苏教版（2019）选择性必修第一册《第1章 直线与方程》2023年单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册《第1章 直线与方程》2023年单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 167.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-11 15:28:24 | ||
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文档简介
苏教版（2019）选择性必修第一册《第1章 直线与方程》2023年单元测试卷（1）
一、选择题
1．（5分）直线x+3y+1＝0在y轴上的截距是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（5分）直线2x﹣3y+m＝0和3x+2y+n＝0的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
3．（5分）已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x﹣2）+1距离的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（5分）设a∈R，则“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知直线l1：y＝2x﹣5k+7与直线l2：y＝﹣x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜2 C．1＜k＜3 D．﹣1＜k＜3
7．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A（3，0），B（1，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣4＝0 C．x+y﹣3＝0 D．2x﹣y+1＝0
8．（5分）直线l过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[0，π） B．[0，]∪[，π]
C．[0，] D．[0，]∪（，π）
二、多选题
（多选）9．（5分）如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）10．（5分）下列说法错误的是（ ）
A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B．平行的两条直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两条直线的斜率之积为﹣1
D．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行
（多选）11．（5分）已知直线l：x﹣y+1＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线，则l⊥m
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
（多选）12．（5分）若直线m被两条平行线l1：x﹣y+1＝0和l2：x﹣y+3＝0所载得的线段长为，则直线m的倾斜角为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．75°
三、填空题
13．（5分）经过点P（1，2）且与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程是 ．
14．（5分）已知直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为 ．
15．（5分）点P（﹣1，0）关于直线x﹣1＝0的对称点的坐标是 ．
16．（5分）已知点P（2，1），直线l：x﹣y﹣4＝0，则点P到直线l的距离为 ，直线l关于点P对称的直线方程为 ．
四、解答题
17．（10分）有下列3个条件：①l'与l平行且过点（﹣1，3）；②l'与l垂直，且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4；③l'是l绕原点旋转180°而得到的直线．从中任选1个，补充到下面．的问题中并解答．
问题：已知直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，且_____，求直线l'的方程．
18．（12分）已知直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，求m的值，使得：
（1）l1⊥l2
（2）l1∥l2．
19．（12分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程．
20．（12分）已知一组动直线方程为：kx﹣y+1﹣2k＝0，（k∈R）．
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x轴正半轴，y轴正半轴半分别交于点A，B两点，求△AOB面积的最小值．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第1章 直线与方程》2023年单元测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．解：直线x+3y+1＝0化为y＝﹣x﹣，
所以该直线在y轴上的截距是﹣．
故选：C．
2．解：∵直线2x﹣3y+m＝0的斜率k＝，
3x+2y+n＝0的斜率k′＝﹣，
kk′＝﹣1，
∴直线2x﹣3y+m＝0和3x+2y+n＝0垂直．
故选：B．
3．解：根据中点坐标公式得到，
解得，
所以P的坐标为（4，1）
则点P（x，y）到原点的距离d＝＝
故选：D．
4．解：记A（0，﹣1），直线y＝k（x﹣2）+1恒过定点B（2，1），
如图，设点到直线的距离为d，所以d≤|AB|，故当直线与AB垂直时，A点到直线的距离最大，为．
故选：B．
5．解：当直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行时，
a2＝1，得a＝1或a＝﹣1，
∴“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的必要不充分条件．
故选：B．
6．解：由题意联立方程组，
解方程组可得，
∴两直线的交点为（2k﹣2，﹣k+3），
又∵交点位于第一象限，
∴，解得1＜k＜3
故选：C．
7．解：∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
设AB的中点为D，
则△ABC的欧拉线就是AB的垂直平分线，即直线CD，D点坐标为（2，1），
∵，
∴＝1，
故直线CD为y﹣1＝x﹣2，即x﹣y﹣1＝0．
故选：A．
8．解：设直线的倾斜角为α，
则，
∵0≤α＜π，
∴0或，
故直线l的倾斜角的取值范围为．
故选：D．
二、多选题
9．解：∵直线Ax+By+C＝0，即y＝﹣ x﹣，
∵AB＜0，BC＞0，∴直线的斜率﹣＞0，在y轴上的截距﹣＜0，
故直线Ax+By+C＝0经过第一、三、四象限，
故选：ACD．
10．解：因为两条直线倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率；所以平行的两条直线的斜率一定存在且相等，不正确；
平行的两条直线的倾斜角一定相等，正确；
垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为﹣1，所以C不正确；
斜率不存在的两条直线也能够平行，所以说只有斜率都存在且相等的两条直线才平行，不正确；
故选：ACD．
11．解：对于A．直线的斜率k＝tanθ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；
对于B．因为直线的斜率k′＝，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C．点到直线l的距离d＝＝2，故C正确；
对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2＝（x﹣2），整理得：，故D正确．
综上所述，正确的选项为CD．
故选：CD．
12．解：两条平行直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y+3＝0之间的距离等于d＝＝，
设直线m与两平行直线的夹角为θ，
则有sinθ＝＝，解得θ＝30°．
由于两平行直线的斜率为1，
故它们的倾斜角等于45°，
可得直线m的倾斜角可以是 45°±30°，
故m的倾斜角可以是75°或15°．
故选：AD．
三、填空题
13．解：∵所求直线方程与直线x﹣2y﹣2＝0垂直，∴设方程为2x+y+c＝0
∵直线过点（1，2），∴2+2+c＝0
∴c＝﹣4
∴所求直线方程为2x+y﹣4＝0．
故答案为：2x+y﹣4＝0．
14．解：∵已知直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，
∴＝≠，求得m＝4，
故两条平行直线即 直线2x+4y+6＝0与直线2x+4y+1＝0，
则它们之间的距离为 ＝，
故答案为：．
15．解：设P（﹣1，0）关于直线x﹣1＝0的对称点为P′（m，n），
则由题意可得，解得．
∴点P（﹣1，0）关于直线x﹣1＝0的对称点的坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
16．解：点P（2，1），直线l：x﹣y﹣4＝0，
则点P到直线l的距离为，
设直线l关于点P（2，1）的对称直线为l'，
则直线l上任一点P1（x1，y1）关于点P（2，1）的对称点P1'（x，y）一定在直线l'上，
，解得，
将（x1，y1）代入直线l的方程可得，x﹣y+2＝0．
四、解答题
17．解：选择条件①，∵直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，l'与l平行，
∴可设直线l'的方程为3x+4y+m＝0，
∵l'过点（﹣1，3），
∴﹣3+12+m＝0，解得m＝﹣9，
故直线l'的方程为3x+4y﹣9＝0．
选择条件②，∵直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，l'与l垂直，
∴kl'＝，
设l'在x轴上的截距为b，
则l'在y轴上的截距为，
∵l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
∴，解得b＝，
∴直线l'为y＝或y＝．
选择条件③，∵l'是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l'与l关于原点对称，
任取点（x0，y0）在l上，设其在l'上的对称点为（x，y），
则x＝﹣x0，y＝﹣y0，
∴﹣3x﹣4y﹣12＝0，
故直线l'的方程为3x+4y+12＝0．
18．解：（1）m＝0时，两条直线不垂直，舍去．
m≠0时，∵l1⊥l2，∴×＝﹣1，解得m＝．
综上可得：m＝．
（2）由m（m﹣2）﹣3＝0，解得：m＝3或﹣1．
经过验证m＝3时两条直线重合，舍去．
∴m＝﹣1时，l1∥l2．
19．解：（1）由已知A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，
由，得，故A（﹣1，0），
所以kAC＝﹣kAB＝﹣1，又，
所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），
由，得C（5，﹣6），
所以点A和点C的坐标为A（﹣1，0），C（5，﹣6）；
（2）由（1）知AC所在直线方程为x+y+1＝0，
所以直线l的斜率为k＝1，
因为B（1，2），所以直线l所在的方程为y﹣2＝x﹣1，即y＝x+1，
所以直线l的斜截式方程为y＝x+1．
20．解：（1）直线kx﹣y+1﹣2k＝0，即 k（x﹣2）﹣y+1＝0，令x﹣2＝0，
求得x＝2，y＝1，可得直线经过定点（2，1）．
（2）由题意直线与x轴正半轴，y轴正半轴半分别交于点A，B两点，k＜0，
可得A的横坐标为2﹣，B的纵坐标为1﹣2k，
故△AOB面积为 （2﹣） （1﹣2k）＝（2﹣4k﹣+2）＝3+（﹣4k﹣）≥3+＝4，
当且仅当4k＝，即k＝﹣时，取等号．
故△AOB面积的最小值为4，当时取等号
一、选择题
1．（5分）直线x+3y+1＝0在y轴上的截距是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（5分）直线2x﹣3y+m＝0和3x+2y+n＝0的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
3．（5分）已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x﹣2）+1距离的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（5分）设a∈R，则“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知直线l1：y＝2x﹣5k+7与直线l2：y＝﹣x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜2 C．1＜k＜3 D．﹣1＜k＜3
7．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A（3，0），B（1，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣4＝0 C．x+y﹣3＝0 D．2x﹣y+1＝0
8．（5分）直线l过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[0，π） B．[0，]∪[，π]
C．[0，] D．[0，]∪（，π）
二、多选题
（多选）9．（5分）如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）10．（5分）下列说法错误的是（ ）
A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B．平行的两条直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两条直线的斜率之积为﹣1
D．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行
（多选）11．（5分）已知直线l：x﹣y+1＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线，则l⊥m
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
（多选）12．（5分）若直线m被两条平行线l1：x﹣y+1＝0和l2：x﹣y+3＝0所载得的线段长为，则直线m的倾斜角为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．75°
三、填空题
13．（5分）经过点P（1，2）且与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程是 ．
14．（5分）已知直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为 ．
15．（5分）点P（﹣1，0）关于直线x﹣1＝0的对称点的坐标是 ．
16．（5分）已知点P（2，1），直线l：x﹣y﹣4＝0，则点P到直线l的距离为 ，直线l关于点P对称的直线方程为 ．
四、解答题
17．（10分）有下列3个条件：①l'与l平行且过点（﹣1，3）；②l'与l垂直，且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4；③l'是l绕原点旋转180°而得到的直线．从中任选1个，补充到下面．的问题中并解答．
问题：已知直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，且_____，求直线l'的方程．
18．（12分）已知直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，求m的值，使得：
（1）l1⊥l2
（2）l1∥l2．
19．（12分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程．
20．（12分）已知一组动直线方程为：kx﹣y+1﹣2k＝0，（k∈R）．
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x轴正半轴，y轴正半轴半分别交于点A，B两点，求△AOB面积的最小值．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第1章 直线与方程》2023年单元测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．解：直线x+3y+1＝0化为y＝﹣x﹣，
所以该直线在y轴上的截距是﹣．
故选：C．
2．解：∵直线2x﹣3y+m＝0的斜率k＝，
3x+2y+n＝0的斜率k′＝﹣，
kk′＝﹣1，
∴直线2x﹣3y+m＝0和3x+2y+n＝0垂直．
故选：B．
3．解：根据中点坐标公式得到，
解得，
所以P的坐标为（4，1）
则点P（x，y）到原点的距离d＝＝
故选：D．
4．解：记A（0，﹣1），直线y＝k（x﹣2）+1恒过定点B（2，1），
如图，设点到直线的距离为d，所以d≤|AB|，故当直线与AB垂直时，A点到直线的距离最大，为．
故选：B．
5．解：当直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行时，
a2＝1，得a＝1或a＝﹣1，
∴“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的必要不充分条件．
故选：B．
6．解：由题意联立方程组，
解方程组可得，
∴两直线的交点为（2k﹣2，﹣k+3），
又∵交点位于第一象限，
∴，解得1＜k＜3
故选：C．
7．解：∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
设AB的中点为D，
则△ABC的欧拉线就是AB的垂直平分线，即直线CD，D点坐标为（2，1），
∵，
∴＝1，
故直线CD为y﹣1＝x﹣2，即x﹣y﹣1＝0．
故选：A．
8．解：设直线的倾斜角为α，
则，
∵0≤α＜π，
∴0或，
故直线l的倾斜角的取值范围为．
故选：D．
二、多选题
9．解：∵直线Ax+By+C＝0，即y＝﹣ x﹣，
∵AB＜0，BC＞0，∴直线的斜率﹣＞0，在y轴上的截距﹣＜0，
故直线Ax+By+C＝0经过第一、三、四象限，
故选：ACD．
10．解：因为两条直线倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率；所以平行的两条直线的斜率一定存在且相等，不正确；
平行的两条直线的倾斜角一定相等，正确；
垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为﹣1，所以C不正确；
斜率不存在的两条直线也能够平行，所以说只有斜率都存在且相等的两条直线才平行，不正确；
故选：ACD．
11．解：对于A．直线的斜率k＝tanθ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；
对于B．因为直线的斜率k′＝，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C．点到直线l的距离d＝＝2，故C正确；
对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2＝（x﹣2），整理得：，故D正确．
综上所述，正确的选项为CD．
故选：CD．
12．解：两条平行直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y+3＝0之间的距离等于d＝＝，
设直线m与两平行直线的夹角为θ，
则有sinθ＝＝，解得θ＝30°．
由于两平行直线的斜率为1，
故它们的倾斜角等于45°，
可得直线m的倾斜角可以是 45°±30°，
故m的倾斜角可以是75°或15°．
故选：AD．
三、填空题
13．解：∵所求直线方程与直线x﹣2y﹣2＝0垂直，∴设方程为2x+y+c＝0
∵直线过点（1，2），∴2+2+c＝0
∴c＝﹣4
∴所求直线方程为2x+y﹣4＝0．
故答案为：2x+y﹣4＝0．
14．解：∵已知直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，
∴＝≠，求得m＝4，
故两条平行直线即 直线2x+4y+6＝0与直线2x+4y+1＝0，
则它们之间的距离为 ＝，
故答案为：．
15．解：设P（﹣1，0）关于直线x﹣1＝0的对称点为P′（m，n），
则由题意可得，解得．
∴点P（﹣1，0）关于直线x﹣1＝0的对称点的坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
16．解：点P（2，1），直线l：x﹣y﹣4＝0，
则点P到直线l的距离为，
设直线l关于点P（2，1）的对称直线为l'，
则直线l上任一点P1（x1，y1）关于点P（2，1）的对称点P1'（x，y）一定在直线l'上，
，解得，
将（x1，y1）代入直线l的方程可得，x﹣y+2＝0．
四、解答题
17．解：选择条件①，∵直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，l'与l平行，
∴可设直线l'的方程为3x+4y+m＝0，
∵l'过点（﹣1，3），
∴﹣3+12+m＝0，解得m＝﹣9，
故直线l'的方程为3x+4y﹣9＝0．
选择条件②，∵直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，l'与l垂直，
∴kl'＝，
设l'在x轴上的截距为b，
则l'在y轴上的截距为，
∵l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
∴，解得b＝，
∴直线l'为y＝或y＝．
选择条件③，∵l'是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l'与l关于原点对称，
任取点（x0，y0）在l上，设其在l'上的对称点为（x，y），
则x＝﹣x0，y＝﹣y0，
∴﹣3x﹣4y﹣12＝0，
故直线l'的方程为3x+4y+12＝0．
18．解：（1）m＝0时，两条直线不垂直，舍去．
m≠0时，∵l1⊥l2，∴×＝﹣1，解得m＝．
综上可得：m＝．
（2）由m（m﹣2）﹣3＝0，解得：m＝3或﹣1．
经过验证m＝3时两条直线重合，舍去．
∴m＝﹣1时，l1∥l2．
19．解：（1）由已知A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，
由，得，故A（﹣1，0），
所以kAC＝﹣kAB＝﹣1，又，
所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），
由，得C（5，﹣6），
所以点A和点C的坐标为A（﹣1，0），C（5，﹣6）；
（2）由（1）知AC所在直线方程为x+y+1＝0，
所以直线l的斜率为k＝1，
因为B（1，2），所以直线l所在的方程为y﹣2＝x﹣1，即y＝x+1，
所以直线l的斜截式方程为y＝x+1．
20．解：（1）直线kx﹣y+1﹣2k＝0，即 k（x﹣2）﹣y+1＝0，令x﹣2＝0，
求得x＝2，y＝1，可得直线经过定点（2，1）．
（2）由题意直线与x轴正半轴，y轴正半轴半分别交于点A，B两点，k＜0，
可得A的横坐标为2﹣，B的纵坐标为1﹣2k，
故△AOB面积为 （2﹣） （1﹣2k）＝（2﹣4k﹣+2）＝3+（﹣4k﹣）≥3+＝4，
当且仅当4k＝，即k＝﹣时，取等号．
故△AOB面积的最小值为4，当时取等号