湖南省长沙市北雅中学2023-2024学年八年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023八上·开福开学考）若与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·长沙开学考）光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A． B． C． D．
3．（2023八上·开福开学考）下列各数中属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·长沙开学考）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
5．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·椒江期末）长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．6
7．（2019·天津）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．（2023八上·长沙开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2021八上·汕头开学考）若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为（ ）
A．11 B．-1 C．1 D．-11
10．（2023八上·开福开学考）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020·蠡县模拟）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 .
12．（2016七下·迁安期中）如果 的平方根是±3，则 = ．
13．（2023八上·开福开学考）若是方程的解，则 ．
14．（2023七下·长沙期末）在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为 ．
15．（2023八上·开福开学考）已知，不等式解集为 ．
16．（2023八上·长沙开学考）如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中，正确的有 ．
三、解答题
17．（2023八上·开福开学考）计算：
18．（2023八上·开福开学考）解不等式组，并求出它的非负整数解．
19．（2023八上·长沙开学考）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：，求作：一个角，使它等于．
作法：如图，
a.作射线；
b.以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
c.以为圆心，为半径作弧，交于；
d.以为圆心，为半径作弧，交弧于；
e.过点作射线，则就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 ▲ （填序号）．
①②③④
（2）请证明．
20．（2023八上·长沙开学考）新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议．为普及预防措施，某校组织了由七年级1000名学生参加的“防新冠”知识竞赛，杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数：
（3）请估计七年级1000名学生中达到良好和优秀的总人数
21．（2023八上·长沙开学考）如图，已知D是上一点，E是上的一点，、相交于点F，，，．
（1）的度数；
（2）的度数．
22．（2023七下·长沙期末）为开展“校园读书活动”，雅礼中学读书会计划采购数学文化和文学名著两类书籍共100本. 经了解，购买20 本数学文化和50本文学名著共需1700元， 30本数学文化比30本文学名著贵450 元. （注：所采购的同类书籍价格都一样）
（1）求每本数学文化和文学名著的价格；
（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过2780元，请求出所有符合条件的购书方案．
23．（2023八上·长沙开学考）如图1，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点逆时针方向旋转到．
（1）求点的坐标；（用字母，表示）
（2）如图2，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：．
24．（2023七下·凤凰期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：，不等式Q：是同解不等式，试求关于x的不等式的解集．
25．（2023八上·长沙开学考）如图1，ADBC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
（1）如图1，若∠ABG=48°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（2）如图2，线段AG上有一点P，满足∠ABP=3∠PBG，若在直线AG上取一点M，使∠PBM+∠DAG=90°，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-（-2），解得：a=2
故答案为：B
【分析】根据相反数性质即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】30万=300000=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：3.14为有理数，不符合题意；
B：为有理数，不符合题意；
C：为无理数，符合题意；
D：分数为有理数，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义即可求出答案。
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∵∠1与∠2是同位角，
∴，（同位角相等）
∴AB//CD（两直线平行），
故答案为：D.
【分析】利用同位角相等，两直线平行可得答案.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点 向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为 ．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
4-2
解得：2即复合的只有3.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出4-27．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25＜33＜36，
∴ ＜ ＜ ，
∴5＜ ＜6．
故答案为：D．
【分析】由25＜33＜36，得出5＜ ＜6．即可求出 的值在5和6之间 .
8．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】由3x+3≥0，可得x≥-1，
由x-2≤0，可得x≤2，
∴不等式组的解集为-1≤x≤2，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：，
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：y= -x，
代入方程组得： ，
消去x得： ，即3m+9=4m-2，
解得：m=11．
故答案为：A．
【分析】由x与y互为相反数，得出y=x，代入方程组计算即可求出m的值。
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：A
【分析】根据不等式组的性质列出不等式，解不等式即可求出答案。
11．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得 ＝40，
解得n＝9.
故答案为9.
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案.
12．【答案】4
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ 的平方根是±3，
∴ =9，
∴a=81，
∴ = =4，
故答案为：4．
【分析】求出a的值，代入求出即可．
13．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意可得：
2-k=0，解得：k=2
故答案为：2
【分析】将解代入方程即可求出答案。
14．【答案】或
【知识点】点的坐标；两点间的距离
【解析】【解答】∵，点A的坐标为（-2，4），
∴设点B的坐标为（m，4），
∵，
∴|m-（-2）|=5，
解得：m=3或-7，
∴点B的坐标为（3，4）或（-7，4），
故答案为：或.
【分析】设点B的坐标为（m，4），再结合，可得|m-（-2）|=5，求出m的值，即可得到点B的坐标.
15．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-5<0，则
故答案为：
【分析】根据不等式的性质即可求出答案。
16．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC=∠EAC，DB=AE，
故①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CBD=∠AEC，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠DBC，
∴∠AOB=180°-∠AEC-∠OAB=120°，
故③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM=DC，
故④正确；
∵△ACM≌△DCN，
∴∠AMC=∠DNC，
故②正确；
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④.
【分析】先利用“SAS”证出△ACE≌△DCB，再利用“ASA”证出△ACM≌△DCN，再利用全等三角形的性质逐项判断即可.
17．【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据立方根性质，二次根式性质，绝对值性质化简即可求出答案。
18．【答案】解：．
解不等式得：，
解不等式得：，
则该不等式组的解集为：．
故不等式组的非负整数解为：，，，．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解，不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出符合题意的解即可。
19．【答案】（1）④
（2）证明：由作法（2）（3）可得：
，
由作法（4）得：
，
在和中
，
()，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】（1）根据题干中的作图方法可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，
∴利用“SSS”可证出△OCD≌△O'C'D' ，
∴∠AOB=∠A'O'B'，
故答案为：④.
【分析】（1）根据作图步骤可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，再利用“SSS”证出三角形全等即可；
（2）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得，即可得到.
20．【答案】（1）解：（人），
所以被抽取的部分学生有100人；
优秀的学生有：（人），
良好的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：，即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是；
（3）解：（人），
所以七年级1000名学生中达到良好和优秀的总人数是人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）利用“及格”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“良好”和“优秀”的人数再作出条形统计图即可；
（2）先求出“良好”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先求出“良好和优秀”的百分比之和，再乘以1000可得答案.
21．【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出即可；
（2）先利用三角形的内角和求出，再利用对顶角的性质可得.
22．【答案】（1）解：设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本数学文化的价格为35元，每本文学名著的价格为20元．
（2）解：设购买数学文化m本，则购买文学名著（100 m）本，
依题意，得：，
解得：50≤m≤52．
∵m为整数，
∴共有三种购书方案，
方案1：购进数学文化50本，文学名著50本；
方案2：购进数学文化51本，文学名著49本；
方案3：购进数学文化52本，文学名著48本．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】 (1)设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，由题可列方程组，解之即可得出结论。
(2)设购买数学文化m本，则购买文学名著(100-m)本，由题意可列不等式组解之即可得出关于m 的取值范围，在结合m为整数即可得出结论。
23．【答案】（1）解：如图，过作轴，过作轴，
，
，
将绕点逆时针方向旋转到，
，，
，
，
在和中
，
()，
，，
，
，，
，，
.
（2）解：证明：如图，在轴上取点，
将绕点逆时针方向旋转到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
．
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（1）过作轴，过作轴，先利用“AAS”证出，可得，，再结合点A的坐标可得，，再求出点B的坐标即可；
（2）在轴上取点，先利用角的运算和等量代换求出，再求出，利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得.
24．【答案】（1）解：解关于x的不等式A：1 3x＞0，得x＜，
解不等式B：，得x＜，
由题意得：，
解得：a=1；
（2）解：解不等式C：x＋1＞mn得：x＞mn 1，
不等式D：x 3＞m得：x＞m＋3，
∴mn 1＝m＋3，
∴m＝，
∵m，n是正整数，
∴n 1为1或4或2，
∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．
（3）解：解不等式Q：得：x＞，
∵不等式P与不等式Q是同解不等式，
∴2a b＜0
解不等式P：（2a b）x＋3a 4b＜0得：x＞，
∴=
∴7a＝8b，
∵2a b＜0，
∴4b＝3.5a，且a＜0，
∴a 4b＝a 3.5a＝ 2.5a＞0，
∴（a 4b）x＋2a 3b＜0的解集为：x＜ ．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题要抓住同解不等式的定义，由两个不等式的解集相同，所以把两个解集表示出来后，直接相等，即可求出结果.需要注意的是，在系数化为1时，一定要先判断系数的正负性.
25．【答案】（1）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝48°，
∴∠DAB＝180° 48°＝132°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝66°，
∵∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，
∴∠AFC＝66° 45°＝21°；
（2）解：分两种情况：
①当M在BP的下方时，如图：
设∠PBG＝x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABG＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABG＝180°，
∵AG平分∠BAD，
∴2∠DAG＋4x＝180°，
∴2x＋∠DAG＝90°，
∵∠PBM＋∠DAG＝90°，
∴∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝x，∠ABM＝4x＋x＝5x，
∴＝5；
②当M在BP的上方时，如图：
设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，
同理可得：∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝3x，∠ABM＝x，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠DAB＝180° 48°＝132°，再利用角平分线的定义求出∠BAG＝∠GAD＝66°，再结合∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，求出∠AFC＝66° 45°＝21°即可；
（2）分类讨论：①当M在BP的下方时，②当M在BP的上方时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
1 / 1湖南省长沙市北雅中学2023-2024学年八年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023八上·开福开学考）若与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-（-2），解得：a=2
故答案为：B
【分析】根据相反数性质即可求出答案。
2．（2023八上·长沙开学考）光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】30万=300000=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2023八上·开福开学考）下列各数中属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：3.14为有理数，不符合题意；
B：为有理数，不符合题意；
C：为无理数，符合题意；
D：分数为有理数，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义即可求出答案。
4．（2023八上·长沙开学考）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∵∠1与∠2是同位角，
∴，（同位角相等）
∴AB//CD（两直线平行），
故答案为：D.
【分析】利用同位角相等，两直线平行可得答案.
5．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点 向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为 ．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
6．（2020八上·椒江期末）长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
4-2解得：2即复合的只有3.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出4-27．（2019·天津）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25＜33＜36，
∴ ＜ ＜ ，
∴5＜ ＜6．
故答案为：D．
【分析】由25＜33＜36，得出5＜ ＜6．即可求出 的值在5和6之间 .
8．（2023八上·长沙开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】由3x+3≥0，可得x≥-1，
由x-2≤0，可得x≤2，
∴不等式组的解集为-1≤x≤2，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：，
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
9．（2021八上·汕头开学考）若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为（ ）
A．11 B．-1 C．1 D．-11
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：y= -x，
代入方程组得： ，
消去x得： ，即3m+9=4m-2，
解得：m=11．
故答案为：A．
【分析】由x与y互为相反数，得出y=x，代入方程组计算即可求出m的值。
10．（2023八上·开福开学考）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：A
【分析】根据不等式组的性质列出不等式，解不等式即可求出答案。
二、填空题
11．（2020·蠡县模拟）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 .
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得 ＝40，
解得n＝9.
故答案为9.
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案.
12．（2016七下·迁安期中）如果 的平方根是±3，则 = ．
【答案】4
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ 的平方根是±3，
∴ =9，
∴a=81，
∴ = =4，
故答案为：4．
【分析】求出a的值，代入求出即可．
13．（2023八上·开福开学考）若是方程的解，则 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意可得：
2-k=0，解得：k=2
故答案为：2
【分析】将解代入方程即可求出答案。
14．（2023七下·长沙期末）在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】点的坐标；两点间的距离
【解析】【解答】∵，点A的坐标为（-2，4），
∴设点B的坐标为（m，4），
∵，
∴|m-（-2）|=5，
解得：m=3或-7，
∴点B的坐标为（3，4）或（-7，4），
故答案为：或.
【分析】设点B的坐标为（m，4），再结合，可得|m-（-2）|=5，求出m的值，即可得到点B的坐标.
15．（2023八上·开福开学考）已知，不等式解集为 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-5<0，则
故答案为：
【分析】根据不等式的性质即可求出答案。
16．（2023八上·长沙开学考）如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中，正确的有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC=∠EAC，DB=AE，
故①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CBD=∠AEC，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠DBC，
∴∠AOB=180°-∠AEC-∠OAB=120°，
故③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM=DC，
故④正确；
∵△ACM≌△DCN，
∴∠AMC=∠DNC，
故②正确；
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④.
【分析】先利用“SAS”证出△ACE≌△DCB，再利用“ASA”证出△ACM≌△DCN，再利用全等三角形的性质逐项判断即可.
三、解答题
17．（2023八上·开福开学考）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据立方根性质，二次根式性质，绝对值性质化简即可求出答案。
18．（2023八上·开福开学考）解不等式组，并求出它的非负整数解．
【答案】解：．
解不等式得：，
解不等式得：，
则该不等式组的解集为：．
故不等式组的非负整数解为：，，，．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解，不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出符合题意的解即可。
19．（2023八上·长沙开学考）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：，求作：一个角，使它等于．
作法：如图，
a.作射线；
b.以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
c.以为圆心，为半径作弧，交于；
d.以为圆心，为半径作弧，交弧于；
e.过点作射线，则就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 ▲ （填序号）．
①②③④
（2）请证明．
【答案】（1）④
（2）证明：由作法（2）（3）可得：
，
由作法（4）得：
，
在和中
，
()，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】（1）根据题干中的作图方法可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，
∴利用“SSS”可证出△OCD≌△O'C'D' ，
∴∠AOB=∠A'O'B'，
故答案为：④.
【分析】（1）根据作图步骤可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，再利用“SSS”证出三角形全等即可；
（2）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得，即可得到.
20．（2023八上·长沙开学考）新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议．为普及预防措施，某校组织了由七年级1000名学生参加的“防新冠”知识竞赛，杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数：
（3）请估计七年级1000名学生中达到良好和优秀的总人数
【答案】（1）解：（人），
所以被抽取的部分学生有100人；
优秀的学生有：（人），
良好的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：，即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是；
（3）解：（人），
所以七年级1000名学生中达到良好和优秀的总人数是人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）利用“及格”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“良好”和“优秀”的人数再作出条形统计图即可；
（2）先求出“良好”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先求出“良好和优秀”的百分比之和，再乘以1000可得答案.
21．（2023八上·长沙开学考）如图，已知D是上一点，E是上的一点，、相交于点F，，，．
（1）的度数；
（2）的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出即可；
（2）先利用三角形的内角和求出，再利用对顶角的性质可得.
22．（2023七下·长沙期末）为开展“校园读书活动”，雅礼中学读书会计划采购数学文化和文学名著两类书籍共100本. 经了解，购买20 本数学文化和50本文学名著共需1700元， 30本数学文化比30本文学名著贵450 元. （注：所采购的同类书籍价格都一样）
（1）求每本数学文化和文学名著的价格；
（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过2780元，请求出所有符合条件的购书方案．
【答案】（1）解：设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本数学文化的价格为35元，每本文学名著的价格为20元．
（2）解：设购买数学文化m本，则购买文学名著（100 m）本，
依题意，得：，
解得：50≤m≤52．
∵m为整数，
∴共有三种购书方案，
方案1：购进数学文化50本，文学名著50本；
方案2：购进数学文化51本，文学名著49本；
方案3：购进数学文化52本，文学名著48本．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】 (1)设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，由题可列方程组，解之即可得出结论。
(2)设购买数学文化m本，则购买文学名著(100-m)本，由题意可列不等式组解之即可得出关于m 的取值范围，在结合m为整数即可得出结论。
23．（2023八上·长沙开学考）如图1，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点逆时针方向旋转到．
（1）求点的坐标；（用字母，表示）
（2）如图2，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：．
【答案】（1）解：如图，过作轴，过作轴，
，
，
将绕点逆时针方向旋转到，
，，
，
，
在和中
，
()，
，，
，
，，
，，
.
（2）解：证明：如图，在轴上取点，
将绕点逆时针方向旋转到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
．
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（1）过作轴，过作轴，先利用“AAS”证出，可得，，再结合点A的坐标可得，，再求出点B的坐标即可；
（2）在轴上取点，先利用角的运算和等量代换求出，再求出，利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得.
24．（2023七下·凤凰期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：，不等式Q：是同解不等式，试求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：解关于x的不等式A：1 3x＞0，得x＜，
解不等式B：，得x＜，
由题意得：，
解得：a=1；
（2）解：解不等式C：x＋1＞mn得：x＞mn 1，
不等式D：x 3＞m得：x＞m＋3，
∴mn 1＝m＋3，
∴m＝，
∵m，n是正整数，
∴n 1为1或4或2，
∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．
（3）解：解不等式Q：得：x＞，
∵不等式P与不等式Q是同解不等式，
∴2a b＜0
解不等式P：（2a b）x＋3a 4b＜0得：x＞，
∴=
∴7a＝8b，
∵2a b＜0，
∴4b＝3.5a，且a＜0，
∴a 4b＝a 3.5a＝ 2.5a＞0，
∴（a 4b）x＋2a 3b＜0的解集为：x＜ ．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题要抓住同解不等式的定义，由两个不等式的解集相同，所以把两个解集表示出来后，直接相等，即可求出结果.需要注意的是，在系数化为1时，一定要先判断系数的正负性.
25．（2023八上·长沙开学考）如图1，ADBC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
（1）如图1，若∠ABG=48°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（2）如图2，线段AG上有一点P，满足∠ABP=3∠PBG，若在直线AG上取一点M，使∠PBM+∠DAG=90°，求的值．
【答案】（1）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝48°，
∴∠DAB＝180° 48°＝132°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝66°，
∵∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，
∴∠AFC＝66° 45°＝21°；
（2）解：分两种情况：
①当M在BP的下方时，如图：
设∠PBG＝x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABG＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABG＝180°，
∵AG平分∠BAD，
∴2∠DAG＋4x＝180°，
∴2x＋∠DAG＝90°，
∵∠PBM＋∠DAG＝90°，
∴∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝x，∠ABM＝4x＋x＝5x，
∴＝5；
②当M在BP的上方时，如图：
设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，
同理可得：∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝3x，∠ABM＝x，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠DAB＝180° 48°＝132°，再利用角平分线的定义求出∠BAG＝∠GAD＝66°，再结合∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，求出∠AFC＝66° 45°＝21°即可；
（2）分类讨论：①当M在BP的下方时，②当M在BP的上方时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
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