第三章 圆锥曲线的方程 A卷 基础夯实（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程 A卷 基础夯实
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册单元达标测试卷
【满分：120分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆，则长轴的端点为( )
A.， B.，
C.， D.，
2.已知P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，M为的内心.若，则的面积为( )
A. B.10 C.8 D.6
3.抛物线上存在一点，M到抛物线焦点F的距离为3，直线MF交抛物线C于另一点N，则线段MN的长为( )
A. B. C. D.
4.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点()，作，垂足为K，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，焦距为2c，以原点O为圆心，b为半径作圆O.若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，若，O为坐标原点，且的面积为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则( )
A.椭圆的短轴长为
B.当最大时，
C.离心率为
D.的最小值为3
10.已知，是双曲线的上、下焦点，M是该双曲线的一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆过点M，则下列说法正确的有( )
A.双曲线C的渐近线方程为
B.以为直径的圆的方程为
C.点M的横坐标为
D.的面积为
11.已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A.C的准线为 B.直线AB与C相切
C. D.
12.已知曲线，其中m为非零常数，，则下列结论中正确的有( )
A.当时，曲线C是一个圆
B.当时，曲线C的离心率是
C.当时，曲线C的渐近线方程是
D.当且时，曲线C的焦点坐标为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆的长轴长为，则此椭圆的方程为__________.
14.已知，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且，则的面积等于__________.
15.一条光线从抛物线的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为__________.
16.已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，且过双曲线的右焦点与x轴垂直的直线l与双曲线交于点A，B，的面积为，则双曲线的实轴长为___________________.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A，B两点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）是否存在实数k，使点在线段AB的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
18.已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面积.
19.已知抛物线的焦点为为坐标原点，横坐标为的点P在抛物线C上，满足.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过抛物线C上的点A作抛物线C的切线与O不重合，过O作l的垂线，垂足为B，直线与抛物线C交于点D.当原点到直线的距离最大时，求点A的坐标.
20.已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；
（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为椭圆C的方程为，所以，且焦点在x轴上，所以长轴的端点为，.故选A.
2.答案：B
解析：设内切圆的半径为R.由双曲线的标准方程可知，，.因为，所以，即，所以，所以.故选B.
3.答案：B
解析：由题可知，，，则，解得，故拋物线C的方程为，，不妨取直线MF的方程为，与抛物线C的方程联立得，解得或，则，，故选B.
4.答案：A
解析：法一：设，则，易知，所以（*）.因为点P在椭圆C上，所以，得，代入（*）式，得，结合，得，所以.故选A.
法二：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以，所以，所以.故选A.
5.答案：A
解析：设弦的两端点分别为，，
则，
两式相减得，.
又，，
，
因此直线PQ的方程为，即，
经验证，直线与双曲线相交.
因此适合题意的直线方程为，故选A.
6.答案：D
解析：由题得焦点，则直线MN的方程为，联立解得，则点K的坐标为，，同理可得.由抛物线定义可知，所以为等边三角形，所以外接圆的半径，所以外接圆的面积，故选D.
7.答案：B
解析：如图，连接OA，OB，OP，OP与AB交于点H，则，且.
由题意，得，，则.在中，，故，整理得，所以，即，所以，即，解得.故选B.
8.答案：A
解析：在中，，由余弦定理得，
得，故的面积，所以.
因为O是的中点，所以，两边同时平方得
，
因为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故选A.
9.答案：ABD
解析：由题意知，所以.因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.由B的分析，不妨令，将点A的坐标代入椭圆方程，得.又，所以，解得，所以椭圆的短轴长为，故A正确.易得，所以，故C错误.选ABD.
10.答案：AD
解析：A项，双曲线的实半轴长，虚半轴长，其渐近线方程为，故A项正确；
B项，半焦距，，，以为直径的圆的方程为，故B项错误；
C项，，即点M的横坐标，故C项错误；
D项，，故D项正确.
11.答案：BCD
解析：因为抛物线C过点，所以，解得，所以的准线为，所以选项A错误.函数在处的导数值为2，可得直线AB与C相切.故选项B正确.设过点B的直线交C于，，联立得即，，，，则有，所以.故选项C正确.因为，借助B选项的结果，知道，所以有.故选项D正确.故选BCD.
12.答案：ABD
解析：A项，当时，曲线C为，即，它表示圆，故A项正确；
B项，当时，曲线C为，即，离心率，故B项正确；
C项，当时，曲线C为，即，其渐近线方程为，即，故C项错误；
D项，当时，曲线C为，因为，所以它表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为；当时，曲线C为，它表示焦点在x轴上的双曲线，焦点坐标为，故D项正确.
13.答案：
解析：因为，是椭圆的两个焦点，所以.因为椭圆的长轴长为，所以，故，所以，所以椭圆的方程为.
14.答案：24
解析：双曲线的实轴长为2，焦距.由题意，知，所以，，则，所以，
所以.
15.答案：
解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，，，，抛物线的标准方程为.
16.答案：
解析：设双曲线（，）的渐近线方程为.圆的圆心坐标为，半径为1，由渐近线与圆相切可得，解得，所以渐近线方程为，即，即，将代入双曲线的方程，得，整理得，所以，又由的面积为，得.由方程组，解得，，所以双曲线的实轴长为.
17.答案：（1）椭圆C的方程为
（2）存在，使点在线段AB的中垂线上
解析：（1）依题意有解得
所以椭圆C的方程为.
（2）假设点在线段AB的中垂线上.
联立得方程组
消去y并整理，得.
设，，则，.
所以.
所以线段AB的中点，
所以，
所以，
即，解得.
所以存在，使点在线段AB的中垂线上.
18.（1）答案：-1
解析：由题设得，解得.
所以C的方程为.
设l的斜率为k，，.当时，.
由得，故.
由得，
即.①
由得，即.
同理可得.
由得，
即.②
由①②得.
因此l的斜率为-1.
（2）答案：
解析：由题意，不妨设AP的倾斜角为，且，则为.
C的渐近线的斜率为，由得，得，
所以，.
直线AP的方程为，代入得，
所以，.
直线AQ的方程为，代入得，
所以，.
又易知，
所以的面积为.
19.答案：(1)
(2)或
解析：本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系.
(1)依题意设点，
由，得，
又，解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)设，由求导，得，
所以过点A的切线l斜率为，
所以切线l的方程为，
即.
因为直线与切线l垂直，所以，
直线方程为，即，
由解得或(舍).
即点.
因为，所以，
则直线的方程为，
即.
原点到直线的距离，
当且仅当，即时，等号成立.
所以原点到直线的距离最大为2，
此时点A坐标为或.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，得解得
所以椭圆E的标准方程是.
设点，，则
两式相减得，
又，，所以，即，
故所求直线的方程是，
即.
（2）由（1）知，椭圆E的右焦点.
（ⅰ）当直线l与x轴垂直时，，符合题意.
（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为，.
联立
消去y，可得，易得.
设，，线段AB的中点为C，
则，，
所以.
所以线段AB的中点C的坐标为.
由题意可知，，
故直线QC的方程为，
令，得，即.
当时，得，
当且仅当时，等号成立；
当时，得，当且仅当时，等号成立.
综上所述，实数m的取值范围为.
（也可设l的方程为求解）
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