人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 单元达标测试B卷能力提升（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 单元达标测试B卷能力提升（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 876.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-11 15:34:17 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程 B卷 能力提升
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册单元达标测试卷
【满分：120分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程( )
A. B. C. D.
2.已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
3.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A.3 B. C. D.5
4.已知过原点O的直线l与椭圆相交于点A，B，点P是椭圆C上异于点A，B的动点，直线PA，PB的斜率分別为，，则的值为( )
A. B. C. D.与点P的位置有关
5.已知点，设不垂直于x轴的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若x轴是的平分线，则直线l一定过点( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系Oxy中，已知点，点A，B在双曲线上，且，则直线AB的斜率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设抛物线的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点.设线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知的面积为2，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若，（点O为坐标原点），则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为 B.的面积为
C. D.
10.已知斜率为k的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线C交于两点，且抛物线C的准线上一点，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.的面积为
11.已知F是抛物线的焦点，A，B是C上的两点，O为原点，则( )
A.若，则的面积为
B.若垂直C的准线于点，且，则四边形的周长为
C.若直线AB过点F，则的最小值为1
D.若，则直线AB恒过定点
12.已知椭圆与直线交于两点，记直线l与x轴的交点)E，点关于原点对称，若，则( )
A. B.椭圆C过4个定点
C.存在实数a，使得 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的焦距为__________.
14.已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于两点，T为弦的中点，的面积为，连接并延长，交抛物线于点S，则_______.
15.椭圆的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率之积为定值，则动直线BC恒过的定点坐标为___________.
16.已知双曲线的左顶点为A，B，C分别为双曲线左、右两支上的点，且轴，过B，C分别作直线AB，AC的垂线，两垂线相交于点D，若，则_______.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点在双曲线C上，且.
（1）求的面积；
（2）若(O为坐标原点)，点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18.生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
19.已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若.
（I）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程.
20.设圆的圆心为M，直线l过点且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C.
（1）证明为定值，并写出点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，直线与曲线E交于P，Q两点，点R为曲线E上一点，若是以PQ为底边的等腰三角形，求面积的最小值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，，则.
故选B.
2.答案：C
解析：如图，由题意，得，，，所以，.由得，所以，即.由得，所以.故选C.
3.答案：A
解析：双曲线的一条有近线方程为，可得，.故选：A.
4.答案：A
解析：设点，，则点，
，，.
又由题意得，，
两式作差，得，即，
，即.故选A.
5.答案：B
解析：设直线l的方程为，，.
由得，
所以，即，，.
因为x轴是的平分线，所以，所以，
即，整理，得，
所以，化简，得，
所以，
所以直线l过定点.故选B.
6.答案：B
解析：设直线AB的方程为.
由得.
设，，则
，，，
代入①得，
.
化简得，，
因此直线AB的斜率为，故选B.
7.答案：A
解析：设的坐标为，的坐标为，故过且与x轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程可得.可设，，由题意可得的面积是的面积的2倍，故，即有，即，则，代入椭圆方程可得，即，，解得（负值舍去）.故选A.
8.答案：A
解析：由题意，得.设直线l的方程为.将其代入，化简并整理，得.由，得.设，，则，，所以.因为M是AB的中点，所以.由题意，知，所以.又，所以的面积.由已知条件知，所以，解得(满足)，所以直线l的斜率为.故选A.
9.答案：BC
解析：由于，故点M为的中点，所以，所以，所以，所以，故，所以，所以，所以，故，所以双曲线C的离心率，故选项A错误.
因为，所以，所以的面积为，故的面积为，故选项B正确.
由于，所以，故选项C正确.
由于，故选项D错误.
综上所述，选BC.
10.答案：ABD
解析：对于A，由题意知，抛物线C的准线方程为，即，得，故A正确.
对于B，因为，所以抛物线C的方程为，其焦点为.
因为直线l过抛物线的焦点，所以直线l的方程为.因为，所以点M在以为直径的圆上.设点，由可得.设的中点为，则.因为点在直线l上，所以，所以点是以为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆Q的半径.因为，所以，解得，故B正确.
对于C，因为，所以弦长，故C错误.
对于D，因为，所以直线l的方程为，即.由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离，所以，故D正确.故选ABD.
11.答案：ACD
解析：对于选项A，设，由题意得，解得，所以，从而，选项A正确；对于选项B，由题意知，且BF垂直于x轴，根据抛物线的定义可知.
设与y轴的交点为D，易知，，故，所以四边形的周长为，选项B错误；
对于选项C，若直线AB过点F，则当轴时，最小，且最小值为1，选项C正确；
对于选项D，设直线AB：，，，联立直线AB与抛物线方程得，则，所以，由可得，
即，解得，故直线AB的方程为，即直线AB恒过定点，选项D正确.故选：ACD.
12.答案：ABC
解析：设.由得，则，因为，所以，又，所以，所以名，，故A正确;所以，即椭圆过定点，，故B正确;，由得，则，所以，则有，因为，所以的取值范围为，故C正确，D错误.故选ABC.
13.答案：
解析：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为，又由该双曲线的一条渐近线方程为，即，则有，则；所以.
14.答案：
解析：设，，，得抛物线的方程为，根据对称性，不妨取，则l的方程为，代入，得，得，可得.由中点坐标公式可得，则直线的方程为，代入，可求得，则.
15.答案：
解析：由题意得，且直线BC的斜率不为0.
设，，直线BC的方程为.
联立，得，
所以，.
因为直线AB与AC的斜率之积为定值，所以，
所以，
即，
所以，
解得或.
当时，不符合题意，舍去，
所以，所以直线BC恒过定点.
16.答案：
解析：易知点，由题意设点，则点，，且.直线AB的斜率为，则直线BD的方程为.同理可得直线CD的方程为.联立得解得，，所以点D的坐标为.结合，得.因为，所以，又，所以，得，
则，所以.
17.（1）答案：
解析：依题意可知，，，
则，
，
又，所以，
解得(舍去)，又，所以，则，
所以的面积.
（2）答案：为定值-1
解析：由(1)可解得.
所以双曲线C的方程为.
设，，则，则，.
设直线l的方程为，
与双曲线C的方程联立，消去y得，
由，得.
由一元二次方程根与系数的关系得，，
所以.
则，
故为定值-1.
18.答案：（1）
（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则，，.
又，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线AB的方程为.
联立得方程组
消去y并整理，得，
则.
设，，则，.
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.
由得，
则直线BM的方程为.
令，则
.
又，
则，
所以直线BM过定点，
同理直线AN也过定点.
故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.
19.答案：（I）
（Ⅱ）或
解析：（I）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，
联立，消y整理得
.
设，，
则，
则，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由题知，直线n的斜率显然存在，
设直线n的方程为，
联立
消去y整理得.
因为直线n与椭圆相切，
所以，
整理得.
联立，消去y整理得
.
因为直线n与抛物线相切，
所以，
整理得，
所以，
解得或
所以直线n的方程为或.
20.答案：（1）点C的轨迹方程为
（2）
解析：（1）证明：因为圆可化为，
所以圆心，半径，
又因为过点N作AM的平行线交BM于点C，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
所以点C的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点C的轨迹方程为.
（2）由（1）可知点C的轨迹方程为，
易知，设，
由消去y，得，
解得
则，
是以PQ为底边的等腰三角形，
，，则.
同理，.
，
解法一：，
当且仅当，即时取等号，
.
解法二：
，
当且仅当，即时取等号，
.
2
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册单元达标测试卷
【满分：120分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程( )
A. B. C. D.
2.已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
3.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A.3 B. C. D.5
4.已知过原点O的直线l与椭圆相交于点A，B，点P是椭圆C上异于点A，B的动点，直线PA，PB的斜率分別为，，则的值为( )
A. B. C. D.与点P的位置有关
5.已知点，设不垂直于x轴的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若x轴是的平分线，则直线l一定过点( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系Oxy中，已知点，点A，B在双曲线上，且，则直线AB的斜率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设抛物线的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点.设线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知的面积为2，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若，（点O为坐标原点），则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为 B.的面积为
C. D.
10.已知斜率为k的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线C交于两点，且抛物线C的准线上一点，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.的面积为
11.已知F是抛物线的焦点，A，B是C上的两点，O为原点，则( )
A.若，则的面积为
B.若垂直C的准线于点，且，则四边形的周长为
C.若直线AB过点F，则的最小值为1
D.若，则直线AB恒过定点
12.已知椭圆与直线交于两点，记直线l与x轴的交点)E，点关于原点对称，若，则( )
A. B.椭圆C过4个定点
C.存在实数a，使得 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的焦距为__________.
14.已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于两点，T为弦的中点，的面积为，连接并延长，交抛物线于点S，则_______.
15.椭圆的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率之积为定值，则动直线BC恒过的定点坐标为___________.
16.已知双曲线的左顶点为A，B，C分别为双曲线左、右两支上的点，且轴，过B，C分别作直线AB，AC的垂线，两垂线相交于点D，若，则_______.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点在双曲线C上，且.
（1）求的面积；
（2）若(O为坐标原点)，点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18.生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
19.已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若.
（I）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程.
20.设圆的圆心为M，直线l过点且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C.
（1）证明为定值，并写出点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，直线与曲线E交于P，Q两点，点R为曲线E上一点，若是以PQ为底边的等腰三角形，求面积的最小值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，，则.
故选B.
2.答案：C
解析：如图，由题意，得，，，所以，.由得，所以，即.由得，所以.故选C.
3.答案：A
解析：双曲线的一条有近线方程为，可得，.故选：A.
4.答案：A
解析：设点，，则点，
，，.
又由题意得，，
两式作差，得，即，
，即.故选A.
5.答案：B
解析：设直线l的方程为，，.
由得，
所以，即，，.
因为x轴是的平分线，所以，所以，
即，整理，得，
所以，化简，得，
所以，
所以直线l过定点.故选B.
6.答案：B
解析：设直线AB的方程为.
由得.
设，，则
，，，
代入①得，
.
化简得，，
因此直线AB的斜率为，故选B.
7.答案：A
解析：设的坐标为，的坐标为，故过且与x轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程可得.可设，，由题意可得的面积是的面积的2倍，故，即有，即，则，代入椭圆方程可得，即，，解得（负值舍去）.故选A.
8.答案：A
解析：由题意，得.设直线l的方程为.将其代入，化简并整理，得.由，得.设，，则，，所以.因为M是AB的中点，所以.由题意，知，所以.又，所以的面积.由已知条件知，所以，解得(满足)，所以直线l的斜率为.故选A.
9.答案：BC
解析：由于，故点M为的中点，所以，所以，所以，所以，故，所以，所以，所以，故，所以双曲线C的离心率，故选项A错误.
因为，所以，所以的面积为，故的面积为，故选项B正确.
由于，所以，故选项C正确.
由于，故选项D错误.
综上所述，选BC.
10.答案：ABD
解析：对于A，由题意知，抛物线C的准线方程为，即，得，故A正确.
对于B，因为，所以抛物线C的方程为，其焦点为.
因为直线l过抛物线的焦点，所以直线l的方程为.因为，所以点M在以为直径的圆上.设点，由可得.设的中点为，则.因为点在直线l上，所以，所以点是以为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆Q的半径.因为，所以，解得，故B正确.
对于C，因为，所以弦长，故C错误.
对于D，因为，所以直线l的方程为，即.由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离，所以，故D正确.故选ABD.
11.答案：ACD
解析：对于选项A，设，由题意得，解得，所以，从而，选项A正确；对于选项B，由题意知，且BF垂直于x轴，根据抛物线的定义可知.
设与y轴的交点为D，易知，，故，所以四边形的周长为，选项B错误；
对于选项C，若直线AB过点F，则当轴时，最小，且最小值为1，选项C正确；
对于选项D，设直线AB：，，，联立直线AB与抛物线方程得，则，所以，由可得，
即，解得，故直线AB的方程为，即直线AB恒过定点，选项D正确.故选：ACD.
12.答案：ABC
解析：设.由得，则，因为，所以，又，所以，所以名，，故A正确;所以，即椭圆过定点，，故B正确;，由得，则，所以，则有，因为，所以的取值范围为，故C正确，D错误.故选ABC.
13.答案：
解析：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为，又由该双曲线的一条渐近线方程为，即，则有，则；所以.
14.答案：
解析：设，，，得抛物线的方程为，根据对称性，不妨取，则l的方程为，代入，得，得，可得.由中点坐标公式可得，则直线的方程为，代入，可求得，则.
15.答案：
解析：由题意得，且直线BC的斜率不为0.
设，，直线BC的方程为.
联立，得，
所以，.
因为直线AB与AC的斜率之积为定值，所以，
所以，
即，
所以，
解得或.
当时，不符合题意，舍去，
所以，所以直线BC恒过定点.
16.答案：
解析：易知点，由题意设点，则点，，且.直线AB的斜率为，则直线BD的方程为.同理可得直线CD的方程为.联立得解得，，所以点D的坐标为.结合，得.因为，所以，又，所以，得，
则，所以.
17.（1）答案：
解析：依题意可知，，，
则，
，
又，所以，
解得(舍去)，又，所以，则，
所以的面积.
（2）答案：为定值-1
解析：由(1)可解得.
所以双曲线C的方程为.
设，，则，则，.
设直线l的方程为，
与双曲线C的方程联立，消去y得，
由，得.
由一元二次方程根与系数的关系得，，
所以.
则，
故为定值-1.
18.答案：（1）
（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则，，.
又，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线AB的方程为.
联立得方程组
消去y并整理，得，
则.
设，，则，.
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.
由得，
则直线BM的方程为.
令，则
.
又，
则，
所以直线BM过定点，
同理直线AN也过定点.
故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.
19.答案：（I）
（Ⅱ）或
解析：（I）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，
联立，消y整理得
.
设，，
则，
则，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由题知，直线n的斜率显然存在，
设直线n的方程为，
联立
消去y整理得.
因为直线n与椭圆相切，
所以，
整理得.
联立，消去y整理得
.
因为直线n与抛物线相切，
所以，
整理得，
所以，
解得或
所以直线n的方程为或.
20.答案：（1）点C的轨迹方程为
（2）
解析：（1）证明：因为圆可化为，
所以圆心，半径，
又因为过点N作AM的平行线交BM于点C，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
所以点C的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点C的轨迹方程为.
（2）由（1）可知点C的轨迹方程为，
易知，设，
由消去y，得，
解得
则，
是以PQ为底边的等腰三角形，
，，则.
同理，.
，
解法一：，
当且仅当，即时取等号，
.
解法二：
，
当且仅当，即时取等号，
.
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