第五章 一元函数的导数及其应用 A卷 基础夯实（含解析）

第五章 一元函数的导数及其应用
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若函数，则等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.0
2.已知奇函数在区间上满足，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3.已知与曲线相切，则实数a的值为( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.下列函数组中导函数相同的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
5.已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程为，设函数，则的图象在点处的切线方程为( ).
A. B. C. D.
6.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数恒有2个零点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知函数，则( ).
A.的极大值为-1
B.的极大值为
C.曲线在点处的切线方程为
D.曲线在点处的切线方程为
10.已知是的导函数，且，则( )
A.
B.
C.的图象在处的切线的斜率为0
D.在上的最小值为1
11.已知函数，则下列判断正确的是( ).
A.函数的图象关于y轴对称
B.函数在上单调递增
C.函数的最小值为2，无最大值
D.不等式的解集为
12.对于函数，c，，下列说法正确的是( ).
A.存在c，d使得函数的图象关于原点对称
B.是单调函数的充要条件是
C.若，为函数的两个极值点，则
D.若，则过点作曲线的切线有且仅有2条
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线方程为______________.
14.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________.
15.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
16.已知函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为_________.
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设，曲线在点处取得极值.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
18.已知函数.
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则.
19.已知函数为的导函数.
(1)讨论的极值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
20.已知函数.
(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：函数的导数，
则，故选C.
2.答案：C
解析：由题意可令，则为偶函数.当时，，则为增函数，等价于，即，则，所以.又，故不等式的解集为.
3.答案：B
解析：由题意，设切点为，所以，又因为，所以，所以，解得，故.故选B.
4.答案：C
解析：由常数函数的导数为0以及，排除A；，，排除B；，故C正确；，，排除D.
5.答案：A
解析：由已知得，，因为是奇函数，所以，，又因为，所以，，所以的图象在点处的切线方程为，即.故选A.
6.答案：B
解析：，，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，，即，解得或.实数m的取值范围是，故选B.
7.答案：B
解析：，.
因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，即，
所以.
设，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故选B.
8.答案：A
解析：由，得.令，则函数恒有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.作出函数与的图象，如图所示，数形结合可得，解得，故选A.
9.答案：BD
解析：因为，所以，所以当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；
因为，，所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确.故选BD.
10.答案：BC
解析：，，令，则，故B正确；则，，
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.
11.答案：ACD
解析：因为函数，所以函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，A正确；
当时，，则，所以函数在上单调递增，而为偶函数，则函数在上单调递减，B错误；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以函数的最小值为2，无最大值，C正确；
不等式，
于是得，即，解得，D正确.故选ACD.
12.答案：BC
解析：若存在c，d使得函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，因为，所以，对于任意的x，并不满足，故函数不为奇函数，故A错误；
由得，要使是单调函数，必满足，解得，故B正确；
若函数有两个极值点，则必须满足，即，此时则，
所以，因为，所以，故，故C正确；
耇，则，，画出函数的大致图象，如图所示，
三条虚线代表三条相切的切线，故D错误.故选BC.
13.答案：
解析：，所以曲线在点处的切线的斜率为3，所以切线方程为.
14.答案：
解析：由，得，则有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，
作出的图象，如图所示，
.
15.答案：
解析：可化为.
令，
设，，则，设，
令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.
16.答案：
解析：由得
由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，设直线与相切，切点为，由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，所以切线斜率为，设与相切，则，即，解得舍去)，由图可得实数m的取值范围是或.
17.答案：（1）（2）的极大值为的极小值为
解析： （1）因为，所以.
由题意知，，故可得，解得.
（2）由（1）可知，
.
令，解得.
因为函数定义域为，所以当或时，
，当时，.
故可得在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
故的极大值为的极小值为.
18.答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知函数的定义域为.
由，
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，所以，解得，
所以a的取值范围为.
（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.
令，
则.
令，
则，
所以当时，，
所以当时，，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
即在上.
又，所以，即.
由（1）可知，函数在上单调递增，
所以，即.
解法二（同构构造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.
由，得，
即.
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又，
所以在上单调递减，
所以，即.
19.答案：(1)当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.
(2)取值范围为.
解析：(1)由题意知，的定义域为，，
设，则，
①当时，在上单调递增，没有极值；
②当时，若，则在上单调递减，
若，则在上单调递增，
在处取得极小值，且极小值为在上没有极大值.
综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.
(2)由题意知，存在，使得，
即存在，使得，
构造函数，
则，
当，即时，在上恒成立，
单调递增，所以，得，与矛盾，不满足题意.
当，即时，若，则单调递减，
若，则，单调递增，此时，
由，得，
所以，因为，所以不等式不成立.
当，即时，在上恒成立，单调递减，
所以，得，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
20.答案：(1)取值范围为.
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由题，，
因为在定义域内单调递增，因此恒成立.
当时，，不满足题意.
当时，，满足题意.
当时，即，得，
设，则，
注意到函数单调递减，
且时，，因此在时，单调递增，
在时，单调递减，得，
从而，得.
综上，a的取值范围为.
(2)，当时单调递增，
而，，
因此存在，使得，
且时，）单调递减，
当时，单调递增，
且，
故存在，使得.
要证明，只需证明，
即证.
由，得，
因此只需证明，
即证，
先证明：，
即证，
即证，
设，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
即.
接下来证明.
即证，
设，
则，
设，
则，
故单调递减，，
从而单调递减，故，即.
因此，
即不等式成立，故.
2