第五章 一元函数的导数及其应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-11 15:26:28 | ||
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文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数的图象在点处的切线过点，则( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
2.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
3.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.若存在函数，想求解出的图像与直线，和x轴围成的面积，我们可以将转化为“”（其中a为任意常数），用“”表示“的图像与直线，和x轴围成的面积”.不难发现“”，我们称为的“面积函数".那么函数的图像与直线，和x轴围成的面积是( )
A. B. C. D.
5.设函数，a，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为( ).
A.1 B.3 C.1或3 D.不确定
6.已知函数(e为自然对数的底数)，若在区间上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列不等式正确的是( ).
A. B.
C. D.
10.若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有( ).
A. B.
C. D.
11.已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A.函数在上为单调递增函数
B.是函数的极小值点
C.函数至多有两个零点
D.时，不等式恒成立
12.关于函数，下列判断正确的是( )
A.是的极大值点
B.函数有且只有1个零点
C.存在正实数k，使得成立
D.对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在处的切线与直线平行，则_______.
14.已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为______________.
15.若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.
16.函数有两个零点，且极大值小于1，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：.
18.已知函数.
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围.
19.已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设函数，若恒成立，求实数a的取值范围.
20.已知函数(其中e为自然对数的底数，).
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)若，方程有两个不同的实数根，求证：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意得，，则函数的图象在点处的切线方程为.因为函数的图象在点处的切线过点，所以，解得，故选C.
2.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，所以实数a的取值范围是.故选A.
3.答案：D
解析：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
4.答案：A
解析：由题意得是的导函数.中存在因式，且括号内最高次项为，不妨设，其中，则，解得，则，故选A.
5.答案：B
解析：对求导得，
令，得，则该方程必有一根为2，代入，有，解得，则.
因为2是的极小值点，且，所以为方程的较小根，从而，故.
又a为正整数，所以.故的极大值点为3.
6.答案：C
解析：因为，记，则.
当时，，所以函数在上单调递减.
又，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时，有极大值也是最大值，.
若在上有两解，应有，，
所以，此时，所以在上有两解成立，故选C.
7.答案：A
解析：令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A.
8.答案：D
解析：由题可知，为偶函数，，且.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
故当时，，即，即在上单调递增，
故在上没有零点，由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；
当时，存在，使，当时，，即在上单调递减，故，即，故在上单调递减，
故，且，则在上有零点，不符合题意，故，即实数m的最小值为，故选D.
9.答案：AB
解析：由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数的图象上任意一点的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，即.故选AB.
10.答案：BC
解析：由题意可知是R上的增函数.
对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；
对于B，，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；
对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；
对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”.
11.答案：ABC
解析：因为，所以当时，；当时，.因为，所以，则当时，；当时，.所以函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则是函数的极小值点，则选项A，B均正确.当时，函数至多有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点，所以选项C正确.，又在区间上单调递减，所以当时，，又，所以，故选项D错误.故选ABC.
12.答案：BD
解析：对于A，函数的定义域为，，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故A错误.
对于B，，，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，故B正确.
对于C，若，即，则，令，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k，使得恒成立，故C错误.
对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，点因为对任意两个正实数且，若，则，令，则，由，得，即，即，即，解得，所以.故要证，即证，即，即证.因为，所以，所以即证.令，，，所以在上是增函数.因为时，，所以，所以在上是增函数.因为时，，所以，所以，所以，故D正确.故选BD.
13.答案：
解析：，，故，，则.
14.答案：
解析：由题意可知有解有解，
设，则，
当时，，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，.
15.答案：
解析：构造函数，则，
函数满足，，故在R上单调递增.
又，，不等式，即，
由在R上单调递增，可知.
16.答案：
解析：由题知的定义域为，则，
当时，，则在上单调递增，函数不可能有两个零点；当时，令，得；
令，得，则在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，极大值为.
又当时，；当时，，且有两个零点，
，解得.
的极大值小于1，，解得.
综上，实数a的取值范围是.
17.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减.
(2)见解析.
解析：(1)依题意得，.
令，得；
令，得或.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)可知函数的极小值，极大值.
当时，，当时，，
画出的大致图象如图所示.
方程有3个不等实根等价于直线与函数的图象有3个不同交点，
不妨设，由图象可知.
构造函数，
则.
当时，，
则在上单调递减，.
所以，故，
由(1)知，在上单调递减，所以，
即，又，故.
18.答案：(1).
(2)的取值范围是.
解析：(1)由题可知，要使恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，所以在上单调递增，
又，与矛盾，不满足题意.
当时，若，则；
若，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
综上，.
(2)由题可知，所以是方程的两个根，
所以，所以，所以.
又，所以.
不妨设，则上式转化为.
令，则在上恒成立.
由，易知.
令，则.
令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.
①当，即时，，
则在上恒成立，在上单调递减，
则，符合题意.
②当，即时，，此时存在唯一的，
使得，
则在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
19.答案：(I)当时，函数在上单调递增;
当时，函数在上单调递增，在上单调递减
(Ⅱ)
解析：(I)函数的定义域为，
，
所以当时，在上恒成立，
故函数在上单调递增;
当时，令，
解得.
当时，，故函数在上单调递增;
当时，，故函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增;
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
(Ⅱ)由题知恒成立，等价于恒成立.
当时，不恒成立，故，
所以恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
令，则，
易知函数为上的增函数，
所以恒成立等价于恒成立，即恒成立，
所以恒成立.
令，
则，
令，得，
令，得，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为.
20.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)当时，，
则，
因此，
故曲线在点处的切线方程为.
(2)由题意知方程有两个不同的实数根.
对于函数，
令，解得，
令，解得，
则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得.
又当时，，所以方程的两个不同的实数根均大于0.
当时，方程即方程，
则原问题等价于有两个不同的正实数根.
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则.
令，
则，
因此在上单调递增，
从而当时，，
所以，
因为，函数在上单调递减，
所以，即，
则，
故原命题得证.
2
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数的图象在点处的切线过点，则( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
2.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
3.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.若存在函数，想求解出的图像与直线，和x轴围成的面积，我们可以将转化为“”（其中a为任意常数），用“”表示“的图像与直线，和x轴围成的面积”.不难发现“”，我们称为的“面积函数".那么函数的图像与直线，和x轴围成的面积是( )
A. B. C. D.
5.设函数，a，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为( ).
A.1 B.3 C.1或3 D.不确定
6.已知函数(e为自然对数的底数)，若在区间上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列不等式正确的是( ).
A. B.
C. D.
10.若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有( ).
A. B.
C. D.
11.已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A.函数在上为单调递增函数
B.是函数的极小值点
C.函数至多有两个零点
D.时，不等式恒成立
12.关于函数，下列判断正确的是( )
A.是的极大值点
B.函数有且只有1个零点
C.存在正实数k，使得成立
D.对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在处的切线与直线平行，则_______.
14.已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为______________.
15.若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.
16.函数有两个零点，且极大值小于1，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：.
18.已知函数.
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围.
19.已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设函数，若恒成立，求实数a的取值范围.
20.已知函数(其中e为自然对数的底数，).
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)若，方程有两个不同的实数根，求证：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意得，，则函数的图象在点处的切线方程为.因为函数的图象在点处的切线过点，所以，解得，故选C.
2.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，所以实数a的取值范围是.故选A.
3.答案：D
解析：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
4.答案：A
解析：由题意得是的导函数.中存在因式，且括号内最高次项为，不妨设，其中，则，解得，则，故选A.
5.答案：B
解析：对求导得，
令，得，则该方程必有一根为2，代入，有，解得，则.
因为2是的极小值点，且，所以为方程的较小根，从而，故.
又a为正整数，所以.故的极大值点为3.
6.答案：C
解析：因为，记，则.
当时，，所以函数在上单调递减.
又，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时，有极大值也是最大值，.
若在上有两解，应有，，
所以，此时，所以在上有两解成立，故选C.
7.答案：A
解析：令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A.
8.答案：D
解析：由题可知，为偶函数，，且.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
故当时，，即，即在上单调递增，
故在上没有零点，由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；
当时，存在，使，当时，，即在上单调递减，故，即，故在上单调递减，
故，且，则在上有零点，不符合题意，故，即实数m的最小值为，故选D.
9.答案：AB
解析：由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数的图象上任意一点的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，即.故选AB.
10.答案：BC
解析：由题意可知是R上的增函数.
对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；
对于B，，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；
对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；
对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”.
11.答案：ABC
解析：因为，所以当时，；当时，.因为，所以，则当时，；当时，.所以函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则是函数的极小值点，则选项A，B均正确.当时，函数至多有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点，所以选项C正确.，又在区间上单调递减，所以当时，，又，所以，故选项D错误.故选ABC.
12.答案：BD
解析：对于A，函数的定义域为，，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故A错误.
对于B，，，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，故B正确.
对于C，若，即，则，令，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k，使得恒成立，故C错误.
对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，点因为对任意两个正实数且，若，则，令，则，由，得，即，即，即，解得，所以.故要证，即证，即，即证.因为，所以，所以即证.令，，，所以在上是增函数.因为时，，所以，所以在上是增函数.因为时，，所以，所以，所以，故D正确.故选BD.
13.答案：
解析：，，故，，则.
14.答案：
解析：由题意可知有解有解，
设，则，
当时，，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，.
15.答案：
解析：构造函数，则，
函数满足，，故在R上单调递增.
又，，不等式，即，
由在R上单调递增，可知.
16.答案：
解析：由题知的定义域为，则，
当时，，则在上单调递增，函数不可能有两个零点；当时，令，得；
令，得，则在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，极大值为.
又当时，；当时，，且有两个零点，
，解得.
的极大值小于1，，解得.
综上，实数a的取值范围是.
17.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减.
(2)见解析.
解析：(1)依题意得，.
令，得；
令，得或.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)可知函数的极小值，极大值.
当时，，当时，，
画出的大致图象如图所示.
方程有3个不等实根等价于直线与函数的图象有3个不同交点，
不妨设，由图象可知.
构造函数，
则.
当时，，
则在上单调递减，.
所以，故，
由(1)知，在上单调递减，所以，
即，又，故.
18.答案：(1).
(2)的取值范围是.
解析：(1)由题可知，要使恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，所以在上单调递增，
又，与矛盾，不满足题意.
当时，若，则；
若，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
综上，.
(2)由题可知，所以是方程的两个根，
所以，所以，所以.
又，所以.
不妨设，则上式转化为.
令，则在上恒成立.
由，易知.
令，则.
令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.
①当，即时，，
则在上恒成立，在上单调递减，
则，符合题意.
②当，即时，，此时存在唯一的，
使得，
则在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
19.答案：(I)当时，函数在上单调递增;
当时，函数在上单调递增，在上单调递减
(Ⅱ)
解析：(I)函数的定义域为，
，
所以当时，在上恒成立，
故函数在上单调递增;
当时，令，
解得.
当时，，故函数在上单调递增;
当时，，故函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增;
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
(Ⅱ)由题知恒成立，等价于恒成立.
当时，不恒成立，故，
所以恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
令，则，
易知函数为上的增函数，
所以恒成立等价于恒成立，即恒成立，
所以恒成立.
令，
则，
令，得，
令，得，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为.
20.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)当时，，
则，
因此，
故曲线在点处的切线方程为.
(2)由题意知方程有两个不同的实数根.
对于函数，
令，解得，
令，解得，
则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得.
又当时，，所以方程的两个不同的实数根均大于0.
当时，方程即方程，
则原问题等价于有两个不同的正实数根.
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则.
令，
则，
因此在上单调递增，
从而当时，，
所以，
因为，函数在上单调递减，
所以，即，
则，
故原命题得证.
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