第二章 直线和圆的方程 B卷 能力提升（含解析）

第二章 直线和圆的方程 B卷 能力提升
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册单元达标测试卷
【满分：120分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知圆过点，则圆C的圆心的轨迹是( )
A.点 B.直线 C.线段 D.圆
3.若直线与直线垂直，则过点( )
A. B. C. D.
4.已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则( )
A. B. C.2 D.
5.若一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.若圆与圆相切，则m的值可以是( )
A.16或-4 B.7或-7 C.7或-4 D.16或-7
7.如果点P是直线上的动点，PA，PB是圆的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知圆与圆.若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知直线，则下列结论正确的是( )
A.原点到直线l的距离等于2
B.若点在直线l上，则
C.点到直线l的距离d的最大值等于
D.点到直线l的距离d的最小值等于
10.已知动直线与圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.圆C的圆心坐标为
C.弦AB的最小值为
D.弦AB的最大值为4
11.已知点P在圆上，点，，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当最小时，
D.当最大时，
12.已知圆和圆的交点为A，B，则( )
A.两圆的圆心距
B.直线AB的方程为
C.圆上存在两点P和Q，使得
D.圆上的点到直线AB的最大距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线与相交于点，则_________.
14.已知直线在x轴上的截距为3，则直线在y轴上的截距为__________.
15.已知，点P在直线上，点Q在圆上，则的最小值是___________.
16.已知圆和圆交于A，B两点，直线l与直线AB平行，且与圆相切，与圆交于点M，N，则___________.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知圆.
(1)设点，过点M作直线l与圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程；
(2)设P是直线上的点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
18.在平面直角坐标系xOy中，的顶点A的坐标为，边上的中线CM所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为.
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的坐标
19.已知圆与圆.
(1)证明圆与圆外切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
20.已知圆C经过，两点.
(1)当时，圆C与x轴相切，求此时圆C的方程；
(2)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C经过除A外的另一个定点，并求出这个定点坐标；
(3)已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l分别与x轴，y轴交于点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线斜率，所以直线的倾斜角为.故选C.
2.答案：D
解析：圆过点，，即，圆C的圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.故选D.
3.答案：C
解析：依题意，得，所以，所以直线为，所以直线过点.故选C.
4.答案：A
解析：圆的圆心为，则圆心到直线的距离.要想圆上到直线的距离为的点恰有一个，由图得.故选A.
5.答案：D
解析：设点M关于直线的对称点为，则解得所以.因为反射光线经过点，所以，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选D.
6.答案：A
解析：因为表示圆，所以，解得，
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
当两圆外切时，，即，解得；
当两圆内切时，，即，解得.
故m的值可以为16或-4.故选A.
7.答案：C
解析：圆的标准方程为，则圆心为，半径.根据对称性可知.要使四边形PACB的面积最小，则只需最小，的最小值为圆心C到直线的距离，所以四边形PACB面积的最小值为.故选C.
8.答案：B
解析：将和相减并化简，得圆，的公共弦所在直线方程为，所以到的距离，故公共弦长为，所以圆C的半径为，故圆C的面积为.选B.
9.答案：ABCD
解析：原点到直线l的距离为，故A正确；由A正确得，，故B正确；因为，所以d的最大值等于，最小值等于，故C，D均正确.选ABCD.
10.答案：ACD
解析：对于A，直线，即.令解得则直线l过定点，故A正确.对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误.对于C，因为，所以直线l所过定点在圆的内部.因为，所以弦AB的最小值为，故C正确.对于D，弦AB的最大值为圆C的直径4，故D正确.选ACD.
11.答案：ACD
解析：由题意知直线，即，圆心到直线的距离.因为，所以A正确.因为，所以B错误.当直线PB与圆相切时，取得最值.如图，当切点在点P的位置时，最小，此时圆心到点B的距离为，则；当切点在点的位置时，最大，同理可得.所以C，D正确.故选ACD.
12.答案：BD
解析：将两圆方程化为标准方程，可得圆，圆，则圆心，半径，圆心，半径.
对于A，两圆的圆心距，故A错误；
对于B，将两圆方程作差可得，即，故直线AB的方程为，故B正确；
对于C，由B知直线AB经过圆的圆心，所以线段AB是圆的直径，故圆中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线AB的最大距离为，故D正确.故选BD.
13.答案：-1
解析：把点M的坐标分别代入直线和直线的方程，得，，则，，所以.
14.答案：
解析：由题意知，直线过点，所以，解得.所以直线方程为，即.令，得.故直线在y轴上的截距为.
15.答案：
解析：由圆，得圆C是以为圆心，半径的圆.设点关于直线的对称点为，则解得故.连接，交圆C于点Q.由对称性可知.
16.答案：4
解析：由圆，知圆心为，半径为2.由圆，知圆心为，半径为.又，，所以可得直线.设.因为直线l与圆相切，所以，解得或.当时，，所以；当时，，由，得不合题意，综上所述，.
17.答案：(1)或
(2)经过A，P，C三点的圆必过定点，且所有定点的坐标为，
解析：(1)根据题意得圆心，半径，
若直线l的斜率不存在，即，代入圆的方程，得，此时，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若，则圆心C到直线l的距离，
则，解得，
即直线l的方程为，化简得.
综上所述，直线l的方程为或.
(2)由于P是直线上的点，所以可设，
由切线的性质得，，
经过A，P，C三点的圆，即为以PC为直径的圆，
易知PC的中点坐标为，且，
所以经过A，P，C三点的圆的方程为，
整理得，
令解得或
则经过A，P，C三点的圆必过定点，且所有定点的坐标为，.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)设点B的坐标为，则AB的中点M的坐标为.
依题意可知，点B在直线上，点M在直线上，
则有解得
即点B的坐标为.
(2)设A关于直线的对称点为，
则在直线BC上.
设点的坐标为，则的中点坐标为，
则有
解得
即点的坐标为.
所以直线的斜率，
所以直线的直线方程为，
化简得，
即直线BC的方程为.
19.答案：(1)证明见解析，过切点的两圆公切线的方程为
(2)
解析：(1)由圆可得，
由圆可得，
因此两圆的圆心分别为，，
两圆的半径，
圆心距，所以两圆外切.
由两式相减得，
故过切点的两圆公切线的方程为.
(2)易知直线经过切点，且直线的方程为，即.
由得故切点为，设为M.
与两圆相切于点的圆的圆心必在已知两圆的圆心连线上，
设圆心为，
则解得
所以，
故所求圆的方程为.
20.答案：(1)
(2)
(3)取最小值，为8
解析：(1)当时，，设圆C的半径为r，
则圆心，则，解得，
所以圆C的方程为.
(2)设点是圆C上任意一点，
因为AB是圆C的直径，所以，
即，
所以圆C的方程为，
因为当，时，等式恒成立，所以除点A外，另一个定点为，
所以无论a取何正实数，圆C经过除A外的另一个定点，定点坐标为.
(3)因为点A关于直线的对称点也在圆C上，所以点C在直线上，
当圆C的面积最小时，圆C是以为直径的圆，
易得直线的方程为.
由方程组得，，
所以圆C的方程为.
因为在圆C上，所以，解得或，
又，所以，即.
由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为，
当时，，当时，，
所以
当且仅当，即时取等号，
即时，取最小值，为8.
2