初中数学华师大版七上5.1.2垂线 学案（含答案）

《5.1.2垂线》学案
学习目标：
1.理解垂直、垂足、垂线的概念，理解垂直是特殊的相交，会正确表示两直线互相垂直.
2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
3.掌握垂线的性质，掌握点到直线的距离的定义，并掌握“垂线段最短”的应用.
学习重难点：
【重点】垂直的相关概念及性质
【难点】，过一点画已知直线、点到直线的距离及垂线段最短的应用
学习过程：
温故而知新：
回想一下小学阶段我们学过的，同一平面内，两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
上节课我们学习的两条直线相交构成了几个角，分别是什么关系？
创设情境：
将两个木条用一根钉子钉在一起，固定一根木条，让另一根木条绕着钉子转动，请你认真观察，随着木条的转动，两根木条相交构成的四个角的大小有没有发生改变？
如果∠1=90°，那么∠2，∠3，∠4各等于多少度？
探究新知：
1.自主阅读，获取新知
阅读课本第162页，回答下列问题：
直线AB.CD相交于点O，当∠AOD=90°时，∠AOC= ，∠BOD= ，
∠BOC= ，即两条直线相交所成的四个角有一个为直角时，其余三个角也都是直角，此时，直线AB，直线CD互相 ，记作 ，它们的交点O叫做 ，我们把其中一条直线叫做另一条直线的 ，即直线AB是直线CD的 ，直线CD的垂线是 .
几何语言表达为：
∵∠AOC=90°∴ （垂直的定义）
反过来就是：∵直线AB⊥CD，∴ （垂直的性质）
请找出生活中下列图形互相垂直的两条直线.
垂线和垂直是一回事吗？是不是只有两条直线可以垂直，两条射线或两条线段可不可以是垂直的？
2.阅读理解，动手操作：
阅读课本第163页“试一试”到本页结束，动手画一画，然后回答下面的问题：
过一点做已知直线的垂线有几种情况，可以使用什么工具完成？试着画一画：
①已知直线CD及直线CD上一点M；②已知直线EF及直线EF上一点N；
总结一下过一点作已知直线的垂线可以分几步完成？
过一点作已知直线的垂线能画几条？由此我们可以得到关于垂线的一个基本事实：
3.自主阅读，深入探究：
阅读课本第164页，回答下列问题：
点P是直线AB外一点，PO⊥AB于点O，线段PO叫做点P到直线AB的
比较一下PA，PO，PB，PC这几条线段，哪一条最短呢？
由此我们可以得到一条垂线段的性质：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短，简称： .
从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离.例如上图中，
线段 的长度就叫做点P到直线AB的距离.
体育课上是怎样测跳远成绩的？你知道其中的原因吗？生活中还有没有这样的例子，和同伴说一说.
完成做一做.
四、精讲例题：
1.精讲例1
例1 如图，∠1＝15°，AO⊥CO，直线BD经过点O，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．105° C．100° D．165°
分析：由OC⊥OA，可知∠BOC+∠1＝90°，而∠1＝15°，可求∠BOC，再根据∠2+∠BOC＝180°求∠2．
温馨提示：利用垂线的性质，根据图形由垂直得两角的和为90°是最常用的知识点，也是考查的重点，要熟练应用
2.精讲例2
例2 如图，如图，直线a和b分别表示铁路与河流，码头、火车站分别位于A.B两点．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由．
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由．
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
分析：解题的关键是理解题意，一定要看清是点到点的最短距离还是点到直线的最短距离，灵活运用所学知识解决问题．
精讲例3．
例3 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝30°，求∠BOD的度数；
（2）如果∠1＝∠2，那么ON与CD互相垂直吗？请说明理由．
【分析】（1）利用余角、对顶角的定义计算即可；
（2）利用余角的定义，求得两个角的和为90°即为垂直．
五、课堂练习：
1．在下列各图中，请你分别过点P作AB的垂线.
2.如图，OA⊥OB，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．70°
3.如图，∠A＝90°，点B到线段AC的距离指的是下列哪条线段的长度（　　）
AB B．BC C．BD D．AD
4．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
5．如图，直线AB.EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 　 　．
6.如图，已知，直线AB.CD相交于点O，过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，若∠AOC＝32°．求：∠EOF的度数．
课堂总结：
本节课你有什么收获？
布置作业
课本第165页练习1-3题；
课本第168页习题5.1第1题.
参考答案：
一、温故而知新：
1.同一平面内，两条直线的位置关系有2种：相交和平行.
2.两条直线相交构成了4个角，分别是相等或互补.
二、创设情境：
如果∠1=90°，那么∠2，∠3，∠4各等于90°
三、探究新知：
1.自主阅读，获取新知
（1）90°，90°，90°，垂直，AB⊥CD，垂足，垂线，垂线，直线AB；（2）AB⊥CD∠AOC=90°
（4）垂线和垂直不是一回事.垂线是一条直线，垂直是一种特殊的位置关系，两条射线或两条线段可以是垂直的，这指的是它们所在的直线垂直.
2.阅读理解，动手操作：
（1）过一点做已知直线的垂线有2种情况，过直线上一点和过直线外一点，可以使用量角器或三角板完成.
（2）总结一下过一点作已知直线的垂线可以分三步完成：一贴二移三画
过一点作已知直线的垂线能画1条，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.自主阅读，深入探究：
（1）垂线段
（2）PO
(3)垂线段，垂线段最短
(4)垂线段，PO
（5）体育课上测跳远成绩的是测量后面那只脚的脚后跟到起跳线的距离，原因是垂线段最短.
四、精讲例题：
例1:B
例2解：（1）如图，线段AB即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）如图，线段BH即为所求．
例3．解：（1）解：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∵∠1＝30°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1
＝90°﹣30°
＝60°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝60°；
（2）ON⊥CD，
证明：∵∠1+∠AOC＝90°，∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD．
五、课堂练习：
1．解：如图所示：
2.C
3.A
4．B
5．38°，
6.解：∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝32°，
∴∠EOB＝∠EOD﹣∠BOD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠EOF＝∠FOB+∠EOB＝90°+58＝148°．
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