人教A版数学选择性必修一2.2.2直线的两点式方程 同步测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版数学选择性必修一2.2.2直线的两点式方程 同步测试（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 71.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-11 13:51:54 | ||
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文档简介
2．2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
一．选择题
1．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2 B．－3
C．－27 D．27
2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是( )
A．5 B．2
C．－2 D．－6
3．在x轴，y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝0
4．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1或y＝x
C．x－＝1 D．x－＝1或y＝x
5．若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
6．一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－ D．y＝－x－
7．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
8．若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
9．(多选)有关直线方程，下列说法正确的为( )
A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程
B．直线方程＝也可写成＝
C．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
二、填空题
10．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________．
11．已知A(1，－2)，B(5,6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
12．过点P(3,2)的直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________．
三、解答题
13．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
14．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
15．菱形的两条对角线AC，BD的长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线的方程．
16．已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
2．2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
一．选择题
1．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2 B．－3
C．－27 D．27
答案 D
解析 由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27.
2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是( )
A．5 B．2
C．－2 D．－6
答案 C
解析 由两点式方程，得直线MN的方程为＝，化简，得x＋y－1＝0.
又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m＝－2.
3．在x轴，y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝0
答案 A
解析 根据截距式方程＋＝1，(其中a，b分别为x轴和y轴上的截距)得所求直线方程为＋＝1，即－＝1，选A．
4．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1或y＝x
C．x－＝1 D．x－＝1或y＝x
答案 B
解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝x；当直线不过原点时，可设其截距式为＋＝1，由该直线过点(5,2)，解得a＝6，对应的方程为＋＝1.故选B．
5．若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 C
解析 因为直线经过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0.
6．一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－ D．y＝－x－
答案 B
解析 由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为＝，即y＝－2x＋1.
7．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
答案 B
解析 若直线l过原点，则方程为y＝x，即3x－2y＝0；若直线l不过原点，则设直线方程为－＝1，将(2,3)代入方程，得a＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0.所以直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.故选B．
8．若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 设直线的方程为＋＝1，∵直线经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴＋＝1，|ab|＝2，解得或或∴满足条件的直线有3条．
9．(多选)有关直线方程，下列说法正确的为( )
A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程
B．直线方程＝也可写成＝
C．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
答案 ABC
解析 A正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程；B正确，方程＝与＝的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线；C显然正确；D错误，不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为x＝a(a≠0)的形式．故选ABC．
二、填空题
10．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________．
答案 x＋2y＋8＝0
解析 设直线l与两坐标轴的交点为(a,0)，(0，b)，
由题意知＝－4，＝－2，∴a＝－8，b＝－4.
∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y＋8＝0.
11．已知A(1，－2)，B(5,6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
答案 y＝x或＋＝1
解析 点A(1，－2)，B(5,6)的中点M的坐标为(3,2)．当直线过原点时，方程为y＝x.
当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，把中点M的坐标(3,2)代入直线的方程，得a＝5，故所求直线的方程是＋＝1.综上，所求的直线方程为y＝x或＋＝1.
12．过点P(3,2)的直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________．
答案 12 10
解析 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，把点P(3,2)代入，得＋＝1，∴1≥2，得ab≥24，当且仅当2a＝3b＝12时取等号．∴S△AOB＝ab≥12，即△AOB面积的最小值为12.此时，a＋b＝6＋4＝10.
三、解答题
13．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
解 (1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，
即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1.
14．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
解 (1)直线l过点(m,0)，(0,4－m)，
则k＝＝2，则m＝－4.
(2)由m＞0,4－m＞0，得0＜m＜4，
则S＝＝，
易知当m＝2时，S有最大值2，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
15．菱形的两条对角线AC，BD的长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线的方程．
解 由题意可知A(－4,0)，C(4,0)，B(0，－3)，D(0,3)，由截距式方程可知直线AB的方程为＋＝1，即3x＋4y＋12＝0.
同理可得直线BC的方程为3x－4y－12＝0，
直线CD的方程为3x＋4y－12＝0，
直线AD的方程为3x－4y＋12＝0.
16．已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
解 由已知得直线BC的斜率存在且不为0.设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为B．
则直线BC的截距式方程为＋＝1.
由题意得a＋b＝9， ①
又点D在直线BC上，
∴＋＝1，∴6b＋3a＝2ab， ②
由①②联立得2a2－21a＋54＝0，
即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6.
∴或
故直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.
2.2.2 直线的两点式方程
一．选择题
1．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2 B．－3
C．－27 D．27
2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是( )
A．5 B．2
C．－2 D．－6
3．在x轴，y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝0
4．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1或y＝x
C．x－＝1 D．x－＝1或y＝x
5．若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
6．一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－ D．y＝－x－
7．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
8．若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
9．(多选)有关直线方程，下列说法正确的为( )
A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程
B．直线方程＝也可写成＝
C．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
二、填空题
10．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________．
11．已知A(1，－2)，B(5,6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
12．过点P(3,2)的直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________．
三、解答题
13．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
14．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
15．菱形的两条对角线AC，BD的长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线的方程．
16．已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
2．2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
一．选择题
1．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2 B．－3
C．－27 D．27
答案 D
解析 由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27.
2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是( )
A．5 B．2
C．－2 D．－6
答案 C
解析 由两点式方程，得直线MN的方程为＝，化简，得x＋y－1＝0.
又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m＝－2.
3．在x轴，y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝0
答案 A
解析 根据截距式方程＋＝1，(其中a，b分别为x轴和y轴上的截距)得所求直线方程为＋＝1，即－＝1，选A．
4．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1或y＝x
C．x－＝1 D．x－＝1或y＝x
答案 B
解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝x；当直线不过原点时，可设其截距式为＋＝1，由该直线过点(5,2)，解得a＝6，对应的方程为＋＝1.故选B．
5．若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 C
解析 因为直线经过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0.
6．一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－ D．y＝－x－
答案 B
解析 由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为＝，即y＝－2x＋1.
7．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
答案 B
解析 若直线l过原点，则方程为y＝x，即3x－2y＝0；若直线l不过原点，则设直线方程为－＝1，将(2,3)代入方程，得a＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0.所以直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.故选B．
8．若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 设直线的方程为＋＝1，∵直线经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴＋＝1，|ab|＝2，解得或或∴满足条件的直线有3条．
9．(多选)有关直线方程，下列说法正确的为( )
A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程
B．直线方程＝也可写成＝
C．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
答案 ABC
解析 A正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程；B正确，方程＝与＝的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线；C显然正确；D错误，不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为x＝a(a≠0)的形式．故选ABC．
二、填空题
10．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________．
答案 x＋2y＋8＝0
解析 设直线l与两坐标轴的交点为(a,0)，(0，b)，
由题意知＝－4，＝－2，∴a＝－8，b＝－4.
∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y＋8＝0.
11．已知A(1，－2)，B(5,6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
答案 y＝x或＋＝1
解析 点A(1，－2)，B(5,6)的中点M的坐标为(3,2)．当直线过原点时，方程为y＝x.
当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，把中点M的坐标(3,2)代入直线的方程，得a＝5，故所求直线的方程是＋＝1.综上，所求的直线方程为y＝x或＋＝1.
12．过点P(3,2)的直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________．
答案 12 10
解析 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，把点P(3,2)代入，得＋＝1，∴1≥2，得ab≥24，当且仅当2a＝3b＝12时取等号．∴S△AOB＝ab≥12，即△AOB面积的最小值为12.此时，a＋b＝6＋4＝10.
三、解答题
13．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
解 (1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，
即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1.
14．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
解 (1)直线l过点(m,0)，(0,4－m)，
则k＝＝2，则m＝－4.
(2)由m＞0,4－m＞0，得0＜m＜4，
则S＝＝，
易知当m＝2时，S有最大值2，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
15．菱形的两条对角线AC，BD的长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线的方程．
解 由题意可知A(－4,0)，C(4,0)，B(0，－3)，D(0,3)，由截距式方程可知直线AB的方程为＋＝1，即3x＋4y＋12＝0.
同理可得直线BC的方程为3x－4y－12＝0，
直线CD的方程为3x＋4y－12＝0，
直线AD的方程为3x－4y＋12＝0.
16．已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
解 由已知得直线BC的斜率存在且不为0.设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为B．
则直线BC的截距式方程为＋＝1.
由题意得a＋b＝9， ①
又点D在直线BC上，
∴＋＝1，∴6b＋3a＝2ab， ②
由①②联立得2a2－21a＋54＝0，
即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6.
∴或
故直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.