2024届高二期中复习试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量模的公式计算得解.
【详解】解：由题得
.
故选：C
2. 若椭圆过点，则其焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将点代入椭圆方程求出，再根据求出半焦距，从而可得焦距.
【详解】解：因为椭圆过点，所以，解得，
所以，
所以，解得，
所以焦距，
故选：D.
3. 若直线的一个法向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的方程可得直线的方向向量，结合题设条件可得的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.
【详解】由直线的方程为，可得直线的斜率为，
所以直线的方向向量为，
根据题意，可得向量垂直，所以，解得
即直线的斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，所以.
故选：B.
4. 阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案．
【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为，
因为椭圆的离心率为，面积为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为，
故选：A.
5. 已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，则，所以是直线与所成的角（或其补角），设的中点为，则，
在中，解三角形即可得答案．
【详解】解：如图，设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，，
是的中点，
，
是直线与所成的角（或其补角），
设的中点为，则，
在中，，，
，
直线与所成角的余弦值为．
故选：C．
6. 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，从而有，结合即可求椭圆离心率的取值范围．
详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，
因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，
所以，即，又，
所以，两边同时除以，得，即，
解得或，又，
所以，
所以椭圆离心率的取值范围为，
故选：D．
7. 如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值．
【详解】
解：如图所示，取的中点F，连接，，
∵，底面，
∴四边形是矩形，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，
过点作，
∵平面平面，平面平面，
平面，
∴平面，
过点M作交于点P，则，
取，连接，则四边形是矩形．
可得平面，
在中，，
得，
∴点P到直线的距离的最小值为．
故选：B．
8. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.
【详解】设，因为，，
由重心坐标公式得重心为，
代入欧拉线方程得： ①
的中点为，，
所以的中垂线方程为，
联立，解得
所以的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，、重合，舍去，
所以顶点的坐标是
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
二、选择题（本题共小4题，每小题5分，共20分．在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为，分 和两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程．
【详解】解：椭圆中，，
焦距，
双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，
设双曲线的方程为，即，
当时，，解得，
双曲线的方程为；
当时，，解得，
双曲线的方程为；
综上，双曲线的方程可能为或．
故选：AD.
10. 在四面体P-ABC中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若Q为△ABC的重心，则
C. 若，，则
D. 若四面体P-ABC的棱长都为2，点M，N分别为PA，BC的中点，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据立体几何的向量运算法则、重心的向量表示法则以及向量的模值计算进行逐项判断即可.
【详解】解：由题意得：
对于A：∵，∴，∴，
∴，∴，即
故A正确；
对于B：若Q为△ABC的重心，则，∴，∴
故B正确；
对于C：∵，
∴
，
故C正确；
对于D：∵，
∴
∵
∴
故D错误．
故选：ABC
11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加，可得，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.
12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角是60° D. 与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】
【分析】
直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.
【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 渐近线方程为且焦点在轴上的双曲线的离心率是______________________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，结合，即得解
【详解】由题意，设双曲线的方程为：
故渐近线方程为
即
则
故答案为：
14. 已知在一个的二面角的棱上，如图有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，则的长为____________________
【答案】
【解析】
【分析】由题意，利用向量法即可求出的长.
【详解】解：在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，
，
，
所以CD的长为，
故答案为：．
15. 设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为，且．则的轨迹的方程为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】设点根据题意求出，设根据，求出分别用来表示，然后代入.
【详解】设由点向轴作垂线，垂足为，所以
设，又因为即
所以，又因为是圆上任意一点，即
所以，即.
故答案为：
16. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则_________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设M,N的中点坐标为P，,则
；由于，化简可得，根据椭圆定义==6，所以12.
考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知直线：，直线：.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若，求直线方程.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.
(2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.
【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，
此时则，解得，
②若直线不过原点，则斜率为，解得.
因此所求直线的方程为或
（2）①若，则解得或.
当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去；
当时，直线：，直线：，满足题意；
因此所求直线：
【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.
18. 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、且，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6，离心率之比为1:4．
（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）若点P是椭圆和双曲线的一个交点，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据半焦距，设椭圆长半轴为，由离心率之比求出，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程．
（2）由椭圆、双曲线的定义求出与的长，在中，利用余弦定理求出的值．
【小问1详解】
解：由题意知，半焦距，设椭圆长半轴为，则双曲线实半轴，
离心率之比为，
，即椭圆长半轴为，双曲线实半轴，
椭圆的短半轴等于，双曲线虚半轴的长为，
椭圆和双曲线的方程分别为：和．
【小问2详解】
解：不妨设点在第一象限，由椭圆的定义得：，
由双曲线的定义得，，，
又，在中，利用余弦定理得：，
．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若点E在棱上，且平面，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意先证明平面，然后证明.
（2）建立空间直角坐标系，找到平面与平面的法向量，然后根据向量中面面角计算公式计算即可.
（3）先通过共线向量性质得出，用表示E点坐标，再根据题意计算出，最后计算得出线段的长.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，
且平面平面，
因，且平面
所以平面．因为平面，所以．
【小问2详解】
解：在中，因为，
所以，所以．
所以，建立空间直角坐标系，如图所示．
所以，
易知平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则．
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
解：因为点E在棱，所以．
因为．
所以．
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以．
所以，所以．
20. 已知双曲线的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．
【答案】（1）＝1（2）
【解析】
【详解】(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3 ＋＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，
∴点A的坐标为，代入双曲线方程得
＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
∴3 4－8 2＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，
∴双曲线的离心率为.
21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．
（1）求证：平面；
（2）若时，求二面角的正弦值；
（3）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）在线段上取一点，使得，证明，然后由线面平行判定定理求证；
（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法，求解二面角的正弦值．
（3）令，，，，求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角即可求出，得到．
【小问1详解】
在线段上取一点，使得，如图，
，且，
，，且，
且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
【小问2详解】
以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则
，， ，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，，，，
，，
故二面角的正弦值为．
【小问3详解】
设，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，
，令，则，，，
由题意可得：，
，，．
22. 已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轨迹交于两点，若以为直径的圆经过定点，求证:直线经过定点，并求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题干条件列出等式，结合，即得解；
（2）将直线与椭圆联立，转化以为直径的圆经过定点为，用点坐标表示，代入韦达定理，即得解；
（3）表示，代入韦达定理，换元法求解最值即可
【小问1详解】
由题意，设椭圆方程为
由于椭圆离心率为，且过点
解得
故椭圆的标准方程为：
【小问2详解】
由直线
联立，可得
设，则当时
有
若以为直径的圆经过定点，所以
由
得，将代入可得
代入韦达定理可得：
化简可得：
解得：或
若，直线过，不合题意；
故，则直线，故直线过定点
【小问3详解】
由题意，
设，则2024届高二期中复习试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
2. 若椭圆过点，则其焦距为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线的一个法向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共小4题，每小题5分，共20分．在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（ ）
A B. C. D.
10. 在四面体P-ABC中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若Q为△ABC的重心，则
C. 若，，则
D. 若四面体P-ABC棱长都为2，点M，N分别为PA，BC的中点，则
11. 某颗人造地球卫星运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A. B. C. D.
12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角是60° D. 与AC所成角的余弦值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 渐近线方程为且焦点在轴上双曲线的离心率是______________________.
14. 已知在一个的二面角的棱上，如图有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，则的长为____________________
15. 设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为，且．则的轨迹的方程为___________.
16. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则_________.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知直线：，直线：.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程.
18. 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、且，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6，离心率之比为1:4．
（1）求椭圆和双曲线方程；
（2）若点P是椭圆和双曲线的一个交点，求．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若点E在棱上，且平面，求线段的长．
20. 已知双曲线的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．
21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．
（1）求证：平面；
（2）若时，求二面角的正弦值；
（3）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．
22. 已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轨迹交于两点，若以为直径的圆经过定点，求证:直线经过定点，并求出点的坐标；
