2.2基本不等式（第二课时） 同步练习(含解析)

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基本不等式(第二课时)
一、单选题
1．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．11 B．13 C．10 D．12
3．若正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．10
5．已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．已知，均为正数，，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
7．已知，均为正数，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．设，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．6
10．已知，，则ab的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为3
二、填空题
12．设，，不等式恒成立，则a的最小值为 ．
13．已知，，且，则的最小值为 ．
14．已知，且，则的最小值为 ．
15．已知，且，若恒成立，则的取值范围是 .
三、解答题
16．（1）已知正数，满足，求的最大值；
（2）若正数，满足，求的最小值.
17．已知，.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值.
18．（1）求的最大值.
（2）已知，满足，若的最小值为16，求的值.
基本不等式（第二课时）
一、单选题
1．若正数满足，则的最小值是（C）
A．2 B． C．4 D．
解：因为正数满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
2．已知均为正数，且，则的最小值为（A）
A．11 B．13 C．10 D．12
解：，当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
3．若正实数满足，则（D）
A． B．
C． D．
解：由，得，又为正实数，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
4．已知，则的最小值为（D）
A．4 B．6 C． D．10
解：∵∴，，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为10．
故选：D.
5．已知且，则的最小值为（B）
A．10 B．9 C．8 D．7
解：由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
6．已知，均为正数，，则的最小值是（B）
A．1 B．4 C．7 D．
解：因为，
所以，即，
因，均为正数，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：B
7．已知，均为正数，若，则的最小值为（C）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：，均为正数，因为，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为5.
故选：C.
8．已知，，则的最小值为（B）
A． B． C． D．
解：由，且，
故，
当且仅当，即时取得等号.
故选：B
9．设，则的最小值为（A）
A． B．
C． D．6
解：由题意，所以，所以
，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A
10．已知，，则ab的取值范围是（D）
A． B． C． D．
解：因为，，所以，
所以，当且仅当时取等号；
又，
所以，仅当或时等号成立，所以，
故，所以ab的取值范围是.
故选：D
11．已知，则下列结论正确的是（C）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为3
解：.
对于A，，
当且仅当时取等号，故错误；
对于，当时，，故错误；
对于，
，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时，等号成立，
这与已知不符合，故等号不成立，故错误.
故选：C.
二、填空题
12．设，，不等式恒成立，则a的最小值为 / ．
解：显然，由题意知，不等式恒成立，
则a必须大于或等于的最大值，
而，
当且仅当时，取等号，
故的最大值为，
故，即a的最小值是．
故答案为：.
13．已知，，且，则的最小值为 9 ．
解：由，，得，当且仅当时取等号，
因此，解得，即，
由，而，解得，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
14．已知，且，则的最小值为 0 ．
解：由，得，
由，得，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．已知，且，若恒成立，则的取值范围是 .
解：因为，所以，所以，
同理可得，则，当且仅当时，等号成立，
因为恒成立，所以，即，解得.
故答案为：
三、解答题
16．（1）已知正数，满足，求的最大值；
（2）若正数，满足，求的最小值.
解：（1）因为正数，满足，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是；
（2）因为正数，满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是27.
17．已知，.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值.
解：（1）因为，所以，
又，所以由基本不等式有，
当且仅当，即当时，等号成立，
解不等式得，
所以当且仅当时，有最小值64.
（2）因为，所以，
又，所以由基本不等式有，
当且仅当即当时，等号成立，
所以当且仅当时，有最小值18.
（3）因为，，
所以有，且，
所以有，
由基本不等式得，
当且仅当即时，等号成立，
所以当且仅当时，有最小值1.
18．（1）求的最大值.
（2）已知，满足，若的最小值为16，求的值.
解：（1）因为，令，则且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）由，且，，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，可得，
又由，联立方程组且，解得或，
经检验，存在满足等号成立的条件，故或.
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