苏教版（2019）选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程 单元测试卷（1）（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程 单元测试卷（1）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 413.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-11 15:28:57 | ||
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文档简介
苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》2023年单元测试卷（1）
一、选择题
1．（5分）抛物线y2＝20x的焦点坐标为（ ）
A．（10，0） B．（5，0） C．（0，10） D．（0，5）
2．（5分）椭圆3x2+ky2＝1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（5分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若双曲线与椭圆+＝1有相同的焦点，且它的一条渐近线的方程为y＝x，则此双曲线的方程是（ ）
A．x2﹣y2＝96 B．y2﹣x2＝160 C．x2﹣y2＝80 D．y2﹣x2＝24
5．（5分）若双曲线+＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（5分）已知点P是抛物线y2＝6x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（5分）若AB过椭圆+＝1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在一点P，使∠OPA＝90°，其中O为原点，A为右顶点，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（，1）
二、多选题
（多选）9．（5分）已知方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，则（ ）
A．mn＞0时，方程表示椭圆
B．mn＜0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
（多选）10．（5分）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为+x2＝1
B．椭圆C的方程为+y2＝1
C．|PQ|＝
D．△PF2Q的周长为4
（多选）11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法中正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线﹣＝1与双曲线C的渐近线相同
C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为
D．PF长的最小值为2
（多选）12．（5分）设A、B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，且OA⊥OB，则下列结论成立的是（ ）
A．点O到直线AB的距离不大于1
B．直线AB过定点（1，0）
C．直线AB过点
D．|OA||OB|≥2
三、填空题
13．（5分）已知直线l：y＝kx﹣4与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则实数k的值为 ．
14．（5分）与椭圆9x2+4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ．
15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，准线为l0，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点（A在B的上方），过点A作AP⊥l0，垂足为P，点G为∠PAB的角平分线与l0的交点，则|FG|＝ ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为5，其渐近线与圆M：x2+y2﹣6y+m＝0相切，则m＝ ．
四、解答题
17．（10分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上点A（﹣2p，0）．若当MF⊥x轴时，△MAF的面积为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若∠MFA+2∠MAF＝π，求点M的坐标．
18．（12分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线与椭圆的交点，求cos∠F1PF2．
19．（12分）已知双曲线C1：x2﹣＝1（b＞0）的左焦点为F，直线l是圆心C2：x2+y2＝b2的一条切线，O为坐标原点．
（1）若曲线C1与C2的交点恰为一个正方形的四个顶点，求该正方形的面积；
（2）求证：若直线l过点F，则l与曲线C1恰有一个交点；
（3）若b＝，设直线l与曲线C1交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．
20．（12分）已知直线l的方程为y＝x+2，点P是抛物线y2＝4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2＝4x交于点B．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．
21．（12分）已知直线（k+1）x﹣y﹣3﹣3k＝0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x2+y2＝1，直线l：mx+ny＝1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）
22．（12分）已知，椭圆C过点A（），两个焦点为（0，2），（0，﹣2），E，F是椭圆C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线EF的斜率为定值．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》2023年单元测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．解：∵抛物线y2＝20x的焦点在x轴上，且p＝10
∴＝5，
∴抛物线y2＝20x的焦点坐标为（5，0）
故选：B．
2．解：由题意，b2＝，a2＝
∴c2＝﹣＝1，
∴k＝
∴e2＝k＝
∴e＝
故选：D．
3．解：由双曲线的方程得a＝1，
∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴2b＝2×2a＝4，即b＝2，
则双曲线的顶点为A（1，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，
不妨取渐近线y＝2x，即2x﹣y＝0，
则顶点到渐近线的距离d＝＝＝，
故选：B．
4．解：双曲线与椭圆+＝1有相同的焦点（0，±4），
它的一条渐近线的方程为y＝x，可得a＝b，所以a2+b2＝（4）2，可得a2＝24．
所以双曲线的方程是y2﹣x2＝24．
故选：D．
5．解：双曲线+＝1（a＞0，b＞0）的渐近线：ay±bx＝0，
双曲线+＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，
可得x2±+1＝0，Δ＝，所以，
所以e＝＝＝．
故选：C．
6．解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，
则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PM|≥|MF|＝＝．
故选：C．
7．解：设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），
则△F1AB面积S＝OF×|2y|＝c|y|．
∴当|y|最大时，△F1AB面积最大，
由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，
则△F1AB面积的最大值为：cb＝×4＝12．
故选：B．
8．解：∵A（a，0），设P（x，y），由∠OPA＝90°，且P在椭圆+＝1上，
可得，解得x＝a或x＝，又0＜x＜a，
∴，∴2b2＜a2，∴2（a2﹣c2）＜a2，
∴a2＜2c2，∴，∴，
∴e＞，又e＜1，
∴该椭圆的离心率e的取值范围为（，1）．
故选：C．
二、多选题
9．解：方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，
当m＜0，n＜0时，方程不表示椭圆，故A错；
当mn＜0时，方程表示双曲线，故B对；
当n＝0时，mx2＝1，m＞0，方程表示两条直线；m≤0时，不表示任何图象，故C错；
n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．
故选：BD．
10．解：由已知得，2b＝2，b＝1，，
又a2＝b2+c2，解得a2＝3．
∴椭圆方程为．
如图：
∴|PQ|＝，△PF2Q的周长为4a＝4．
故选：ACD．
11．解：A中，由双曲线C的方程可得a＝2，b＝，可得c＝＝，所以离心率为：e＝＝，所以A正确；
B中，由双曲线C的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，而双曲线﹣＝1的渐近线的方程为：y＝±x所以B正确；
C中，由双曲线的方程可得右焦点F（，0），因为P在渐近线上，若OP⊥PF，tan∠POF＝＝，可得|OP|＝|OF| cos∠POF＝ ＝2，|PF|＝＝b＝，所以S△POF＝|OP| |PF|＝×2×＝，所以C正确；
D中，当PF与渐近线垂直时，PF的值最小，由C的方程可得，且PF＝b＝，所以D不正确；
故选：ABC．
12．解：设直线AB方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB方程代入抛物线方程y＝x2，
得x2﹣kx﹣b＝0，
则x1+x2＝k，x1x2＝﹣b，
∵OA⊥OB，∴kOA kOB＝﹣b＝﹣1，b＝1．
于是直线AB方程为y＝kx+1，该直线过定点（0，1），不过点（0，），
所以选项B、C错误；
又点O到直线AB的距离为d＝≤1，所以A正确；
当k＝0时，|OA||OB|取得最小值2，所以|OA| |OB|≥2，选项D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．解：由，得（kx﹣4）2＝8x，
∴k2x2﹣8kx+16＝8x，
整理，得k2x2﹣（8k+8）x+16＝0，
∵直线l：y＝kx﹣4与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，
∴Δ＝（8k+8）2﹣64k2＝0，解得k＝，
当直线与x轴平行时，k＝0．所以直线与抛物线有一个交点．
故答案为：0或﹣．
14．解：椭圆9x2+4y2＝36的标准方程为：+＝1，可得它的焦点为（0，±），
由题意可得所求的焦点坐标为：（0，±），即焦点在y轴上，且c＝，
由短轴长2b＝2，可得b＝1，所以a2＝b2+c2＝1+5＝6，
所以所求的椭圆的标准方程为：+x2＝1；
故答案为：+x2＝1．
15．解：由抛物线方程可知：F（，0），准线方程为：x＝﹣，
设A（x1，y1），B（x2，y2），G（﹣），
过点B作BQ⊥l0，连接GF，GB，
因为|AP|＝|AF|，∠PAG＝∠FAG，所以△PAG≌△FAG，
所以|PG|＝|FG|，∠AFG＝∠APG＝，因此RT△GQB≌RT△GFB，
所以|QG|＝|FG|＝|PG|，则G为PQ的中点，则y，
由可得：y1+y2＝6，
所以y0＝3，则G（﹣，3），故|FG|＝，
故答案为：3．
16．解：由双曲线的离心率e＝＝5可得：52＝＝1+，a＞0，b＞0可得＝2，即渐近线的方程为：y＝x，即2x±y＝0，
x2+y2﹣6y+m＝0的圆心坐标为：（0，3），半径为：，
又由于渐近线与圆M：x2+y2﹣6y+m＝0相切，所以＝，所以m＝，
故答案为：．
四、解答题
17．解：（1）当MF⊥x轴时，点M（，±p），F（，0），
则|AF|＝，|MP|＝p，
∴＝＝5，解得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x．
（2）设M（x0，y0），由（1）可知A（﹣4，0），F（1，0），
∴，，
因为∠MFA+2∠MAF＝π，
所以tan∠MFA＝﹣tan（2∠MAF）＝﹣，
∴，整理得，
解得x0＝4或x0＝﹣6，或y0＝0，因为∠MFA+2∠MAF＝π，所以x0＞0，
∴x0＝4，
∴y0＝±4，
故点M的坐标为（4，4）或（4，﹣4）．
18．解：（Ⅰ）由题意知，半焦距c＝，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a﹣4，
离心率之比为＝，
∴a＝7，
∴椭圆的短半轴等于＝6，
双曲线虚半轴的长为＝2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
和 ．
（Ⅱ）由椭圆的定义得：PF1+PF2＝2a＝14，
由双曲线的定义得：PF1﹣PF2＝±6，
∴PF1与PF2中，一个是10，另一个是 4，不妨令PF1＝10，PF2＝4，
又F1F2＝2，三角形F1PF2中，利用余弦定理得：＝100+16﹣80cos∠F1PF2，
∴cos∠F1PF2＝．
19．解：（1）如图，设A为该正方形的一个顶点，B为正方形和x轴的一个交点，连接OA，则：
线段OA在正方形的对角线上；
∴△AOB为等腰直角三角形，AO＝b；
∴，正方形的边长为；
∴正方形的面积为2b2；
（2）设直线l的斜率为k，直线方程为y＝k（x+c），则：
原点O到直线l的距离为b；
∴；
∴；
∴k＝±b；
若k＝b，l方程为y＝b（x+c），代入双曲线方程并整理得：
2cx+c2+1＝0，显然该方程只有一个实数解；
∴l和双曲线只有一个交点；
k＝﹣b时同样如此；
∴若直线l过点F，则l与曲线C1恰有一个交点；
（3）证明：①设点P（x0，y0） （x0y0≠0）在圆x2+y2＝2上；
圆在点P（x0，y0）处的切线l的方程为；
化简得x0x+y0y＝2；
由及得；
因为切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且；
∴，且；
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）；
则；
因为；
＝
＝
＝
＝；
∴cos∠AOB＝0；
所以∠AOB的大小为90°；
②当切点为圆与x轴交点时，如图所示：
由可求得A，B坐标：A（），B（﹣）；
∴；
∴AO2+BO2＝AB2；
∴∠A0B＝90°，同样当切点为圆与x轴正半轴或y轴时的交点时，同样可求得∠AOB＝90°；
∴综上得∠AOB为定值．
20．解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，
所以，点P到直线l的距离．
当且仅当y0＝2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）
（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．
当y1＝﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x＝1；可得B（，3），直线AB：y＝4x﹣6；
当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，
化简得4x﹣（y1+2）y+2y1＝0；
综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1＝0．
与直线l的方程y＝x+2联立，可得点Q的纵坐标为．
因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．
因此，B点的坐标为．
当，即时，直线AB的斜率．
所以直线AB的方程为，
整理得．
当x＝2，y＝2时，上式对任意y1恒成立，
此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y＝4x﹣6上，
当时，直线AB的方程为x＝2，仍过定点（2，2），
故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）
21．解：（Ⅰ）由（k+1）x﹣y﹣3﹣3k＝0（k∈R），得x﹣y﹣3+k（x﹣3）＝0，
则由，解得定点F（3，0）；
设椭圆C的方程为，则，解得；
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以，从而圆心O到直线l：mx+ny＝1的距离，所以直线l与圆O恒相交；
又直线l被圆O截得的弦长为＝，
由于0≤m2≤25，所以，则，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是．
22．解：（1）由题意c＝2，可设椭圆方程为+＝1，
∴，解得a2＝10，b2＝6，
∴椭圆的方程为+＝1，
证明（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），设直线AE的方程为y＝k（x﹣）+，代入+＝1得（3k2+5）x2+3k（5﹣3k）x+3（﹣k+）2﹣30＝0，
∴x1＝﹣，
∴y1＝kx1﹣k+，
又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，再上式中以﹣k代k，可得
x2＝﹣，
∴y2＝kx2﹣k+，
∴直线EF的斜率k＝＝＝1
一、选择题
1．（5分）抛物线y2＝20x的焦点坐标为（ ）
A．（10，0） B．（5，0） C．（0，10） D．（0，5）
2．（5分）椭圆3x2+ky2＝1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（5分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若双曲线与椭圆+＝1有相同的焦点，且它的一条渐近线的方程为y＝x，则此双曲线的方程是（ ）
A．x2﹣y2＝96 B．y2﹣x2＝160 C．x2﹣y2＝80 D．y2﹣x2＝24
5．（5分）若双曲线+＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（5分）已知点P是抛物线y2＝6x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（5分）若AB过椭圆+＝1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在一点P，使∠OPA＝90°，其中O为原点，A为右顶点，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（，1）
二、多选题
（多选）9．（5分）已知方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，则（ ）
A．mn＞0时，方程表示椭圆
B．mn＜0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
（多选）10．（5分）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为+x2＝1
B．椭圆C的方程为+y2＝1
C．|PQ|＝
D．△PF2Q的周长为4
（多选）11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法中正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线﹣＝1与双曲线C的渐近线相同
C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为
D．PF长的最小值为2
（多选）12．（5分）设A、B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，且OA⊥OB，则下列结论成立的是（ ）
A．点O到直线AB的距离不大于1
B．直线AB过定点（1，0）
C．直线AB过点
D．|OA||OB|≥2
三、填空题
13．（5分）已知直线l：y＝kx﹣4与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则实数k的值为 ．
14．（5分）与椭圆9x2+4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ．
15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，准线为l0，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点（A在B的上方），过点A作AP⊥l0，垂足为P，点G为∠PAB的角平分线与l0的交点，则|FG|＝ ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为5，其渐近线与圆M：x2+y2﹣6y+m＝0相切，则m＝ ．
四、解答题
17．（10分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上点A（﹣2p，0）．若当MF⊥x轴时，△MAF的面积为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若∠MFA+2∠MAF＝π，求点M的坐标．
18．（12分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线与椭圆的交点，求cos∠F1PF2．
19．（12分）已知双曲线C1：x2﹣＝1（b＞0）的左焦点为F，直线l是圆心C2：x2+y2＝b2的一条切线，O为坐标原点．
（1）若曲线C1与C2的交点恰为一个正方形的四个顶点，求该正方形的面积；
（2）求证：若直线l过点F，则l与曲线C1恰有一个交点；
（3）若b＝，设直线l与曲线C1交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．
20．（12分）已知直线l的方程为y＝x+2，点P是抛物线y2＝4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2＝4x交于点B．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．
21．（12分）已知直线（k+1）x﹣y﹣3﹣3k＝0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x2+y2＝1，直线l：mx+ny＝1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）
22．（12分）已知，椭圆C过点A（），两个焦点为（0，2），（0，﹣2），E，F是椭圆C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线EF的斜率为定值．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》2023年单元测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．解：∵抛物线y2＝20x的焦点在x轴上，且p＝10
∴＝5，
∴抛物线y2＝20x的焦点坐标为（5，0）
故选：B．
2．解：由题意，b2＝，a2＝
∴c2＝﹣＝1，
∴k＝
∴e2＝k＝
∴e＝
故选：D．
3．解：由双曲线的方程得a＝1，
∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴2b＝2×2a＝4，即b＝2，
则双曲线的顶点为A（1，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，
不妨取渐近线y＝2x，即2x﹣y＝0，
则顶点到渐近线的距离d＝＝＝，
故选：B．
4．解：双曲线与椭圆+＝1有相同的焦点（0，±4），
它的一条渐近线的方程为y＝x，可得a＝b，所以a2+b2＝（4）2，可得a2＝24．
所以双曲线的方程是y2﹣x2＝24．
故选：D．
5．解：双曲线+＝1（a＞0，b＞0）的渐近线：ay±bx＝0，
双曲线+＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，
可得x2±+1＝0，Δ＝，所以，
所以e＝＝＝．
故选：C．
6．解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，
则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PM|≥|MF|＝＝．
故选：C．
7．解：设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），
则△F1AB面积S＝OF×|2y|＝c|y|．
∴当|y|最大时，△F1AB面积最大，
由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，
则△F1AB面积的最大值为：cb＝×4＝12．
故选：B．
8．解：∵A（a，0），设P（x，y），由∠OPA＝90°，且P在椭圆+＝1上，
可得，解得x＝a或x＝，又0＜x＜a，
∴，∴2b2＜a2，∴2（a2﹣c2）＜a2，
∴a2＜2c2，∴，∴，
∴e＞，又e＜1，
∴该椭圆的离心率e的取值范围为（，1）．
故选：C．
二、多选题
9．解：方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，
当m＜0，n＜0时，方程不表示椭圆，故A错；
当mn＜0时，方程表示双曲线，故B对；
当n＝0时，mx2＝1，m＞0，方程表示两条直线；m≤0时，不表示任何图象，故C错；
n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．
故选：BD．
10．解：由已知得，2b＝2，b＝1，，
又a2＝b2+c2，解得a2＝3．
∴椭圆方程为．
如图：
∴|PQ|＝，△PF2Q的周长为4a＝4．
故选：ACD．
11．解：A中，由双曲线C的方程可得a＝2，b＝，可得c＝＝，所以离心率为：e＝＝，所以A正确；
B中，由双曲线C的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，而双曲线﹣＝1的渐近线的方程为：y＝±x所以B正确；
C中，由双曲线的方程可得右焦点F（，0），因为P在渐近线上，若OP⊥PF，tan∠POF＝＝，可得|OP|＝|OF| cos∠POF＝ ＝2，|PF|＝＝b＝，所以S△POF＝|OP| |PF|＝×2×＝，所以C正确；
D中，当PF与渐近线垂直时，PF的值最小，由C的方程可得，且PF＝b＝，所以D不正确；
故选：ABC．
12．解：设直线AB方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB方程代入抛物线方程y＝x2，
得x2﹣kx﹣b＝0，
则x1+x2＝k，x1x2＝﹣b，
∵OA⊥OB，∴kOA kOB＝﹣b＝﹣1，b＝1．
于是直线AB方程为y＝kx+1，该直线过定点（0，1），不过点（0，），
所以选项B、C错误；
又点O到直线AB的距离为d＝≤1，所以A正确；
当k＝0时，|OA||OB|取得最小值2，所以|OA| |OB|≥2，选项D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．解：由，得（kx﹣4）2＝8x，
∴k2x2﹣8kx+16＝8x，
整理，得k2x2﹣（8k+8）x+16＝0，
∵直线l：y＝kx﹣4与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，
∴Δ＝（8k+8）2﹣64k2＝0，解得k＝，
当直线与x轴平行时，k＝0．所以直线与抛物线有一个交点．
故答案为：0或﹣．
14．解：椭圆9x2+4y2＝36的标准方程为：+＝1，可得它的焦点为（0，±），
由题意可得所求的焦点坐标为：（0，±），即焦点在y轴上，且c＝，
由短轴长2b＝2，可得b＝1，所以a2＝b2+c2＝1+5＝6，
所以所求的椭圆的标准方程为：+x2＝1；
故答案为：+x2＝1．
15．解：由抛物线方程可知：F（，0），准线方程为：x＝﹣，
设A（x1，y1），B（x2，y2），G（﹣），
过点B作BQ⊥l0，连接GF，GB，
因为|AP|＝|AF|，∠PAG＝∠FAG，所以△PAG≌△FAG，
所以|PG|＝|FG|，∠AFG＝∠APG＝，因此RT△GQB≌RT△GFB，
所以|QG|＝|FG|＝|PG|，则G为PQ的中点，则y，
由可得：y1+y2＝6，
所以y0＝3，则G（﹣，3），故|FG|＝，
故答案为：3．
16．解：由双曲线的离心率e＝＝5可得：52＝＝1+，a＞0，b＞0可得＝2，即渐近线的方程为：y＝x，即2x±y＝0，
x2+y2﹣6y+m＝0的圆心坐标为：（0，3），半径为：，
又由于渐近线与圆M：x2+y2﹣6y+m＝0相切，所以＝，所以m＝，
故答案为：．
四、解答题
17．解：（1）当MF⊥x轴时，点M（，±p），F（，0），
则|AF|＝，|MP|＝p，
∴＝＝5，解得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x．
（2）设M（x0，y0），由（1）可知A（﹣4，0），F（1，0），
∴，，
因为∠MFA+2∠MAF＝π，
所以tan∠MFA＝﹣tan（2∠MAF）＝﹣，
∴，整理得，
解得x0＝4或x0＝﹣6，或y0＝0，因为∠MFA+2∠MAF＝π，所以x0＞0，
∴x0＝4，
∴y0＝±4，
故点M的坐标为（4，4）或（4，﹣4）．
18．解：（Ⅰ）由题意知，半焦距c＝，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a﹣4，
离心率之比为＝，
∴a＝7，
∴椭圆的短半轴等于＝6，
双曲线虚半轴的长为＝2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
和 ．
（Ⅱ）由椭圆的定义得：PF1+PF2＝2a＝14，
由双曲线的定义得：PF1﹣PF2＝±6，
∴PF1与PF2中，一个是10，另一个是 4，不妨令PF1＝10，PF2＝4，
又F1F2＝2，三角形F1PF2中，利用余弦定理得：＝100+16﹣80cos∠F1PF2，
∴cos∠F1PF2＝．
19．解：（1）如图，设A为该正方形的一个顶点，B为正方形和x轴的一个交点，连接OA，则：
线段OA在正方形的对角线上；
∴△AOB为等腰直角三角形，AO＝b；
∴，正方形的边长为；
∴正方形的面积为2b2；
（2）设直线l的斜率为k，直线方程为y＝k（x+c），则：
原点O到直线l的距离为b；
∴；
∴；
∴k＝±b；
若k＝b，l方程为y＝b（x+c），代入双曲线方程并整理得：
2cx+c2+1＝0，显然该方程只有一个实数解；
∴l和双曲线只有一个交点；
k＝﹣b时同样如此；
∴若直线l过点F，则l与曲线C1恰有一个交点；
（3）证明：①设点P（x0，y0） （x0y0≠0）在圆x2+y2＝2上；
圆在点P（x0，y0）处的切线l的方程为；
化简得x0x+y0y＝2；
由及得；
因为切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且；
∴，且；
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）；
则；
因为；
＝
＝
＝
＝；
∴cos∠AOB＝0；
所以∠AOB的大小为90°；
②当切点为圆与x轴交点时，如图所示：
由可求得A，B坐标：A（），B（﹣）；
∴；
∴AO2+BO2＝AB2；
∴∠A0B＝90°，同样当切点为圆与x轴正半轴或y轴时的交点时，同样可求得∠AOB＝90°；
∴综上得∠AOB为定值．
20．解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，
所以，点P到直线l的距离．
当且仅当y0＝2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）
（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．
当y1＝﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x＝1；可得B（，3），直线AB：y＝4x﹣6；
当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，
化简得4x﹣（y1+2）y+2y1＝0；
综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1＝0．
与直线l的方程y＝x+2联立，可得点Q的纵坐标为．
因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．
因此，B点的坐标为．
当，即时，直线AB的斜率．
所以直线AB的方程为，
整理得．
当x＝2，y＝2时，上式对任意y1恒成立，
此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y＝4x﹣6上，
当时，直线AB的方程为x＝2，仍过定点（2，2），
故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）
21．解：（Ⅰ）由（k+1）x﹣y﹣3﹣3k＝0（k∈R），得x﹣y﹣3+k（x﹣3）＝0，
则由，解得定点F（3，0）；
设椭圆C的方程为，则，解得；
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以，从而圆心O到直线l：mx+ny＝1的距离，所以直线l与圆O恒相交；
又直线l被圆O截得的弦长为＝，
由于0≤m2≤25，所以，则，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是．
22．解：（1）由题意c＝2，可设椭圆方程为+＝1，
∴，解得a2＝10，b2＝6，
∴椭圆的方程为+＝1，
证明（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），设直线AE的方程为y＝k（x﹣）+，代入+＝1得（3k2+5）x2+3k（5﹣3k）x+3（﹣k+）2﹣30＝0，
∴x1＝﹣，
∴y1＝kx1﹣k+，
又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，再上式中以﹣k代k，可得
x2＝﹣，
∴y2＝kx2﹣k+，
∴直线EF的斜率k＝＝＝1