第二章 直线和圆的方程 A卷 基础夯实（含解析）

第二章 直线和圆的方程 A卷 基础夯实
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册单元达标测试卷
【满分：120分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线过点，点，则此直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若两直线和平行，则a的值是( )
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
3.若直线是圆的一条对称轴，则( )
A. B. C.1 D.-1
4.不论a取任意实数，直线恒过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.圆关于直线对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.点到直线距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
7.已知圆和圆有且仅有4条公切线，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.直线上与点的距离等于的点的坐标是( )
A. B. C. D.
10.已知，点是圆内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是，则下列结论正确的是( )
A. B. C.l与圆相离 D.l与圆相交
11.已知直线与圆，则( )
A.直线l与圆C相离
B.直线l与圆C相交
C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
12.已知，圆，，则( )
A.当时，两圆相交 B.存在b，使两圆外离
C.存在b，使两圆内含 D.存在b，使圆平分圆的周长
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为_________.
14.设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是___________.
15.设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________.
16.已知圆与圆交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的半径最小时圆M的方程为__________.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知的顶点，边BC上的中线所在直线l的方程为，边AB所在直线方程为.求：
(1)点A的坐标；
(2)直线AB关于直线l对称的直线方程.
18.已知圆C关于直线对称，且过点和原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆C所截得的弦长相等，求此时直线的方程.
19.圆.
(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程.
(2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆相交于A，B两点.问：是否存在实数a，使得 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
20.在平面直角坐标系中，圆.
(1)过点作圆O的切线m，求m的方程；
(2)直线与圆O交于M，N两点，已知，若x轴平分，试证明不论k取何值，直线l与x轴的交点为定点，并求出此定点坐标.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由，得此直线的倾斜角为.故选A.
2.答案：C
解析：由题意，得，解得或.经检验，时，两直线重合.故选C.
3.答案：A
解析：因为直线是圆的一条对称轴，所以直线经过圆心.由圆的标准方程，知圆心坐标为，所以，解得.故选A.
4.答案：D
解析：由，得.令解得所以直线恒过定点，从而该直线恒过第四象限.故选D.
5.答案：D
解析：由圆可知其圆心为，半径为.设点关于直线对称的点为，则解得所以所求圆的圆心为.又所求圆的半径为，所以圆关于直线对称的圆的方程为.故选D.
6.答案：B
解析：根据题意可知，直线经过定点.当定点和点的连线与直线垂直时，点到直线的距离最大，所以点到直线的最大距离是.故选B.
7.答案：A
解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.根据题意得，圆，外离，则，即，所以.故选A.
8.答案：D
解析：圆的圆心为原点，半径为2.易知过原点且与直线垂直的直线方程为，则点到直线的距离为.又因为原点到直线的距离为，所以的最小值为，则.故选D.
9.答案：BC
解析：设所求点的坐标为，则，解得或，所以所求点的坐标为或.故选BC.
10.答案：AC
解析：设直线m与圆的交点为，，则，，两式相减得，所以，所以直线m的方程为，即，则.圆心到l的距离.因为点在圆内，所以，所以，所以直线l与圆相离.故选AC.
11.答案：BD
解析：由圆，可知其圆心坐标为，半径，所以圆心到直线的距离，则，所以直线l与圆C相交，所以圆C上到直线l的距离为1的点共有3个，故A，C错误，B，D正确.选BD.
12.答案：AB
解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，，.当时，，所以两圆相交，故A正确；因为，所以两圆可能外离，不可能内含，故B正确，C错误；两圆的公共弦所在直线方程为，若圆平分圆的周长，则直线过点，所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误.选AB.
13.答案：
解析：直线PQ的斜率，且点与点关于直线l对称，直线l的斜率.又线段PQ的中点坐标为，直线l过点，直线l的方程为.
14.答案：
解析：因为，所以直线AB关于直线对称的直线方程为.由题意可知圆心为，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以.整理，得，解得.
15.答案：
解析：由，得.由解得则直线恒过点.因为过点作直线，且，所以直线与之间距离的最大值为点与点间的距离.
16.答案：
解析：两圆公共弦AB所在直线方程为，又A，B两点平分圆N的圆周，直线AB经过圆心，代入直线AB的方程可得.又，.圆M的半径，当时，圆M半径最小，此时，，故所求圆M的方程为.
17.答案：(1)
(2)
解析：(1)由得则.
(2)设点关于直线l的对称点为，
则解得
所以.
则直线的方程为，即，
所以直线AB关于直线l对称的直线方程为.
18.答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题意知，直线过圆C的圆心，则设圆心为，
所以，解得.
所以圆心为，半径，
所以圆C的方程为.
(2)由题意知，直线，的斜率存在且不为0.
设的斜率为k，则的斜率为，
所以，即，
，即.
由题意，得圆心C到直线，的距离相等，
所以，解得，
所以直线的方程为或.
19.答案：(1)
(2)存在，使得
解析：(1)联立成方程组
所以.
由题意，得，解得.
故所求圆C的方程为.
(2)令，得，即.
所以，.
若存在实数a，使得，则.
当直线AB存在斜率k时，设直线AB的方程为，
代入，得，
所以.
设，，则，.
所以.
而
，
所以，即.
当直线AB不存在斜率，即与x轴垂直时，也满足题意.
故存在，使得.
20.答案：(1)切线m的方程为或
(2)直线l恒过点
解析：(1)当切线的斜率不存在时，切线方程为，显然与圆O相切.
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即.
则，解得，
所以此时切线方程为.
综上所述，切线m的方程为或.
(2)设，.
联立成方程组
消去y并整理，得，
则，得，
所以，.
因为x轴平分，所以，
即，
即，
所以，
所以，
解得，
所以直线l的方程为，
所以直线l恒过点.
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