人教A版数学选择性必修一2.3.1两条直线的交点坐标 同步测试（含解析）

第二章　直线和圆的方程
2．3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
一．选择题
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4,1) B．(1,4)
C． D．
2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)x＋y－2＝0相交，交点纵坐标为8，则a的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
3．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点：
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
4．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(3，－1)
5．若非零数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为(　　)
A． B．(1,3)
C．(－3，－2) D．
6．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
7．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝(　　)
A．{1,3} B．{(1,3)}
C．{(3,1)} D．
8．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
9．直线xcosθ＋ysinθ＋a＝0与xsinθ－ycosθ＋b＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与a，b，θ的值有关
10．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C． D．(－2,0)
11．(多选)若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率k的可能取值为(　　)
A． B．
C． D．2
二、填空题
12．已知A＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，B＝{(x，y)|x－2y＋4＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B) C，则b＝________.
13．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．
14．直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0及l2：2x＋y－8＝0都相交，且这两个交点所成的线段的中点是P(0,1)，则直线l的方程是________，直线l与坐标轴围成的三角形面积为________．
三、解答题
15．在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,3)，D(4,6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标．
16．某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0.若在河边l上建一座供水站P，使分别到A，B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？
17．求点P(－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标．
第二章　直线和圆的方程
2．3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
一．选择题
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4,1) B．(1,4)
C． D．
答案　C
解析　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)x＋y－2＝0相交，交点纵坐标为8，则a的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
答案　A
解析　由方程组解得
由题意知＝8，即a＝.
3．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点：
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解　(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
4．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(3，－1)
答案　D
解析　直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)．故选D．
5．若非零数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为(　　)
A． B．(1,3)
C．(－3，－2) D．
答案　A
解析　∵非零数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋.∵＋＝1，∴＋·y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.由解得∴定点坐标为.
6．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
答案　B
解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．
7．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝(　　)
A．{1,3} B．{(1,3)}
C．{(3,1)} D．
答案　C
解析　由得故A∩B＝{(3,1)}．
8．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案　D
解析　过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
9．直线xcosθ＋ysinθ＋a＝0与xsinθ－ycosθ＋b＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与a，b，θ的值有关
答案　B
解析　当cosθ＝0或sinθ＝0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直，当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为－和tanθ，显然，斜率之积等于－1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选B．
10．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C． D．(－2,0)
答案　B
解析　直线方程可化为(x＋2)a－x－y＋1＝0，由题意得解得故选B．
11．(多选)若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率k的可能取值为(　　)
A． B．
C． D．2
答案　CD
解析　易知直线l过定点(0，－)，画出图象如图所示，由图分析，可知直线l的斜率k＞kAB＝，结合选项，易知选CD．
二、填空题
12．已知A＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，B＝{(x，y)|x－2y＋4＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B) C，则b＝________.
答案　2
解析　A∩B＝＝{(0,2)}，
把(0,2)代入y＝3x＋b，得b＝2.
13．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．
答案　[0,1]
解析　∵y＝k(x＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB＝0，kPA＝＝1，∴k的取值范围是[0,1]．
14．直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0及l2：2x＋y－8＝0都相交，且这两个交点所成的线段的中点是P(0,1)，则直线l的方程是________，直线l与坐标轴围成的三角形面积为________．
答案　x＋4y－4＝0　2
解析　由直线l和两直线l1，l2均有交点，知这两个交点必分别在l1，l2上，设两交点坐标分别为A(3y1－10，y1)，B(x2，－2x2＋8)．
∵线段AB的中点是P(0,1)，
∴解得
∴A，B两点的坐标分别为A(－4,2)，B(4,0)，
∴过A，B的直线方程为x＋4y－4＝0.
令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝4，故直线l与坐标轴围成的三角形面积为×4×1＝2.
三、解答题
15．在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,3)，D(4,6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标．
解　(1)设点C的坐标为(x，y)．在平行四边形ABCD中，因为AB∥CD，所以kCD＝kAB，则＝.
又因为AD∥BC，所以kAD＝kBC，则＝.
联立，解得x＝10，y＝8，所以C(10,8)．
因为M为AB的中点，所以点M的坐标为(4,2)．
因为C(10,8)，M(4,2)，所以直线CM的方程为
x－y－2＝0.
(2)因为B(7,3)，D(4,6)，所以直线BD的方程为
x＋y－10＝0.
联立方程组解得x＝6，y＝4，
所以点P的坐标为(6,4)．
16．某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0.若在河边l上建一座供水站P，使分别到A，B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？
解　如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站只能建在P处，才能使得所用管道最省．
设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
即
解之得即A′(3,6)．
所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0.
解方程组得
所以点P的坐标为.
故供水站P应建在点处．
17．求点P(－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标．
解　解法一：设点P′(x，y)，由PP′⊥l及PP′的中点在l上得方程组
即解得
∴P′的坐标为.
解法二：设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，
∵PP′的方程为(x＋4)＋2(y－2)＝0，
即x＋2y＝0，
∴解方程组
得PP′与l的交点M，
由中点坐标公式得得
故P′的坐标为.