海南省2022-2023学年高二下学期学业水平诊断（二）数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·海南期末）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（2023高二下·海南期末）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·海南期末）已知向量，，，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
4．（2023高二下·海南期末）已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．4 B． C．12 D．
5．（2023高二下·海南期末）在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．先递减后递增 D．先递增后递减
6．（2023高二下·海南期末）的展开式中的系数为（ ）
A．1 B．6 C．12 D．144
7．（2023高二下·海南期末）某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《咏柳》《送元二使安西》《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》《江畔独步寻花》五首古诗，并要求《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
8．（2023高二下·海南期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·海南期末）下列有关线性回归分析的说法正确的是（ ）
A．经验回归直线是经过散点图中样本点最多的一条直线
B．经验回归直线一定经过点
C．残差图中所有散点的纵坐标之和为0
D．两个变量的负相关关系越强，回归模型的越接近于
10．（2023高二下·海南期末）已知函数在处取得极值，则（ ）
A．
B．在处取得极大值
C．有3个不同的零点
D．在区间上的值域为
11．（2023高二下·海南期末）某小学六年级有3个班，六（1）班、六（2）班、六（3）班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，六（1）班的不及格率为10%，六（2）班的不及格率为20%，六（3）班的不及格率为15%，从该校随机抽取一名六年级学生.记事件“该学生本次数学考试不及格”，事件“该学生在六（）班”（，2，3），则（ ）
A．
B．
C．与（，2，3）均不相互独立
D．
12．（2023高二下·海南期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，圆：上任意一点处的切线交双曲线于，两点，则（ ）
A． B．满足的直线仅有2条
C．满足的直线仅有4条 D．为定值2
三、填空题
13．（2023高一下·浦江月考）若，且，则 ；
14．（2023高二下·海南期末）记等差数列的前项和为，若，则 .
15．（2023高二下·海南期末）某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：
用药 未用药
症状明显减轻 37 33
症状没有减轻 8 22
根据表中数据，计算可得 （结果精确到0.001），依据小概率值 （填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的.
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（2023高二下·海南期末）已知四棱锥的外接球的体积为，平面，且底面为矩形，，则四棱锥体积的最大值为 .
四、解答题
17．（2023高二下·海南期末）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
18．（2023高二下·海南期末）在中，角，，的对边分别是，，，已知，且，角为锐角.
（1）求；
（2）若，求的面积.
19．（2023高二下·海南期末）如图，在三棱锥中，底面，是正三角形﹐点在棱上，且，点为的中点.
（1）证明：为的中点；
（2）若，求二面角的余弦值.
20．（2023高二下·海南期末）某智力问答节目中，选手要从，两类题中各随机抽取2个进行作答.类题一共有5个，每个题答对得5分，答错得0分，类题数量非常多，每个题答对得3分，答错得0分.小明参与该节目，在类题中小明仅能答对其中的4个，每个类题小明能答对的概率都是.且每个类题回答正确与否相互独立.
（1）求小明恰好答对2个题的概率；
（2）求小明答类题和答类题得分的期望之和.
21．（2023高二下·海南期末）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
（1）求的方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
22．（2023高二下·海南期末）已知函数，.
（1）当时，求的极小值；
（2）若有2个零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】∵A={x∣x(x-7)＜0}={x∣0＜x＜7}，∴CUA={x∣x≤0或x≥7}.
故答案为：D．
【分析】求解一元二次不等式可得到集合A，再根据补集的运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据题意有z=3-4i，所以
故答案为：B．
【分析】利用复数的几何意义求解z，根据复数的除法运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意可得4×（-3）+2x=0，解得x=6.
故答案为：A．
【分析】利用向量垂直的坐标表示求解即可.
4．【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】根据题意有f'(x)=3x2+2f'(x)，代入x=2得f'(2)=12+2f'(2)，解得f'(2)=-12，所以f(x)在点(2，f(2))处切线斜率为-12.
故答案为：D．
【分析】根据导数的运算f'(x)，代入x=2求解即可.
5．【答案】A
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】根据题意，a1=3，a2=3-=，a3=3-=，且0＜an＜3，则有a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，当n=k+1时，则有，所以ak+1＞ak+2，数列{an}为递减数列.
故答案为：A．
【分析】根据题意判断a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，推导得出ak+1＞ak+2，即可证明数列{an}为递减数列.
6．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】将原式展开：原式=[(x+1)(x+2)]2(x+3)2=(x2+3x+2)2(x2+6x+9)=x2(x2+3x+2)2+6x(x2+3x+2)2+9(x2+3x+2)2，展开式中x5的项为，故x5的系数为12.
故答案为：C．
【分析】根据题意将原式展开，求解x5的系数即可.
7．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】利用捆绑法，将相邻的2首诗看做一个整体，与其他3首诗全排列，有种方法.
故答案为：B．
【分析】利用捆绑法进行全排列求解即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】根据题意，a-b=，令f(x)=x-ln(1+x)，x∈（0，1），则有f'(x)==＞0，所以f(x)在（0，1）上单调递增，则有f()＞f(0)=0，所以a＞b；
b=-ln0.9=-ln(1-0.1)，c==，b-c=-ln(1-0.1)-，令h(x)=-ln(1-x)-=2+-ln(1-x)，x∈（0，1），则有h'(x)=，所以h(x)在（0，1）上单调递增，则有h(0.1)＞h(0)=0，所以b＞c.
故答案为：D．
【分析】根据题意，分别构造函数f(x)和h(x)，利用导数研究函数的单调性，判断a、b、c大小求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；线性回归方程
【解析】【解答】 A、经验回归直线不一定经过散点图中样本点，A错误；
B、经验回归直线必过样本中心，B正确；
C、残差图中残差对应纵坐标轴值，各散点围绕x轴（零点）两侧分布，又因为预测值与观测值的总体均值相等，所以所有散点的纵坐标之和为0，C正确；
D、两个变量的负相关关系越强，回归模型的相关系数越接近于-1，D错误；
故答案为：BC．
【分析】 利用经验回归直线的意义判断AB；利用残差图、相关关系中相关系数的意义判断CD即可求解.
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 A、根据题意，f(x)的定义域为R，f'(x)=3ax2-6，因为f(x)在x=处取得极值，所以f'()=6a-6=0，解得a=1，A正确；
B、根据A可得f(x)=x3-6x+1，f'(x)=3x2-6，令f'(x)＜0解得＜x＜，令f'(x)＞0解得x＜或x＞，所以f(x)在（-∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以f(x)在x=处取得极大值，在x=处取得极小值，B正确；
C、代入x=-3得f(-3)=-8＜0，代入x=得f()=＞0，代入x=得f()=＜0，代入x=3得f(3)=10＞0，所以f(x)在（-∞，）、（，）、（，+∞）上各有一个零点，C正确；
D、根据B可知f(x)在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增，f(0)=1，f()=，f(2)=-3，所以f(x)在[0，2]上的值域为[，1]，D错误；
故答案为：ABC．
【分析】利用导数研究函数的极值求解a，利用导数研究函数的单调性、零点、值域等问题，分别求解即可.
11．【答案】B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】 A、根据题意，，，，A错误；
B、根据题意，，，，，B正确；
C、根据可得，故A与B3相互独立，C错误；
D、根据，，所以，D正确；
故答案为：BD．
【分析】利用古典概型概率公式、全概率公式、独立事件的概率乘法公式、条件概率计算公式依次计算即可.
12．【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】如图，
A、根据题意，双曲线C的渐近线方程为tx2±(t-1)y2=0，因为是其一条渐近线，即2x2-y2=0，所以，解得t=2，所以双曲线C：，A正确；
B、若kl=0，，此时；若切线l的斜率不存在，，此时，所以满足的直线l有4条，B错误；
C、设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），，直线l斜率存在，
则有l：，即l：y0y+x0x=2（同样满足），
代入2x2-y2=2，消去y可得：，
即，，
所以，，
则，
所以x1x2+y1y2=0，即cos∠MON=，所以OM⊥ON，直线l有无数条，C错误；
D、根据C可知，Rt△NOP∽Rt△OMP，则有，所以，D正确；
故答案为：AD．
【分析】根据双曲线及其渐近线方程求解t=2，得到双曲线方程，分析kl=0或斜率不存在可得，即可求解AB，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），，得到直线l：y0y+x0x=2，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及向量夹角的坐标表示可得cos∠MON=0，即OM⊥ON，从而Rt△NOP∽Rt△OMP，即可求解CD.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，且，则，
所以．
【分析】由同角三角函数的基本关系即可求解.
14．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】，所以，所以，所以.
故答案为：．
【分析】根据等差数列前n项和、等差中项求得7a4=10a3，根据通项公式求解即可.
15．【答案】5.820；0.05
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】根据题意，结合2×2列联表，，所以a=0.05.
故答案为：5.820；0.05．
【分析】根据题意以及2×2列联表，求解X2，结合临界值表，求解a.
16．【答案】32
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据题意PA⊥平面ABCD，如图所示：
将四棱锥补成长方体，四棱锥外接球直径为长方体的体对角线，设四棱锥外接球半径为R，则有，所以R=4，设长方体的长宽高分别为AB=a，BC=b，PA=c=4，则有a2+b2+c2=82，所以a2+b2=48，因为a2+b2≥2ab，即ab≤24，当且仅当a=b=时取等，所以四棱锥底面积最大值为24，所以四棱锥体积最大值为.
故答案为：32．
【分析】根据题意PA⊥平面ABCD将四棱锥补成长方体，求解四棱锥外接球半径R=4，根据长方体体对角线长求解四棱锥底面积最大值，即可求解四棱锥体积最大值.
17．【答案】（1）解：当时，，解得.
当时，，两式相减整理得，
所以是，公比的等比数列，
故.
（2）证明：，
而关于单调递增，
，且，
所以.
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用求解通项公式即可；
（2）利用an通项公式求解Sn，证明不等式即可.
18．【答案】（1）解：由条件及正弦定理可得，
即，所以.
因为，，所以，所以，
又因为为锐角，所以.
（2）解：由（1）可知，因为是锐角，所以，
，
所以由正弦定理得，即，解得，
所以.
【知识点】积化和差公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、边化角整理等式，结合和角公式，求解即可；
（2）利用和角公式，结合正弦定理求解边长，运用三角形面积公式求解即可.
19．【答案】（1）证明：因为是正三角形，为的中点，所以，
又，平面，且，
所以平面，平面，所以.
因为底面，平面，所以，
平面内，，，则有，
点为的中点，所以为的中点.
（2）解：由（1）可知底面，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由，得，所以，
则.
所以.
设平面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）首先证明PA∥DE，由三角形中位线即可证明D为PC中点；
（2）以E为原点建系，根据向量法求二面角的余弦值.
20．【答案】（1）解：小明恰好答对2题，分两种情况：
①答对2个类题：；
②答对1个类题和1个类题：.
所以小明恰好答对2个题的概率为.
（2）解：设小明答对类题的个数为，答对类题的个数为，
则服从超几何分布，
则，则小明答类题得分的期望为.
服从二项分布，
则，则小明答类题得分的期望为.
综上，小明答类题和答类题得分的期望之和为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）分情况①答对2个A类题、②答对1个A类题和1个B类题，求解概率，利用互斥事件概率公式求解即可；
（2）设小明答对A类题的个数为X，答对B类题的个数为Y，则有X服从超几何分布，Y服从二项分布，利用期望公式求解即可.
21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，
根据题意解得
故的方程为.
（2）解：由（1）知：.
当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，
不妨取，此时，则.
当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，
代入椭圆并消去得，
设，则.
而，
所以
.
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用离心率、等面积法、椭圆参数关系列方程组，求解椭圆方程即可；
（2）分类讨论直线l斜率，设l的方程联立椭圆方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示得到关于参数的关系式，求解范围即可.
22．【答案】（1）解：当时，，则，
由函数和在上单调递增，知在上单调递增，
又，
因此当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为.
（2）解：依题意，，其定义域为，由，得，
令，则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，
求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，则，且当时，恒成立，
函数的大致图象如下：
观察图象知，当时，与的图象有2个交点，
所以的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）代入，求解函数的导数，利用导数研究函数的极小值求解即可；
（2）求解g(x)及其定义域，根据零点定义分离参数，构造函数h(x)并求解最大值，运用数形结合求解即可.
1 / 1海南省2022-2023学年高二下学期学业水平诊断（二）数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·海南期末）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】∵A={x∣x(x-7)＜0}={x∣0＜x＜7}，∴CUA={x∣x≤0或x≥7}.
故答案为：D．
【分析】求解一元二次不等式可得到集合A，再根据补集的运算求解即可.
2．（2023高二下·海南期末）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据题意有z=3-4i，所以
故答案为：B．
【分析】利用复数的几何意义求解z，根据复数的除法运算求解即可.
3．（2023高二下·海南期末）已知向量，，，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意可得4×（-3）+2x=0，解得x=6.
故答案为：A．
【分析】利用向量垂直的坐标表示求解即可.
4．（2023高二下·海南期末）已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．4 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】根据题意有f'(x)=3x2+2f'(x)，代入x=2得f'(2)=12+2f'(2)，解得f'(2)=-12，所以f(x)在点(2，f(2))处切线斜率为-12.
故答案为：D．
【分析】根据导数的运算f'(x)，代入x=2求解即可.
5．（2023高二下·海南期末）在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．先递减后递增 D．先递增后递减
【答案】A
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】根据题意，a1=3，a2=3-=，a3=3-=，且0＜an＜3，则有a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，当n=k+1时，则有，所以ak+1＞ak+2，数列{an}为递减数列.
故答案为：A．
【分析】根据题意判断a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，推导得出ak+1＞ak+2，即可证明数列{an}为递减数列.
6．（2023高二下·海南期末）的展开式中的系数为（ ）
A．1 B．6 C．12 D．144
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】将原式展开：原式=[(x+1)(x+2)]2(x+3)2=(x2+3x+2)2(x2+6x+9)=x2(x2+3x+2)2+6x(x2+3x+2)2+9(x2+3x+2)2，展开式中x5的项为，故x5的系数为12.
故答案为：C．
【分析】根据题意将原式展开，求解x5的系数即可.
7．（2023高二下·海南期末）某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《咏柳》《送元二使安西》《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》《江畔独步寻花》五首古诗，并要求《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】利用捆绑法，将相邻的2首诗看做一个整体，与其他3首诗全排列，有种方法.
故答案为：B．
【分析】利用捆绑法进行全排列求解即可.
8．（2023高二下·海南期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】根据题意，a-b=，令f(x)=x-ln(1+x)，x∈（0，1），则有f'(x)==＞0，所以f(x)在（0，1）上单调递增，则有f()＞f(0)=0，所以a＞b；
b=-ln0.9=-ln(1-0.1)，c==，b-c=-ln(1-0.1)-，令h(x)=-ln(1-x)-=2+-ln(1-x)，x∈（0，1），则有h'(x)=，所以h(x)在（0，1）上单调递增，则有h(0.1)＞h(0)=0，所以b＞c.
故答案为：D．
【分析】根据题意，分别构造函数f(x)和h(x)，利用导数研究函数的单调性，判断a、b、c大小求解即可.
二、多选题
9．（2023高二下·海南期末）下列有关线性回归分析的说法正确的是（ ）
A．经验回归直线是经过散点图中样本点最多的一条直线
B．经验回归直线一定经过点
C．残差图中所有散点的纵坐标之和为0
D．两个变量的负相关关系越强，回归模型的越接近于
【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；线性回归方程
【解析】【解答】 A、经验回归直线不一定经过散点图中样本点，A错误；
B、经验回归直线必过样本中心，B正确；
C、残差图中残差对应纵坐标轴值，各散点围绕x轴（零点）两侧分布，又因为预测值与观测值的总体均值相等，所以所有散点的纵坐标之和为0，C正确；
D、两个变量的负相关关系越强，回归模型的相关系数越接近于-1，D错误；
故答案为：BC．
【分析】 利用经验回归直线的意义判断AB；利用残差图、相关关系中相关系数的意义判断CD即可求解.
10．（2023高二下·海南期末）已知函数在处取得极值，则（ ）
A．
B．在处取得极大值
C．有3个不同的零点
D．在区间上的值域为
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 A、根据题意，f(x)的定义域为R，f'(x)=3ax2-6，因为f(x)在x=处取得极值，所以f'()=6a-6=0，解得a=1，A正确；
B、根据A可得f(x)=x3-6x+1，f'(x)=3x2-6，令f'(x)＜0解得＜x＜，令f'(x)＞0解得x＜或x＞，所以f(x)在（-∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以f(x)在x=处取得极大值，在x=处取得极小值，B正确；
C、代入x=-3得f(-3)=-8＜0，代入x=得f()=＞0，代入x=得f()=＜0，代入x=3得f(3)=10＞0，所以f(x)在（-∞，）、（，）、（，+∞）上各有一个零点，C正确；
D、根据B可知f(x)在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增，f(0)=1，f()=，f(2)=-3，所以f(x)在[0，2]上的值域为[，1]，D错误；
故答案为：ABC．
【分析】利用导数研究函数的极值求解a，利用导数研究函数的单调性、零点、值域等问题，分别求解即可.
11．（2023高二下·海南期末）某小学六年级有3个班，六（1）班、六（2）班、六（3）班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，六（1）班的不及格率为10%，六（2）班的不及格率为20%，六（3）班的不及格率为15%，从该校随机抽取一名六年级学生.记事件“该学生本次数学考试不及格”，事件“该学生在六（）班”（，2，3），则（ ）
A．
B．
C．与（，2，3）均不相互独立
D．
【答案】B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】 A、根据题意，，，，A错误；
B、根据题意，，，，，B正确；
C、根据可得，故A与B3相互独立，C错误；
D、根据，，所以，D正确；
故答案为：BD．
【分析】利用古典概型概率公式、全概率公式、独立事件的概率乘法公式、条件概率计算公式依次计算即可.
12．（2023高二下·海南期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，圆：上任意一点处的切线交双曲线于，两点，则（ ）
A． B．满足的直线仅有2条
C．满足的直线仅有4条 D．为定值2
【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】如图，
A、根据题意，双曲线C的渐近线方程为tx2±(t-1)y2=0，因为是其一条渐近线，即2x2-y2=0，所以，解得t=2，所以双曲线C：，A正确；
B、若kl=0，，此时；若切线l的斜率不存在，，此时，所以满足的直线l有4条，B错误；
C、设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），，直线l斜率存在，
则有l：，即l：y0y+x0x=2（同样满足），
代入2x2-y2=2，消去y可得：，
即，，
所以，，
则，
所以x1x2+y1y2=0，即cos∠MON=，所以OM⊥ON，直线l有无数条，C错误；
D、根据C可知，Rt△NOP∽Rt△OMP，则有，所以，D正确；
故答案为：AD．
【分析】根据双曲线及其渐近线方程求解t=2，得到双曲线方程，分析kl=0或斜率不存在可得，即可求解AB，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），，得到直线l：y0y+x0x=2，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及向量夹角的坐标表示可得cos∠MON=0，即OM⊥ON，从而Rt△NOP∽Rt△OMP，即可求解CD.
三、填空题
13．（2023高一下·浦江月考）若，且，则 ；
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，且，则，
所以．
【分析】由同角三角函数的基本关系即可求解.
14．（2023高二下·海南期末）记等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】，所以，所以，所以.
故答案为：．
【分析】根据等差数列前n项和、等差中项求得7a4=10a3，根据通项公式求解即可.
15．（2023高二下·海南期末）某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：
用药 未用药
症状明显减轻 37 33
症状没有减轻 8 22
根据表中数据，计算可得 （结果精确到0.001），依据小概率值 （填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的.
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】5.820；0.05
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】根据题意，结合2×2列联表，，所以a=0.05.
故答案为：5.820；0.05．
【分析】根据题意以及2×2列联表，求解X2，结合临界值表，求解a.
16．（2023高二下·海南期末）已知四棱锥的外接球的体积为，平面，且底面为矩形，，则四棱锥体积的最大值为 .
【答案】32
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据题意PA⊥平面ABCD，如图所示：
将四棱锥补成长方体，四棱锥外接球直径为长方体的体对角线，设四棱锥外接球半径为R，则有，所以R=4，设长方体的长宽高分别为AB=a，BC=b，PA=c=4，则有a2+b2+c2=82，所以a2+b2=48，因为a2+b2≥2ab，即ab≤24，当且仅当a=b=时取等，所以四棱锥底面积最大值为24，所以四棱锥体积最大值为.
故答案为：32．
【分析】根据题意PA⊥平面ABCD将四棱锥补成长方体，求解四棱锥外接球半径R=4，根据长方体体对角线长求解四棱锥底面积最大值，即可求解四棱锥体积最大值.
四、解答题
17．（2023高二下·海南期末）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）解：当时，，解得.
当时，，两式相减整理得，
所以是，公比的等比数列，
故.
（2）证明：，
而关于单调递增，
，且，
所以.
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用求解通项公式即可；
（2）利用an通项公式求解Sn，证明不等式即可.
18．（2023高二下·海南期末）在中，角，，的对边分别是，，，已知，且，角为锐角.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：由条件及正弦定理可得，
即，所以.
因为，，所以，所以，
又因为为锐角，所以.
（2）解：由（1）可知，因为是锐角，所以，
，
所以由正弦定理得，即，解得，
所以.
【知识点】积化和差公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、边化角整理等式，结合和角公式，求解即可；
（2）利用和角公式，结合正弦定理求解边长，运用三角形面积公式求解即可.
19．（2023高二下·海南期末）如图，在三棱锥中，底面，是正三角形﹐点在棱上，且，点为的中点.
（1）证明：为的中点；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为是正三角形，为的中点，所以，
又，平面，且，
所以平面，平面，所以.
因为底面，平面，所以，
平面内，，，则有，
点为的中点，所以为的中点.
（2）解：由（1）可知底面，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由，得，所以，
则.
所以.
设平面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）首先证明PA∥DE，由三角形中位线即可证明D为PC中点；
（2）以E为原点建系，根据向量法求二面角的余弦值.
20．（2023高二下·海南期末）某智力问答节目中，选手要从，两类题中各随机抽取2个进行作答.类题一共有5个，每个题答对得5分，答错得0分，类题数量非常多，每个题答对得3分，答错得0分.小明参与该节目，在类题中小明仅能答对其中的4个，每个类题小明能答对的概率都是.且每个类题回答正确与否相互独立.
（1）求小明恰好答对2个题的概率；
（2）求小明答类题和答类题得分的期望之和.
【答案】（1）解：小明恰好答对2题，分两种情况：
①答对2个类题：；
②答对1个类题和1个类题：.
所以小明恰好答对2个题的概率为.
（2）解：设小明答对类题的个数为，答对类题的个数为，
则服从超几何分布，
则，则小明答类题得分的期望为.
服从二项分布，
则，则小明答类题得分的期望为.
综上，小明答类题和答类题得分的期望之和为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）分情况①答对2个A类题、②答对1个A类题和1个B类题，求解概率，利用互斥事件概率公式求解即可；
（2）设小明答对A类题的个数为X，答对B类题的个数为Y，则有X服从超几何分布，Y服从二项分布，利用期望公式求解即可.
21．（2023高二下·海南期末）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
（1）求的方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，
根据题意解得
故的方程为.
（2）解：由（1）知：.
当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，
不妨取，此时，则.
当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，
代入椭圆并消去得，
设，则.
而，
所以
.
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用离心率、等面积法、椭圆参数关系列方程组，求解椭圆方程即可；
（2）分类讨论直线l斜率，设l的方程联立椭圆方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示得到关于参数的关系式，求解范围即可.
22．（2023高二下·海南期末）已知函数，.
（1）当时，求的极小值；
（2）若有2个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，则，
由函数和在上单调递增，知在上单调递增，
又，
因此当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为.
（2）解：依题意，，其定义域为，由，得，
令，则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，
求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，则，且当时，恒成立，
函数的大致图象如下：
观察图象知，当时，与的图象有2个交点，
所以的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）代入，求解函数的导数，利用导数研究函数的极小值求解即可；
（2）求解g(x)及其定义域，根据零点定义分离参数，构造函数h(x)并求解最大值，运用数形结合求解即可.
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