江苏省宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年高一上学期第三次学情调研 数学

剑桥国际学校2014-2015学年度第一学期第三次学情调研
高一数学试题
时间：150分钟 满分：160分 命题人：毛 闯
第I卷 填空题（共70分)
一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）
1．若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是___________．
2．在函数y = 2sin(4x+)图象的对称中心中，离原点最近的点的坐标是___________．
3．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
4．函数为上的单调增函数，则实数的取值范围为　 ．
5．函数f(x)=的定义域是________________________．
6．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是___________．
7．已知函数f(x)=2sin(2x+α) (|α|≤) 的图象关于直线x=对称，则α= ．
8．函数的单调递增区间是____________．
9．设f(x)是R上的奇函数，当时，f(x)=（为常数），则当时f(x)= _______．
10．已知函数在内是减函数，则的取值范围是__________．
11．设函数，，若实数满足，请将0，按从小到大的顺序排列　 　（用“＜”连接）．
12．函数与（）的图象所有交点横坐标之和是 ．
13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=,若对任意的 不等式f(x+t)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　．
14．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题： (1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；(2)y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos； (3)y＝f(x)图象关于对称；(4)y＝f(x)图象关于x＝－对称．其中正确命题的序号为___________________
第II卷 解答题（共70分)
二、解答题（本大题共6个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题14分）已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，(1)求a的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象．（3）写出该函数的对称中心的坐标.
16．（本题15分）下图为函数图像的一部分．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出f(x)的振幅、周期、初相；
(2)求使得f(x)>的x的集合 ；
(3)函数f(x)的图像可由函数y=sinx的图像经过怎样的变换而得到？

17．（本题14分）已知函数的最大值为，最小值为.
（1）求的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合．
18．（本题15分）已知函数．(1)当时，求f(x)的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；(2) 求的取值范围，使得f(x)在区间上是单调函数．
19．（本题16分）设函数（＞0且，），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；
（2）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），，求g（x）的值域；
（3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于时恒成立．请求出最大的整数λ．
20（本题16分）函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0，||<)的一段图象(如图所示)
求其解析式．(2)令g(x)=，当时，求g(x)的最大值．

高一数学参考答案
1.
2.
3.
4. (1,3)
5.
6.
7.
8. ,()
9.
10.
11．g（a）＜0＜f（b）
12. 4
13.
14. (2)(3)
15. 已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，(1)求a的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象。（3）写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标.
解：（1）当，则
∴当，f（x）有最大值为.
又∵f（x）的最大值为2，∴=2， 解得：a=2．
（2）由（1）知
令分别取0，，π，，2π，则对应的x与y的值如下表
　x
﹣
　
　
　
　
　
　0
　
　π
　
　2π
　y
　1
　3
﹣1
　1
　3
画出函数在区间[﹣，]的图象如下图
（3）
令Z，解得x= k∈Z，
∴函数的对称中心的横坐标为，k∈Z，
又∵函数的图象是函数的图象向上平移一个单位长度得到的，∴函数的对称中心的纵坐标为1．
∴对称中心坐标为（，1）k∈Z
16.如图为函数y=Asin（ωx+）+c（A＞0，ω＞0，0<<2）图象的一部分．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出f(x)的振幅、周期、初相；
(2)求使得f(x)>的x的集合 ；
(3)函数f(x)的图像可由函数y=sinx的图像经过怎样的变换而得到？
解：（1）由函数图象可知函数的最大值为A+c=4，最小值为﹣A+c=﹣2，∴c=1，A=3，
∵，∴函数的周期T=．由=得，=，
∴y=3sin（x+）+1
∵（12，4）在函数图象上∴4=3sin（?12+）+1，即sin（+）=1
∴+=+2kπ，k∈Z，得=﹣+2kπ，k∈Z
∵0<<2 ∴=
∴函数解析式为y=3sin（?x+）+1．
（2）,()
（3）略
17. 已知函数的最大值为，最小值为.
（1）求的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合。
解：（1）∵b＞0
∴﹣b＜0，；∴（7分）
（2）由（1）知：
∴∴g（x）∈[﹣2，2]∴g（x）的最小值为﹣2
对应x的集合为（14分）
18. 已知函数．(1)当时，求f(x)的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；(2) 求的取值范围，使得f(x)在区间上是单调函数。解：(1) 当时，=∵∴当x=时，f(x)取到最小值 当x=时，f(x)取到最大值(2)函数图象的对称轴为直线x=当≤，即≥，即时，函数f(x)在区间上是增函数；当<，即，即0≤<或<<或≤时，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数； 当≥，即≤，即≤≤时，函数f(x)在区间上是减函数。综上所述：当或≤≤时，函数f(x)在区间上是单调函数。
19. （本题16分）设函数（＞0且，），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；
（2）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），，求g（x）的值域；
（3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于时恒成立．请求出最大的整数λ．
解：（Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=ax﹣a﹣x，
∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，
设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+），
∵a＞1，∴ax2＞ax1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数；
（Ⅱ）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去），
则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），，令t=2x﹣2﹣x，，
由（1）可知该函数在区间上为增函数，则﹣，，
则y=h（t）=t2﹣2t+2，﹣，，
当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1，∴g（x）的值域为[1，，
（Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在时恒成立
令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则，
则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），恒成立，即为t（t2+3）≥λ?t，t恒成立，
λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，∴λ≤，则λ的最大整数为10．
20. 函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0，||<)的一段图象(如图所示)
(1)求其解析式。(2)令g(x)=，当时，求g(x)的最大值。
解：(1)设函数f(x)的周期为T，则由图知T=，∴T=∴∴f(x)＝Asin(2x＋)将点()代入得sin(2×＋)=0，∴=2k k∈Z∴= k∈Z∵||<∴=∴f(x)＝Asin(2x＋)将点(0,)代入得=Asin，∴A=2∴f(x)＝2sin(2x＋)(2) g(x)=设m=f(x)－1=2sin(2x＋)－1，则y=m+当时，2x+∈[,]，sin2x+∈[,1]，m∈[,1]y=m+在[,1]为减函数当m=，即2sin(2x＋)－1=，即x=0或x=时，g(x)取得最大值2。