第21章一元二次方程全章导学案
文档属性
| 名称 | 第21章一元二次方程全章导学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 315.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-01-27 17:41:15 | ||
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文档简介
21.1一元二次方程
【学习目标】
1．理解一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式,会把一个一元二次方程化为一般形式；
3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
【学习重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.
【学习难点】在实际问题中建立一元二次方程的数学模型.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题
1． 问题1：“六一”节，八（2）班的每个同学向班上的每个小朋友发了一条祝福短信，共发短信3306条，八（2）班有多少人？
设八（2）班有x人，可列方程为___________ ．
2．问题2：一个直角三角形的斜边长为10cm，两条直角边相差2cm,求较长的直角边.
设较长的直角边为xcm, 可列方程为___________ . ．
3．观察上面所列出的两个方程：（1）方程的两边都是 ； （2）方程中含有 个未知数，（3）含有未知数的项的最高次数是 .
你能类比一元一次方程给上面两个方程命名吗？
4．一元二次方程的定义
只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的 方程叫做一元二次方程.
5．一元二次方程的一般形式： ， 其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数.
6．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
8．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
9．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________.
二、合作、交流、展示：
1．一元二次方程的一般形式： .
一元二次方程的特殊形式有 .
2．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【变式】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
3．例2:一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
分析：设苗圃的宽为xm，则长为 m.
根据题意，列方程为 ，
整理，得 .
(1)下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
【知识链接】使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
(2)本题列出的方程还有其它解吗？
【思考】一元二次方程的解与一元一次方程的解的区别？
三、巩固与应用：
1．判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1-x2=0 (2)2(x2-1)=3y (3)2x2-3x-1=0 (4)=0
(5)(x+3)2=(x-3)2 (6)9x2=5-4x
2．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3．要使是一元二次方程，则k=_______.
4．已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值.
四、小结： 1. 一元二次方程的有关概念；
2．能熟练把一个一元二次方程化为一般形式；
3．准确说出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
五、作业：必做：P28练习T1、4、5.
22..2.1一元二次方程的解法—直接开平方法
【学习目标】
1．会用直接开平方法解形如或（≥0）的方程.
2．经历直接开平方法的探究过程，领会转化、降次思想.
【学习重点】会用直接开平方法解形如或（≥0）的方程.
【学习难点】领会降次──转化的数学思想.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本30-31页内容，并完成下列问题
1．【知识回顾】
平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这就是说，如果，那么 叫做a的平方根，记为= .
完全平方公式： ， .
2．利用平方根的定义解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
即如果方程能化成或的形式，那么可得或．
3．思考：如何解方程
二、合作、交流、展示：
1．直接开平方法： 如果方程能化成或的形式，
那么可得= 或= ．
解一元二次方程的数学思想是 .
2．【例1】解下列方程：
⑴ ⑵
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
【思考】用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3．【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．
【分析】设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是 m2；二年后人均住房面积就应该是 m2
解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程：
三、巩固与应用：
1．解下列方程：
（1） （2）
2．解下列方程：
（1） （2）
3．解方程：
4. 思考：如何解方程
四、小结： 1. 解一元二次方程的数学思想；
2．直接开平方法.
五、作业：必做：P42练习T1、12. 选做：《作业精编》相应练习.
21.2.1一元二次方程的解法—配方法
【学习目标】
1．学会利用配方法解一元二次方程，提高解方程的能力；
2．经历配方法解方程的过程，体会转化的数学思想.
【学习重点】用配方法解一元二次方程.
【学习难点】配方的过程，领会配方转化的数学思想.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本31-34页内容，并完成下列问题.
1．填空： ， .
2．解方程（1） 4x2－5= 4； （2）(x+6)2－1= 0； （3） x2－10x+25= 0
3. 填空：（1）x2－6x+( )=( x－ )2 （2）x2+8x+( )=( x+ )2
（3）x2－3x+( )=( x－ )2 (4 ) x2+5x+( )= ( x+ )2
4. 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是少？
解：若设场地宽为x米，长为（x+6）米，根据面积为16平方米
得到方程 ，化简得到 .
5．探究：如何并解所得的方程，可以用直接开平方法求解吗？
我们将一元二次方程 作如下变形：
第一步，把常数项移到等号的右边，方程变形为：
第二步，等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完成平方形式：
（ ）＝ （ 想一想：等号两边应同时几呢？依据是什么 ）
即( x + )2＝
第三步，用直接开平方法解方程， ＝ ，
∴方程的解是 ， .
在上题的问题中，由于场地的宽不能是负数，所以场地的宽为 米，长为 米。
结论：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配法方。
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
二、合作、交流、展示：
1．用配方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）移项：把“常数项”移到等号的右边；
（2）配方：等号两边同时加上一个常数（一次项系数一半的平方），使等号左边成为一个完全平方式；
（3）解方程：用直接开平方法解方程。
2．例题、解下列方程：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【注意】用配方法解一元二次方程,当二次顶系数不是1时，为便于便配方，应先将系数化为1.
3．练习，解方程: ⑴； ⑵； ⑶
4．用配方法证明：无论x取何值，代数式的值恒为正
三、巩固与应用：
1.填空：（1）+ ＝( x+ )2 ； （2） =( x- )2
2.解方程：（1） ； （2）.
3若方程可以化为，则a的值为
4.下列将方程x2+6x+7=0配方变形正确的是（ ）
A. (x+3)2=-2 B. (x+3)2=16 C. (x+3)2=2 D. (x+3)2=-16
5.下列将方程2x2-4x-3=0配方变形正确的是（ ）
A. (2x-1)2+1=0 B.(2x-1)2-4=0 C. (x-1)2= D.(x-1)2=
6.用配方法解方程 4x2-3x-1=3x+2
7．【拓展】用配方法证明：2x2-8x+9的值恒为正。
四、小结： 配方法解一元二次方程的基本步骤：
（1） ，（2） ，（3） ，（4）
五、作业：必做：P42练习T3. 选做：《作业精编》相应练习.
21.2．2一元二次方程的解法——公式法
【学习目标】
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，会熟练应用公式法解一元二次方程；
2、会利用根的判别式△判定一元二次方程根的情况；
【学习重点】求根公式的推导、判别式△及求根公式的应用；
【学习难点】一元二次方程求根公式的推导。
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第34—37页内容，并完成下列问题
1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
二、合作、交流、展示：
1、【探究】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），请用配方法的步骤求出它的两根：
【解】∵a≠0，方程两边都除以a，得
x2＋ x＋ ＝0
移项，得 x2＋ x＝－
配方，得 x2＋2·x·＋( )2＝( )2－ ， 即(x＋ ) 2＝；
∵a≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
x＋ ＝±
∴ x＝-±, 即 x＝.（b2－4ac≥0）
【归纳】（1）一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式： x=
（2）确定一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解的方法叫做 .
2、用公式法解下列方程：（1）x2+x-1=0； （2）x2-2x+3=0； （3）2x2-2x+1=0；
通过解上面的方程你有什么发现？
【小结】一元二次方程根的判别式定理：
（1）当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
（3）当b2－4ac<0时，方程没有实数根.
把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用“△”表示。
注：（1）当△≥0时，方程的根的情况如何叙述？（2）上述的叙述，反过来也成立吗？
3、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x－4 = 0； （2）1.6y2+0.9 = 2.4y； （3）5（x2+1）－7x = 0.
4、解下列方程
(1) x2-+2=0； (2)4x2＋4x＋10＝1－8x；
三、巩固与应用：
1、利用求根公式求的根时,a,b,c的值分别是( )
A.5, ,6 B.5,6, C.5,-6, D.5,-6,-
2、如果分式的值为0,则x值为( )
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
3、方程x2—5x—1=0( )
A、有两个相等的实数根；B、有两个不相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定；
4、关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值为___ __．
5、用适当的方法解下列方程：
(1) 4x2－3x－1＝x－2 (2) 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)
6、求a的取值, 使关于x的方程，
（1）有两个实数根；（2）没有实数根；
四、小结： 1、求根公式；2、根的判别式；3、公式法。
五、作业：必做：课本练习； 选做：《作业精编》练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.2．3一元二次方程的解法——因式分解法
【学习目标】
1、学生会用因式分解法解一元二次方程；
2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法；
【学习重点】用因式分解法解一元二次方程；
【学习难点】用因式分解法解一元二次方程。
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第 页内容，并完成下列问题
1、（1）因式分解的常用方法： 、 ；
（2）平方差公式 ( )( );
完全平方公式 (
2、分解因式： （1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
3、我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 、 、 。
4、解下列方程：
（1） （2） （3） （4）
二、合作、交流、展示：
1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
解：设这个数为，由题意，可得方程
解法1：（配方法） 解法2：（公式法）
你还有其他的方法吗
解法3: 当时， =0 , 则
=0或 =0
∴ ，
【归纳】运用因式分解的方法求一元二次方程的方法叫 。
把一个一元二次方程转化为两个 方程来解，体现了一种“ ”的思想
2、例1用因式分解法解下列方程：
（1） （2） （3）
【归纳】一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为 。 （2）将方程的左边进行因式分解。
（3）令每个因式为0，得两个一元二次方程。（4）解一元一次方程，得方程式的解。
3、练一练，用因式分解法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
三、巩固与应用：
1、解下列方程：
（1） （2） （3）
（4） （5） (6)
2、已知，求.
3、当K取什么实数时，方程有两个不相等的正数根.
4、一个直角三角形两条直角边相差7,面积是30，求斜边长.
四、小结： 1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
2.解一元二次方程的方法有哪几种？
五、作业：必做：课本练习； 选做：《作业精编》练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.2．4一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1．掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；
2.能运用韦达定理求出方程的一根与方程中的未知系数，能求出与两根有关的一些代数式的值。
【学习重点】韦达定理及其运用。
【学习难点】运用韦达定理解决有关问题。
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第15-16页内容，并完成下列问题
1．( 1 ) 一元二次方程的一般形式：
（2）一元二次方程的求根公式：
2．【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
【探究一】
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
+6x-16=0
-6x+8=0
【猜想1】若方程x2+px+q=0的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
3．【探究二】
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
2-3x+1=0
2+3x-5=0
【猜想2】若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
二、合作、交流、展示：
1．利用求根公式推到一元二次方程根与系数的关系
ax2+bx+c=0的两根= , =
= =
= =
= =
2．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
特别的，若方程x2+px+q=0的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
请用语言叙述上述结论。
3．【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4 （3）=4 （4）2=3x
【点拨】先将方程化为一般形式
4．【例2】已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
（与小伙伴交流你的做法）
5．【例3】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2） （3）
三、巩固与应用：
1．方程 则= ，= __
2．关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ，＝ 。
3．（选做）若关于的一元二次方程+ax+a+1=0的两根满足：+=6，求a的值.
4．已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
四、小结： 1. 韦达定理及其应用.
2. 运用韦达定理的前提条件： .
五、作业：必做：课本17页T7； 选做：《作业精编》练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.2一元二次方程的解法
【学习目标】
1．能熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
2.能根据方程特点选择简便的方法求解一元二次方程.
【学习重点】熟练运用四种方法解一元二次方程.
【学习难点】灵活选择方法解一元二次方程.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题
1． 解一元二次方程的基本思路是：将 方程化为 方程，即降次思想.
2.解一元二次方程的四种解法是 .
3．选择合适的方法解下列方程：
（1）4(x+5)2=16 （2）x2＋2x－8＝0 （3）x2－2x＝99；
（4）2x2-4x-1=0 （5） 3x(x+2)=5(x+2) （6）4(x+2)2=9(2x-1)2.
4．你认为下列方程你用什么方法来解更简便.
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x2－3x＝15； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
一元二次方程解法的选择顺序一般为： 、 、 、 .
二、合作、交流、展示：
1．【例1】选择合适的方法解下列方程：
(1) x2-2x+1=4； (2)x2+12x+27=0； (3)x(x-2)+x-2=0；
(4) 3x2+6x-5=0； (5) (x-4)2-(5-2x)2=0 ； (6) x2-6x=91.
2．【例2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． 且 D． 且
【根的判别式定理】
一般地，式子叫做方程 ，通常用希腊字母表示它，即
（1）△＞0 方程有两个 的实数根；
（2）△=0 方程有两个 的实数根
（3）△＜0 方程 实数根．
三、巩固与应用：
1．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0
2．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1
3．已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是 ；
4．关于的一元二次方程为．
（1）求出方程的根；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
四、小结： 1. 一元二次方程的有关概念；2．能熟练把一个一元二次方程化为一般形式.
五、作业：必做：P43练习T13、14. 选做：《作业精编》相应练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.3实际问题与一元二次方程（1）
【学习目标】
1．会根据具体问题（传播问题，增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解
2.掌握列方程解应用题的一般步骤.
【学习重点】建立数学模型，找相等关系，列方程.
【学习难点】审题，找相等关系列方程
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本19-20页内容，并完成下列问题
1．列方程解应用题的一般步骤 ： ；
2．【探究一】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示 ，第二轮后，共有
人患流感.
⑵根据相等关系列方程：
⑶解这个方程得：
⑷平均一个人传染了 个人.
⑸如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 人患流感.
3．【探究二】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为 元，12月份的营业额为 元，
由此就可列方程： .
二、合作、交流、展示：
1．【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3．【例2】两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
【分析】（1）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本为 元；两年后，甲种药品成本为 元.
对甲种药品而言根据相等关系列方程为：
解这个方程得：
甲种药品成本的年平均下降率为 .
（2）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大.
（3）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？
【归纳】若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）
三、巩固与应用：
1．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg.
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
3．一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数.
四、小结： 1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、找、设、列、解、验、答；
2．若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）；
五、作业：必做：P22练习T4、5、7. 选做：《作业精编》相应练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.3实际问题与一元二次方程（2）
【学习目标】
1．会根据具体问题（几何图形问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.
2.能熟练运用一元二次方程解决实际问题.
【学习重点】建立数学模型，找相等关系，列方程.
【学习难点】审题，找相等关系列方程.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本20-21页内容，并完成下列问题
1．列方程解应用题的一般步骤 ： ；
2.【问题】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 ，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的 ．
所以列出方程： ，
整理，得： ，
解方程，得：x= ，
因此，上下边衬的宽均为 cm，左、右边衬的宽均为 cm．
【分析2】（变换设未知数的方法，如何解决？）
二、合作、交流、展示：
1．【例1】要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片的四分之一，镜框边的宽度是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
【分析】“镜框所占面积为照片的四分之一”可转化为
解：
2．【例2】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为 m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的 .
解：
三、巩固与应用：
1. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
2．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
3．课本P26页第12题.
四、小结： 1. 列方程解应用题的一般步骤，注意巧妙设元.
2．转化思想.
五、作业：必做：P22练习T9、10. 选做：《作业精编》相应练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
《一元二次方程》的小结与复习
【学习目标】
1．复习一元二次方程的解法，根的判别式定理、韦达定理；
2.能运用一元二次方程解决实际问题.
【学习重点】一元二次方程的解法及其应用.
【学习难点】运用一元二次方程方程解决实际问题.
【学习过程】
一、知识梳理：
1．结构框图：
2.一元二次方程的概念：等号两边都是 ，只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
3.一元二次方程的一般形式是： ，其中 是二次项， 是二次项
系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项.
4.一元二次方程的解法：① 、② 、③ 、④ .
5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= ，当⊿ 时，方程有两个不相等的实数根；当⊿ 时，方程有两个相等的实数根；当⊿ 时，方程没有实数根.（当⊿ 时，方程有实数根）
6.一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x= .
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2= ，x1 x2= .
若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2== ， x1 x2= .
二、基础巩固：
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 】
A． B． C． D．
2．方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= .
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 】
A． 1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
4．某市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为 ，此方程适宜用 法解.
5．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
6．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A． B． C． D．
7．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是
8．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是
9．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则 .
三、典例剖析：
1．【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0 ⑵
⑶ ⑷
2．【例2】先化简，再求值：
，其中是方程的根．
3．【例3】已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
4．【例4】已知x1、x2是方程x2+7x－5=0的两实数根，求的值
5．【例5】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
6．【例6】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
四、巩固与应用：
1．下列方程，是一元二次方程的是 .
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 】
A．1 B． C．2 D．
3．已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ．
4．用适当的方法解下列方程：
⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶ ⑷x2-3x-1=0
5．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
6．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．
7．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
8．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0
9．已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值.
五、小结： 1. 一元二次方程的解法及应用；2．综合运用根的判别式与韦达定理解题.
六、作业：必做：P25练习T1、2、3、4、6、7、11、13. 选做：《作业精编》相应练习.
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1
【学习目标】
1．理解一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式,会把一个一元二次方程化为一般形式；
3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
【学习重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.
【学习难点】在实际问题中建立一元二次方程的数学模型.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题
1． 问题1：“六一”节，八（2）班的每个同学向班上的每个小朋友发了一条祝福短信，共发短信3306条，八（2）班有多少人？
设八（2）班有x人，可列方程为___________ ．
2．问题2：一个直角三角形的斜边长为10cm，两条直角边相差2cm,求较长的直角边.
设较长的直角边为xcm, 可列方程为___________ . ．
3．观察上面所列出的两个方程：（1）方程的两边都是 ； （2）方程中含有 个未知数，（3）含有未知数的项的最高次数是 .
你能类比一元一次方程给上面两个方程命名吗？
4．一元二次方程的定义
只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的 方程叫做一元二次方程.
5．一元二次方程的一般形式： ， 其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数.
6．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
8．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
9．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________.
二、合作、交流、展示：
1．一元二次方程的一般形式： .
一元二次方程的特殊形式有 .
2．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【变式】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
3．例2:一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
分析：设苗圃的宽为xm，则长为 m.
根据题意，列方程为 ，
整理，得 .
(1)下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
【知识链接】使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
(2)本题列出的方程还有其它解吗？
【思考】一元二次方程的解与一元一次方程的解的区别？
三、巩固与应用：
1．判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1-x2=0 (2)2(x2-1)=3y (3)2x2-3x-1=0 (4)=0
(5)(x+3)2=(x-3)2 (6)9x2=5-4x
2．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3．要使是一元二次方程，则k=_______.
4．已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值.
四、小结： 1. 一元二次方程的有关概念；
2．能熟练把一个一元二次方程化为一般形式；
3．准确说出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
五、作业：必做：P28练习T1、4、5.
22..2.1一元二次方程的解法—直接开平方法
【学习目标】
1．会用直接开平方法解形如或（≥0）的方程.
2．经历直接开平方法的探究过程，领会转化、降次思想.
【学习重点】会用直接开平方法解形如或（≥0）的方程.
【学习难点】领会降次──转化的数学思想.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本30-31页内容，并完成下列问题
1．【知识回顾】
平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这就是说，如果，那么 叫做a的平方根，记为= .
完全平方公式： ， .
2．利用平方根的定义解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
即如果方程能化成或的形式，那么可得或．
3．思考：如何解方程
二、合作、交流、展示：
1．直接开平方法： 如果方程能化成或的形式，
那么可得= 或= ．
解一元二次方程的数学思想是 .
2．【例1】解下列方程：
⑴ ⑵
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
【思考】用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3．【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．
【分析】设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是 m2；二年后人均住房面积就应该是 m2
解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程：
三、巩固与应用：
1．解下列方程：
（1） （2）
2．解下列方程：
（1） （2）
3．解方程：
4. 思考：如何解方程
四、小结： 1. 解一元二次方程的数学思想；
2．直接开平方法.
五、作业：必做：P42练习T1、12. 选做：《作业精编》相应练习.
21.2.1一元二次方程的解法—配方法
【学习目标】
1．学会利用配方法解一元二次方程，提高解方程的能力；
2．经历配方法解方程的过程，体会转化的数学思想.
【学习重点】用配方法解一元二次方程.
【学习难点】配方的过程，领会配方转化的数学思想.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本31-34页内容，并完成下列问题.
1．填空： ， .
2．解方程（1） 4x2－5= 4； （2）(x+6)2－1= 0； （3） x2－10x+25= 0
3. 填空：（1）x2－6x+( )=( x－ )2 （2）x2+8x+( )=( x+ )2
（3）x2－3x+( )=( x－ )2 (4 ) x2+5x+( )= ( x+ )2
4. 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是少？
解：若设场地宽为x米，长为（x+6）米，根据面积为16平方米
得到方程 ，化简得到 .
5．探究：如何并解所得的方程，可以用直接开平方法求解吗？
我们将一元二次方程 作如下变形：
第一步，把常数项移到等号的右边，方程变形为：
第二步，等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完成平方形式：
（ ）＝ （ 想一想：等号两边应同时几呢？依据是什么 ）
即( x + )2＝
第三步，用直接开平方法解方程， ＝ ，
∴方程的解是 ， .
在上题的问题中，由于场地的宽不能是负数，所以场地的宽为 米，长为 米。
结论：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配法方。
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
二、合作、交流、展示：
1．用配方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）移项：把“常数项”移到等号的右边；
（2）配方：等号两边同时加上一个常数（一次项系数一半的平方），使等号左边成为一个完全平方式；
（3）解方程：用直接开平方法解方程。
2．例题、解下列方程：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【注意】用配方法解一元二次方程,当二次顶系数不是1时，为便于便配方，应先将系数化为1.
3．练习，解方程: ⑴； ⑵； ⑶
4．用配方法证明：无论x取何值，代数式的值恒为正
三、巩固与应用：
1.填空：（1）+ ＝( x+ )2 ； （2） =( x- )2
2.解方程：（1） ； （2）.
3若方程可以化为，则a的值为
4.下列将方程x2+6x+7=0配方变形正确的是（ ）
A. (x+3)2=-2 B. (x+3)2=16 C. (x+3)2=2 D. (x+3)2=-16
5.下列将方程2x2-4x-3=0配方变形正确的是（ ）
A. (2x-1)2+1=0 B.(2x-1)2-4=0 C. (x-1)2= D.(x-1)2=
6.用配方法解方程 4x2-3x-1=3x+2
7．【拓展】用配方法证明：2x2-8x+9的值恒为正。
四、小结： 配方法解一元二次方程的基本步骤：
（1） ，（2） ，（3） ，（4）
五、作业：必做：P42练习T3. 选做：《作业精编》相应练习.
21.2．2一元二次方程的解法——公式法
【学习目标】
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，会熟练应用公式法解一元二次方程；
2、会利用根的判别式△判定一元二次方程根的情况；
【学习重点】求根公式的推导、判别式△及求根公式的应用；
【学习难点】一元二次方程求根公式的推导。
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第34—37页内容，并完成下列问题
1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
二、合作、交流、展示：
1、【探究】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），请用配方法的步骤求出它的两根：
【解】∵a≠0，方程两边都除以a，得
x2＋ x＋ ＝0
移项，得 x2＋ x＝－
配方，得 x2＋2·x·＋( )2＝( )2－ ， 即(x＋ ) 2＝；
∵a≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
x＋ ＝±
∴ x＝-±, 即 x＝.（b2－4ac≥0）
【归纳】（1）一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式： x=
（2）确定一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解的方法叫做 .
2、用公式法解下列方程：（1）x2+x-1=0； （2）x2-2x+3=0； （3）2x2-2x+1=0；
通过解上面的方程你有什么发现？
【小结】一元二次方程根的判别式定理：
（1）当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
（3）当b2－4ac<0时，方程没有实数根.
把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用“△”表示。
注：（1）当△≥0时，方程的根的情况如何叙述？（2）上述的叙述，反过来也成立吗？
3、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x－4 = 0； （2）1.6y2+0.9 = 2.4y； （3）5（x2+1）－7x = 0.
4、解下列方程
(1) x2-+2=0； (2)4x2＋4x＋10＝1－8x；
三、巩固与应用：
1、利用求根公式求的根时,a,b,c的值分别是( )
A.5, ,6 B.5,6, C.5,-6, D.5,-6,-
2、如果分式的值为0,则x值为( )
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
3、方程x2—5x—1=0( )
A、有两个相等的实数根；B、有两个不相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定；
4、关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值为___ __．
5、用适当的方法解下列方程：
(1) 4x2－3x－1＝x－2 (2) 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)
6、求a的取值, 使关于x的方程，
（1）有两个实数根；（2）没有实数根；
四、小结： 1、求根公式；2、根的判别式；3、公式法。
五、作业：必做：课本练习； 选做：《作业精编》练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.2．3一元二次方程的解法——因式分解法
【学习目标】
1、学生会用因式分解法解一元二次方程；
2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法；
【学习重点】用因式分解法解一元二次方程；
【学习难点】用因式分解法解一元二次方程。
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第 页内容，并完成下列问题
1、（1）因式分解的常用方法： 、 ；
（2）平方差公式 ( )( );
完全平方公式 (
2、分解因式： （1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
3、我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 、 、 。
4、解下列方程：
（1） （2） （3） （4）
二、合作、交流、展示：
1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
解：设这个数为，由题意，可得方程
解法1：（配方法） 解法2：（公式法）
你还有其他的方法吗
解法3: 当时， =0 , 则
=0或 =0
∴ ，
【归纳】运用因式分解的方法求一元二次方程的方法叫 。
把一个一元二次方程转化为两个 方程来解，体现了一种“ ”的思想
2、例1用因式分解法解下列方程：
（1） （2） （3）
【归纳】一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为 。 （2）将方程的左边进行因式分解。
（3）令每个因式为0，得两个一元二次方程。（4）解一元一次方程，得方程式的解。
3、练一练，用因式分解法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
三、巩固与应用：
1、解下列方程：
（1） （2） （3）
（4） （5） (6)
2、已知，求.
3、当K取什么实数时，方程有两个不相等的正数根.
4、一个直角三角形两条直角边相差7,面积是30，求斜边长.
四、小结： 1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
2.解一元二次方程的方法有哪几种？
五、作业：必做：课本练习； 选做：《作业精编》练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.2．4一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1．掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；
2.能运用韦达定理求出方程的一根与方程中的未知系数，能求出与两根有关的一些代数式的值。
【学习重点】韦达定理及其运用。
【学习难点】运用韦达定理解决有关问题。
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第15-16页内容，并完成下列问题
1．( 1 ) 一元二次方程的一般形式：
（2）一元二次方程的求根公式：
2．【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
【探究一】
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
+6x-16=0
-6x+8=0
【猜想1】若方程x2+px+q=0的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
3．【探究二】
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
2-3x+1=0
2+3x-5=0
【猜想2】若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
二、合作、交流、展示：
1．利用求根公式推到一元二次方程根与系数的关系
ax2+bx+c=0的两根= , =
= =
= =
= =
2．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
特别的，若方程x2+px+q=0的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
请用语言叙述上述结论。
3．【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4 （3）=4 （4）2=3x
【点拨】先将方程化为一般形式
4．【例2】已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
（与小伙伴交流你的做法）
5．【例3】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2） （3）
三、巩固与应用：
1．方程 则= ，= __
2．关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ，＝ 。
3．（选做）若关于的一元二次方程+ax+a+1=0的两根满足：+=6，求a的值.
4．已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
四、小结： 1. 韦达定理及其应用.
2. 运用韦达定理的前提条件： .
五、作业：必做：课本17页T7； 选做：《作业精编》练习.
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21.2一元二次方程的解法
【学习目标】
1．能熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
2.能根据方程特点选择简便的方法求解一元二次方程.
【学习重点】熟练运用四种方法解一元二次方程.
【学习难点】灵活选择方法解一元二次方程.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题
1． 解一元二次方程的基本思路是：将 方程化为 方程，即降次思想.
2.解一元二次方程的四种解法是 .
3．选择合适的方法解下列方程：
（1）4(x+5)2=16 （2）x2＋2x－8＝0 （3）x2－2x＝99；
（4）2x2-4x-1=0 （5） 3x(x+2)=5(x+2) （6）4(x+2)2=9(2x-1)2.
4．你认为下列方程你用什么方法来解更简便.
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x2－3x＝15； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
一元二次方程解法的选择顺序一般为： 、 、 、 .
二、合作、交流、展示：
1．【例1】选择合适的方法解下列方程：
(1) x2-2x+1=4； (2)x2+12x+27=0； (3)x(x-2)+x-2=0；
(4) 3x2+6x-5=0； (5) (x-4)2-(5-2x)2=0 ； (6) x2-6x=91.
2．【例2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． 且 D． 且
【根的判别式定理】
一般地，式子叫做方程 ，通常用希腊字母表示它，即
（1）△＞0 方程有两个 的实数根；
（2）△=0 方程有两个 的实数根
（3）△＜0 方程 实数根．
三、巩固与应用：
1．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0
2．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1
3．已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是 ；
4．关于的一元二次方程为．
（1）求出方程的根；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
四、小结： 1. 一元二次方程的有关概念；2．能熟练把一个一元二次方程化为一般形式.
五、作业：必做：P43练习T13、14. 选做：《作业精编》相应练习.
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21.3实际问题与一元二次方程（1）
【学习目标】
1．会根据具体问题（传播问题，增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解
2.掌握列方程解应用题的一般步骤.
【学习重点】建立数学模型，找相等关系，列方程.
【学习难点】审题，找相等关系列方程
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本19-20页内容，并完成下列问题
1．列方程解应用题的一般步骤 ： ；
2．【探究一】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示 ，第二轮后，共有
人患流感.
⑵根据相等关系列方程：
⑶解这个方程得：
⑷平均一个人传染了 个人.
⑸如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 人患流感.
3．【探究二】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为 元，12月份的营业额为 元，
由此就可列方程： .
二、合作、交流、展示：
1．【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3．【例2】两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
【分析】（1）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本为 元；两年后，甲种药品成本为 元.
对甲种药品而言根据相等关系列方程为：
解这个方程得：
甲种药品成本的年平均下降率为 .
（2）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大.
（3）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？
【归纳】若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）
三、巩固与应用：
1．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg.
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
3．一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数.
四、小结： 1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、找、设、列、解、验、答；
2．若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）；
五、作业：必做：P22练习T4、5、7. 选做：《作业精编》相应练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
21.3实际问题与一元二次方程（2）
【学习目标】
1．会根据具体问题（几何图形问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.
2.能熟练运用一元二次方程解决实际问题.
【学习重点】建立数学模型，找相等关系，列方程.
【学习难点】审题，找相等关系列方程.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本20-21页内容，并完成下列问题
1．列方程解应用题的一般步骤 ： ；
2.【问题】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 ，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的 ．
所以列出方程： ，
整理，得： ，
解方程，得：x= ，
因此，上下边衬的宽均为 cm，左、右边衬的宽均为 cm．
【分析2】（变换设未知数的方法，如何解决？）
二、合作、交流、展示：
1．【例1】要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片的四分之一，镜框边的宽度是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
【分析】“镜框所占面积为照片的四分之一”可转化为
解：
2．【例2】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为 m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的 .
解：
三、巩固与应用：
1. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
2．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
3．课本P26页第12题.
四、小结： 1. 列方程解应用题的一般步骤，注意巧妙设元.
2．转化思想.
五、作业：必做：P22练习T9、10. 选做：《作业精编》相应练习.
赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案
《一元二次方程》的小结与复习
【学习目标】
1．复习一元二次方程的解法，根的判别式定理、韦达定理；
2.能运用一元二次方程解决实际问题.
【学习重点】一元二次方程的解法及其应用.
【学习难点】运用一元二次方程方程解决实际问题.
【学习过程】
一、知识梳理：
1．结构框图：
2.一元二次方程的概念：等号两边都是 ，只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
3.一元二次方程的一般形式是： ，其中 是二次项， 是二次项
系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项.
4.一元二次方程的解法：① 、② 、③ 、④ .
5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= ，当⊿ 时，方程有两个不相等的实数根；当⊿ 时，方程有两个相等的实数根；当⊿ 时，方程没有实数根.（当⊿ 时，方程有实数根）
6.一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x= .
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2= ，x1 x2= .
若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2== ， x1 x2= .
二、基础巩固：
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 】
A． B． C． D．
2．方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= .
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 】
A． 1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
4．某市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为 ，此方程适宜用 法解.
5．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
6．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A． B． C． D．
7．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是
8．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是
9．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则 .
三、典例剖析：
1．【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0 ⑵
⑶ ⑷
2．【例2】先化简，再求值：
，其中是方程的根．
3．【例3】已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
4．【例4】已知x1、x2是方程x2+7x－5=0的两实数根，求的值
5．【例5】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
6．【例6】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
四、巩固与应用：
1．下列方程，是一元二次方程的是 .
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 】
A．1 B． C．2 D．
3．已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ．
4．用适当的方法解下列方程：
⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶ ⑷x2-3x-1=0
5．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
6．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．
7．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
8．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0
9．已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值.
五、小结： 1. 一元二次方程的解法及应用；2．综合运用根的判别式与韦达定理解题.
六、作业：必做：P25练习T1、2、3、4、6、7、11、13. 选做：《作业精编》相应练习.
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