2.2基本不等式 同步练习(含解析)

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2.2基本不等式（第一课时）
一、单选题
1．若，则函数最大值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
2．下列结论：①函数有最大值；②函数有最大值10；③若，则．正确的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
3．若，则有（ ）
A．最大值 B．最小值9
C．最大值 D．最小值
4．已知：，且，则的最小值是（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
5．当时，不等式恒成立，则实数可取的最大整数值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．设，则函数，的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
8．已知正数，满足，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．13 B．16 C．9 D．12
二、填空题
11．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 .
12．已知，则的最大值为 ．
13．已知，若的最小值是6，则 ．
14．若两个正实数x，y满足且任意的x，y使不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题
15．（1）求的最小值.
（2）已知，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
16．回答下列两题：
(1)已知，，且，求的最小值；
(2)已知，求的最小值．
17．（1）若，，求的最小值；
（2）已知若，求的最大值.
2.2基本不等式(第一课时)
一、单选题
1．若，则函数最大值为（D）
A．6 B．8 C． D．
解:，
由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立，
而，
故，
所以最大值为，
故选：D
2．下列结论：①函数有最大值；②函数有最大值10；③若，则．正确的序号是（B）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
解:对于①，当且仅当时等号成立；
对于②因为，所以，当且仅当时等号成立；
对于③因为，所以，当且仅当时等号成立．
故选：B．
3．若，则有（C）
A．最大值 B．最小值9
C．最大值 D．最小值
解:因为，故
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
4．已知：，且，则的最小值是（A）
A．9 B．6 C．4 D．3
解:，，
当且仅当时，即，由，得，即，可求出，即当时，不等式等号成立.
故选：A
5．当时，不等式恒成立，则实数可取的最大整数值是（B）
A．4 B．5 C．6 D．7
解:当时，不等式恒成立，
则恒成立，
又由，可得，当且仅当，即时，等号成立
所以，则实数可取的最大整数值是.
故选：B.
6．若，，，则的最小值为（A）
A． B． C． D．
解:因为，，，所以，
所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.
故选：A.
7．设，则函数，的最小值为（D）
A．7 B．8 C．14 D．15
解:因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为15，
故选:D．
8．已知正数，满足，则下列说法错误的是（B）
A． B．
C． D．
解:因为正数，满足，
对于A：，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D：因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：B
9．已知，，若，则的最小值是（C）
A． B． C． D．
解:由题意，
，，，
∴，
∴，
当且仅当即时等号成立，
故选：C.
10．已知正数a，b满足，则的最小值为（B）
A．13 B．16 C．9 D．12
解:因为正数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
二、填空题
11．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 12 .
解:依题意，
所以
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
12．已知，则的最大值为 2 ．
解:因为，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故当时，的最大值为.
故答案为：.
13．已知，若的最小值是6，则 ．
解:因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
因为的最小值是6，
所以，解得．
故答案为：.
14．若两个正实数x，y满足且任意的x，y使不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
解:因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4，
由得．
故答案为：．
三、解答题
15．（1）求的最小值.
（2）已知，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
解:（1）令，则，；
，当且仅当，即时，取到最小值9.
（2）因为，且，所以；
所以
，当且仅当，即时取到等号.
当不等式恒成立时，，所以取值范围为.
16．回答下列两题：
(1)已知，，且，求的最小值；
(2)已知，求的最小值．
解:（1）由题意可知，
，
当时，即，得时，等号成立，
综上可知，的最小值为；
（2）原式，
当时，等号成立，即，
所以的最小值为.
17．（1）若，，求的最小值；
（2）已知若，求的最大值.
解:（1）易知，则，
当且仅当时取等号
（2）∵，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
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