2023~2024学年度下期高2022级入学考试
数学
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和纯虚数的概念可得，解之即可.
【详解】因为为纯虚数，
所以，解得.
故选：C.
2. 已知向量，，且，则等于（ ）
A. B. C. 10 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可.
【详解】由，及，得，所以，
故选：D
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式和余弦两角和公式求解即可.
【详解】
.
故选：C.
4. 如图，P是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线AC
【答案】D
【解析】
【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.
【详解】对于A，连接，设，
由，当点位于点时，与共面；
对于B，当点与重合时，直线与直线相交；
对于C，因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，
当点与重合时，与共面；
对于D，连接，
因为平面，平面，平面，，
所以直线BP与直线AC是异面直线.
故选：D.
5. 已知一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为，则该正四棱台的高为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，列出方程，即可求解.
【详解】由正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为，
设正四棱台的高为，
根据棱台的体积公式 ，可得，
解得.
故选：D.
6. 已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则或，
若，因为，则，
若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，
因为，所以，
又，所以，
综上若，则，故B正确；
对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；
对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.
故选：B.
7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】B
【解析】
【分析】确定，，根据正弦定理得到，解得答案.
【详解】，，，，
则，即，，
故选：B
8. 在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，
在中，，
则由余弦定理可得，
故，
所以，
则，
不妨记，
因为，所以，
即，
则，整理得①，
又在中，，即，则②，
两式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
故选：C.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的虚部为-1
C. 在复平面内对应的点在第一象限
D. 的共轭复数为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、共轭复数、复数在复平面对应点的特征、复数模的运算公式逐一判断即可.
【详解】因为，所以的虚部为的共轭复数为在复平面内对应的点在第四象限.
故选：BD
10. 若向量满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算性质求解判断即可.
【详解】由题意得，得，所以，故A正确；
由，得，故B正确；
因为，所以不垂直于，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.
12. 设函数，已知在有且仅有5个零点．下列结论中正确的是（ ）
A. 在有且仅有3个最高点 B. 在有且仅有2个最低点
C. 在单调递增 D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出在上由小到大的第5、6个零点，根据题意列不等式组可解得的范围，可判断D；求出最大值点和最小值点，根据的范围即可判断AB；根据正弦函数的单调性求出的单调增区间，结合的范围即可判断C.
【详解】由得，
所以在上由小到大的第5个零点为，第6个零点为，
由题知，，解得，D正确；
令，解得，
当时，，
因为，所以，
当且仅当时，，故在有且仅有3个最高点，A正确；
令，解得，
同上可知，，
当时，；
当时，令，解得，所以当时，有3个最低点，B错误；
由得，所以在区间上单调递增，
又因为，所以，又，
所以在区间上单调递增，C正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 求值______________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用正弦的倍角公式进行求值即可得解.
【详解】.
故答案为：
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，由复数相等可求出，求出，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】设，则，
所以，
所以，则，
，所以.
故答案为：
15. 已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题设条件知A，P，B三点共线，且有或，设出点P的坐标，分两类利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标即可
详解】设，则由，得或.
若，则.
所以解得故.
若，同理可解得故.
综上，点的坐标为或.
故答案为或.
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件，解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，属于中档题.
16. 已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC，，根据正弦定理求得外接圆的半径，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可．
【详解】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以，
设是PA中点，因为，所以，
因为平面平面ABC，所以，因此，
因此四边形ODAG是平行四边形，故，
∵，∴，
又外接圆的半径，由正弦定理得，
所以该外接球的半径满足，
所以外接球的表面积为.
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在中，，点是的中点，设，
（1）用表示；
（2）如果，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
【答案】（1），
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解；
（2）因为，化简，即可得到结论.
【小问1详解】
解：因为，所以，
因为是的中点，
可得
【小问2详解】
解：.
因为，
则
以，所以.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角以及辅助角公式化简,即可由整体法求解单调区间，
（2）根据得，即可结合正弦函数的单调性求解.
【小问1详解】
令，
所以，
所以的单调递增区间为，
【小问2详解】
因为，所以
，所以
所以在上的值域为.
19. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；
（2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
因，由正弦定理有：
，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以；
【小问2详解】
，又由（1）知
由余弦定理得，
即，则
所以的面积为.
20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行判断判定定理即可证得平面；
（2）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得平面⊥平面；
（3）先求得直线与平面所成角的正弦值，进而求得该角的大小.
【小问1详解】
取中点S，中点T，连接,
又E，F分别为，的中点，
则 ,
又，则，
则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面.
【小问2详解】
在△中，，，
由，可得，
由面⊥面，面面，
，面，可得面，
又面，则，
又，，面，
则面，又面，
则平面⊥平面；
【小问3详解】
连接，△中，，则，
又面⊥面，面面，面，
则面，则为点P到面的距离，
又E为的中点，则点E到面的距离为，
又△中，，，，
则，，则点E到面的距离为，
又，
设直线与平面所成角为，则，
又，则
则直线与平面所成角的大小为
21. 已知在中，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【小问1详解】
，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
【小问2详解】
由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
22. 已知函数的部分图象如图所示，矩形的面积为．
（1）求的最小正周期和单调递增区间．
（2）先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，最后得到函数的图象．若关于的方程在区间上仅有3个实根，求实数的取值范围．
【答案】（1），，．
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积公式，结合正弦型最小正周期公式和正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，结合因式分解法、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
由的解析式可知，
矩形的面积为，所以．
根据点在的图象上的位置知，得．所以．
的最小正周期为．
令，，得，，
所以单调递增区间为，．
【小问2详解】
将的图象向右平移个单位长度，
所得曲线对应的函数为，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，所得曲线对应的函数为，即．
由得，即或．
作出在上的大致图象如图所示：
易知方程在上仅有一个实根．
要使原方程在上仅有3个实根，则须方程在上有2个实根，
即直线与曲线在上有2个公共点，结合图象可知须．即的取值范围是．2023~2024学年度下期高2022级入学考试
数学
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 0或1
2. 已知向量，，且，则等于（ ）
A. B. C. 10 D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 如图，P是正方体面对角线上动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线AC
5. 已知一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为，则该正四棱台的高为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ）
A 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8. 在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的虚部为-1
C. 在复平面内对应的点在第一象限
D. 的共轭复数为
10. 若向量满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
12. 设函数，已知在有且仅有5个零点．下列结论中正确的是（ ）
A. 在有且仅有3个最高点 B. 在有且仅有2个最低点
C. 在单调递增 D. 的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 求值______________．
14. 已知，则__________.
15. 已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________.
16. 已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在中，，点是的中点，设，
（1）用表示；
（2）如果，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求值域.
19. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求直线与平面所成角的大小．
21. 已知中，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
22. 已知函数的部分图象如图所示，矩形的面积为．
（1）求的最小正周期和单调递增区间．
（2）先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，最后得到函数的图象．若关于的方程在区间上仅有3个实根，求实数的取值范围．
