初中数学华师大版七上4.6.3余角和补角 学案（含答案）

4.6.3 余角和补角 学案
学习目标：
1. 理解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，
2.利用余角、补角的知识解决一些简单的实际问题.
学习重难点：
【重点】余角和补角的定义及性质.
【难点】在具体情境应用余角和补角的定义及性质解决实际问题
学习过程：
温故而知新：
将一副直角三角板如图所示摆放，则图中∠ADC的大小为（　　）
A．75° B．120° C．135° D．150°
2.如图，已知点A在直线l上，从点A引出的两条射线之间的夹角是90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．40° B．60° C．30° D．50°
3.如图，∠AOB=90°，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．70°
创设情境：
上节课我们研究了角的比较与运算，学会了进行角的和差倍分计算，今天我们继续研究角之间的关系.
测量计算：①下面是我们用的一副三角尺，这两个三角尺中分别都有一个90°，请你分别计算一下两个三角形中其他两个角的和是多少度？
②一架梯子斜靠在墙上，请你测量一下∠BAC和∠CAB的大小，再计算一下它们的和，你发现有什么特殊之处？
探究新知：
自主阅读，获取新知：
阅读课本第152页回答下列问题：
（1）用量角器量一量两组图中各角的大小，分别求出两组角的和，你有什么发现？
两个角的和等于90°（直角），这两个角 .简称 .
若∠1+∠2=90°，则说∠1是∠2的 或∠2是∠1的 或∠1与∠2互余.
若∠1与∠2互余，那么∠1+∠2= .
温馨提示：互为余角表示两个角特殊的大小关系，与位置无关.
两个角的和等于180°（直角），这两个角 .简称 .
若∠3+∠4=180°，则说∠3是∠4的 或∠4是∠3的 或∠3与∠4互补.
若∠3与∠4互补，那么∠3+∠4= .
温馨提示：互为余角表示两个角特殊的大小关系，与位置无关.
小组合作，深入探究：
（1）若∠1是∠2的余角，则可得到等式：∠1= .
若∠3也是∠2的余角，则可得到等式：∠3= .
由上述两个等式可知：∠1与∠3的大小关系是 ，即同角的余角 .
同理可得：同角的补角 .
（2）若∠1是∠2的余角，则可得到等式：∠1= .
若∠3是∠4的余角，则可得到等式：∠3= .
若∠2=∠4，由以上两个等式可知：∠1与∠3的大小关系是 ，即等角的余角 .
同理可得：等角的补角 .
精讲例题：
精讲例1
例1：已知∠α＝50°17'，求∠α的余角和补角.
分析：根据余角和补角的概念就可求出，计算的时候注意借一当六十来减.
学生试做．
精讲例2
例2如图所示，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）填空：图中与∠BOC互余的角有　 　和　 　；
（2）∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？
分析：根据∠BOD＝∠AOC＝90°可找出与∠BOC互余的角．
根据∠COA＝∠BOD＝90°，得出∠BOA＝∠DOC，然后将∠AOD拆开两部分求出∠COB+∠AOD＝180°，可得∠BOC与∠AOD互补.
3.精讲例3
例3如图，O是直线AB上的一点，∠BOD＝23°，OD.OE分别是∠BOC.∠AOC的平分线．
（1）图中所有与∠COD互余的角有 　∠AOE，∠COE　；
（2）图中与∠COD互补的角有 　∠AOD　；
（3）求∠AOE的度数．
分析：先由角平分线的定义可得∠AOE＝∠COE，∠COD＝∠BOD，再结合平角的定义可得∠AOE+∠COD＝∠COD+∠COE＝90°，就可找到互余的角；第三小题由角平分线的定义可求得 的度数，结合平角的定义求解 的度数，再利用角平分线的定义可求出了 的度数.
课堂练习：
1．若∠A＝54°，则∠A的补角是（　　）
A．36° B．126° C．46° D．136°
2．如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3如果两个角互补，那么这两个角（ ）
A.均为钝角
B.均为锐角
C.一个为锐角，另一个为钝角
D.均为直角，或一个为锐角，另一个为钝角
4.一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的补角是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5.如图，已知∠COE＝∠BOD＝∠AOC＝90°，则图中与∠B0C相等的角为　 　，与∠BOC互补的角为　 　，与∠BOC互余的角为　 　．
课堂总结：
两个角的和等于90°（直角），这两个角 .简称 .
两个角的和等于180°（直角），这两个角 .简称 .
3.互为余角、互为补角表示两个角特殊的大小关系，与位置无关.
4.性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等
布置作业：
P153页课后练习1，2题
P153页习题4.6：7，8题
3.下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并回答问题．
2022年12月27日 星期二 晴 今天，我们数学兴趣小组讨论了一个画图问题：如图1，已知∠AOB，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互余． 对这个问题，我刚开始没有什么思路，但是我们通过小组讨论，发现射线OC在∠AOB的外部，尝试画出示意图，如图2所示；然后用三角尺画出直角∠BOD，如图3所示，找到∠BOC的余角∠COD；进而分析要使∠AOC与∠BOC互余，则需∠AOC＝∠COD．因此，我们找到了解决问题的方法：用三角尺作射线OD，使∠BOD＝90°，利用量角器画出∠AOD的平分线OC，这样就得到了∠AOC与∠BOC互余． 小组活动后我对这种画法进行了证明，并且我有如下思考：用同样的办法能否画出已知角的补角呢？…
（1）请帮小宇补全下面的证明过程．
已知：如图3，射线OC，OD在∠AOB的外部，∠BOD＝90°，OC平分∠AOD．
求证：∠AOC与∠BOC互余．
证明：∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC+　 　＝90°．
∵OC平分∠AOD，
∴　 　＝　 　．
∴∠BOC+∠AOC＝90°．
即∠AOC与∠BOC互余．
（2）参考小宇日记中的画法，请在图4中画出一个∠AOE，使∠AOE与∠BOE互补．（不写画法，保留画图痕迹）
参考答案：
一、温故而知新：
1.C 2.B 3.C
三、探究新知：
1.（2）互为余角，互余
（3）余角，余角，
（4）90°
（5）互为补角，互补
（6）补角，补角，
（7）180°
2.小组合作，深入探究：
（1）90°-∠2，90°-∠2，相等，相等，相等.
（2）90°-∠2，90°-∠3，相等，相等，相等.
四精讲例题：
精讲例1
例1：解：∠α的余角=90°-50°17'=39°43'
∠α的补角＝180°-50°17'=129°43'
例2解：（1）∠AOB和∠COD；
（2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
又因为∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，
所以∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补．
故答案为：∠AOB，∠COD
3.精讲例3
例3分析：∠BOC，∠AOC，∠AOE
解：（1）∠AOE，∠COE　；（2）∠AOD
（3）∵OD是∠BOC的平分线，∠BOD＝23°，
∴∠BOC＝2∠BOD＝46°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣46°＝134°，
∵OE是∠AOC的角平分线，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝67°．
五、课堂练习：
1．B 2．B 3.D 4.D 5.∠DOE　，　∠AOD　，　∠COD，∠AOB　．
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