2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．【答案】D
【分析】找到只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式即可．
【解答】解：A、不是整式，不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不符合题意；
C、含有2个未知数，不符合题意；
D、是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式，符合题意；
故选：D．
2．【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．【答案】C
【分析】将y看作已知数，x看作未知数，求出x即可．
【解答】解：﹣3x+4y＝﹣1，
移项得：3x＝4y+1，
解得：x＝．
故选：C．
4．【答案】B
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长﹣1cm＝长方形的宽+2cm，根据此列方程即可．
【解答】解：设长方形的长为xcm，则宽是（13﹣x）cm，
根据等量关系：长方形的长﹣1cm＝长方形的宽+2cm，列出方程得：
x﹣1＝（13﹣x）+2，
故选：B．
5．【答案】D
【分析】根据不等式的性质2性质3，可得答案．
【解答】解：A、c＜0时，ac＞bc，故A错误；
B、m＜0时，﹣，故B错误；
C、z＝0时 错误，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；
故选：D．
6．【答案】B
【分析】三角形的三边关系是：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．已知两边时，第三边的范围是＞两边的差，＜两边的和．这样就可以确定x的范围，从而确定x的值．
【解答】解：依据三角形三边之间的大小关系，列出不等式组
，解得2＜x＜8．
故选：B．
7．【答案】A
【分析】OC平分∠AOB，∠AOC＝∠BOC，CD∥OB，∠C＝∠BOC，∠C＝∠AOC，CD＝OD．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵CD∥OB，
∴∠C＝∠BOC，
∴∠C＝∠AOC，
∴CD＝OD＝3，
故选：A．
8．【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE，然后根据AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，证得DE＝EC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【解答】解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE．
∵AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，
∴DE＝EC．
∴∠EDC＝∠C＝20°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°．
∴∠B＝∠AED＝40°．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】由不等式的解集即可得．
【解答】解：不等式x＜﹣3的最大整数解是x＝﹣4，
故答案为：x＝﹣4．
10．【答案】十．
【分析】设这个多边形的边数为n，由题意列得方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°×4，
解得：n＝10，
即这个多边形是十边形，
故答案为：十．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据四边形的内角和定理求出∠B+∠C+∠D，然后根据五边形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠B+∠C+∠D＝360°﹣∠A＝360°﹣45°＝315°，
∴∠1+∠2+∠B+∠C+∠D＝（5﹣2） 180°，
解得∠1+∠2＝225°．
方法二、∵∠A＝45°，
∴∠ANM+∠AMN＝135°，
∵∠1+∠ANM＝180°，∠2+∠AMN＝180°，
∴∠1+∠2＝225°．
故答案为：225°．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】设4月份用了煤气x立方米，4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么煤气一定超过60立方米，等量关系为：60×0.8+超过60米的立方数×1.2＝0.88×所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以0.88即为煤气费．
【解答】解：设4月份用了煤气x立方米，
由题意得，60×0.8+（x﹣60）×1.2＝0.88x，
解得：x＝75，
则煤气费为：75×0.88＝66（元），
故答案为：66．
13．【答案】13．
【分析】根据题意可知：小明答对题目得分+答错或不答题目的扣分＝总分数，然后即可列出相应的不等式，再求解即可．
【解答】解：设小明答对了x道题，
由题意可得：6x﹣2（16﹣x）≥72，
解得x≥13，
答：小明至少答对13道题，
故答案为：13．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【解答】解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，
∴BM＝，
即CF+EF的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共58分）
15．【答案】．
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②，得5x＝15，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得9+2y＝10，
解得y＝，
故原方程组的解为．
16．【答案】（1）x≥﹣2；
（2）x＞3．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题；
（2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
去分母，得：3x﹣4≤2（2x﹣1），
去括号，得：3x﹣4≤4x﹣2，
移项及合并同类项，得：﹣x≤2，
系数化为1，得：x≥﹣2；
（2），
解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x＞3，
∴该不等式组的解集是x＞3．
17．【答案】（1）作图见解析过程；
（2）7.5．
【分析】（1）根据全等三角形的判定作出图形即可；
（2）利用三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）如图，△ABE1、△ABE2、△ABE3即为所求．
；
（2）△ABC的面积为．
故答案为：7.5．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得每件衣服的标价、售价、利润关于x的代数式，根据售价﹣标价＝利润列出方程求解即可．
【解答】解：设每件服装的成本价为x元，那么
每件服装的标价为：（1+40%）x＝1.4x；
每件服装的实际售价为：1.4x×0.8＝1.12x；
每件服装的利润为：15；
由此，列出方程：0.8×（1+40%）x﹣x＝15；
解方程，得x＝125；
答：每件服装的成本价是125元．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．
【解答】证明：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF．
20．【答案】（1）②③；
（2）q＞﹣1．
【分析】（1）分别解不等式和不等式组，再根据“理想解”的定义逐一判断即可得到答案；
（2）把代入求得，再把代入不等式x+y＞1，进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）解不等式①，得x＜﹣2，x＝3不符合条件，故①不符合题意；
解不等式②，得x≤3，x＝3符合条件，故②符合题意；
解不等式组③，得﹣1＜x≤4，x＝3符合条件，故③符合题意；
故答案为：②③；
（2）∵是方程组与不等式x+y＞1的“理想解”，
∴，
解得，
∵m+n＞1，
∴2q﹣2+4﹣q＞1，
解得：q＞﹣1．
21．【答案】（1）见解答；
（2）①15°；
②22.5．
【分析】（1）根据翻折的性质得到∠B＝∠E，根据内错角相等两直线平行即可证明；
（2）①根据三角形内角和分别求出∠C＝60°，∠B＝30°，根据折叠的性质计算即可；
②分别用x的表达式表示出∠DFE和∠FDE，列方程解出x的值即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠CAF+∠BAF＝90°，∠B+∠BAF＝90°，
∴∠CAF＝∠B，
由翻折可知，∠B＝∠E，
∴∠CAF＝∠E，
∴AC∥DE；
（2）解：①∵∠C＝2∠B，∠C+∠B＝90°，
∴∠C＝60°，∠B＝30°，
∵DE⊥BC，∠E＝∠B＝30°，
∴∠BFE＝60°，
∵∠BFE＝∠B+∠BAF，
∴∠BAF＝30°，
由翻折可知，x＝∠BAD＝∠BAF＝15°；
②∵∠BAD＝x°，
则∠FDE＝180°﹣∠E﹣∠FAD﹣∠ADF＝180°﹣∠E﹣∠FAD﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣30°﹣x°﹣30°﹣x°＝120°﹣2x°，
∠DFE＝∠AFC＝∠B+2∠BAD＝30°+2x°，
当∠DFE＝∠FDE时，
即120°﹣2x°＝30°+2x°，
解得x＝22.5，
即x的值为22.5．
22．【答案】（1）证明见解析过程；
（2）AD＝CE，AD⊥CE；
【拓展延伸】24．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出△DBA≌△EBC即可得出结论；
（2）先证明△DBA≌△EBC得到AD＝CE，∠ADB＝∠CEB，再延长AD与CE交于点O，证明∠ODE+∠OED＝90°即可得到AD⊥CE；
【拓展延伸】
过A作AC⊥AM交CD延长线于M，可证得△ABC≌△ADM，可得BC＝DM，再由CM＝14求出BC和CD的长即可．
【解答】解：（1）∵△ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，如图1，
∴∠DBE＝∠ABC＝90°，AB＝BC，BD＝BE，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴AD＝CE；
（2）AD＝CE，AD⊥CE，理由如下：
∵∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠DBA＝∠BCE＝90°﹣∠DBC，
∵AB＝BC，BD＝BE，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴AD＝CE，∠ADB＝∠CEB，
延长AD与CE交于点O，如图2，
∵∠BDE+∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠BEC+∠CED＝90°，
∴∠BDE+∠ADB+∠CED＝90°，
∴∠ODE+∠OED＝90°，
∴∠O＝90°，
∴AD⊥CE；
【拓展延伸】
过A作AC⊥AM交CD延长线于M，过A作AN⊥CD交CD于N，如图3，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠M＝45°，
∴AC＝AM，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠BAC＝∠DAM＝90°﹣∠DAC，
∴△ABC≌△ADM（SAS），
∴BC＝DM，∠ACB＝∠M＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∵A到直线CD的距离为7，
∴AN＝7，
∵AC＝AM，
∴CM＝2AN＝14，
∵，CM＝BC+DM＝BC+CD，
∴BC＝6，CD＝8，
∴．2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各式中，一元一次不等式是（ ）
A．x≥ B．2x＞1﹣x2 C．x+2y＜1 D．2x+1≤3x
2．（3分）如下所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知二元一次方程﹣3x+4y＝﹣1，用含y的代数式表示x为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．y＝
4．（3分）一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程（ ）
A．x﹣1＝（26﹣x）+2 B．x﹣1＝（13﹣x）+2
C．x+1＝（26﹣x）﹣2 D．x+1＝（13﹣x）﹣2
5．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＜b，得ac＜bc
B．由x＞y，且m≠0，得﹣＜﹣
C．由x＞y，得xz2＞yz2
D．由xz2＞yz2得x＞y
6．（3分）若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6
7．（3分）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3，则CD等于（ ）
A．3 B．4 C．1.5 D．2
8．（3分）如图，将△ABD沿△ABC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E．已知∠C＝20°，AB+BD＝AC，那么∠B等于（ ）
A．80° B．60° C．40° D．30°
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）不等式x＜﹣3的最大整数解是 ．
10．（3分）一个多边形的内角和等于其外角和的四倍，则这个多边形是 边形．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2＝ ．
12．（3分）某城市按以下规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么该户4月份应交煤气费 元．
13．（3分）某次数学测验，共16道选择题，评分标准为：答对一题给6分，答错或不答一题扣2分，小明想自己的分数不低于72分，他至少要答对 道题．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，E、F分别为AC、AD上两动点，连接CF、EF，则CF+EF的最小值为 ．
三、解答题（共58分）
15．（4分）解方程组：．
16．（8分）解不等式（组）：
（1）；
（2）．
17．（5分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）若在网格上有△ABE与△ABC全等，请画出所有可能的△ABE．（点E与点C不重合）
（2）△ABC的面积为 ．
18．（6分）一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本多少元？
19．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．
20．（8分）【阅读】定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同时成立，则称x＝1是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）x＝3是方程3x﹣5＝4与下列不等式（组） 的“理想解”；（填序号）
①2x﹣3＞3x﹣1；
②2（x﹣1）≤4；
③．
（2）若是方程组与不等式x+y＞1的“理想解”，求q的取值范围．
21．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
（1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．
（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）．
①如图②，当DE⊥BC时，x的值为 ．
②当△DEF是等腰三角形时，直接写出x的值．
22．（12分）【问题初探】
△ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板．
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接AD、CE，请证明：AD＝CE．
【类比探究】
（2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC＝CD，连接AC，BD，∠ACD＝45°，A到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积．
