图，设座舱离地面最近的点为P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系。
最高点高度120m
转盘直径110m
最高点高度120m
转盘直径110m
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
解:(1)设t＝0 min时，甲位于点P(0,-55)，以OP为终边的角为?????????； 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为????????????rad/min，由题意可得：
????=????????????????????(?????????????????????????)+????????，???????≤????≤????????
?
最高点高度120m
转盘直径110m
解:(2) 当t＝5时，
????=????????????????????(????????????×?????????????)+????????=????????.????．
?
（2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度；
经过tmin后甲离地面的高度
点B相当于点A始终落后 rad，
此时乙距离地面的高度
两人距离地面的高度差

(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差?(单位：????)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1)
?
巩固练习3
为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面
直角坐标系，设秒针指尖指向位置 。若初始位置
为 ，秒针从 （注：此时t=0）开始顺时针方向
走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系式为
初始角度
顺时针转动，所以角速度为负值，60秒转 弧度，所以角速度为
所以
用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？
实际问题
数学问题
三角函数模型
求解三角函数问题
实际问题的解
抽象
转化
引入
构建
课堂小结
作业
课本241页 第7题