广西柳州市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023高二上·柳州开学考）复数z＝（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解： ， 共轭复数为，对应坐标为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先求，再根据共轭复数定义写出，判断其在复数平面位于第几象限.
2．（2023高二上·柳州开学考）在平行四边形ABCD中，＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：设与交点为，．
故答案为：Ｃ.
【分析】设与交点为，结合平行四边形性质化简判断.
3．（2023高二上·柳州开学考）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
C．两组对边都相等的四边形是平面图形
D．梯形一定是平面图形
【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论；共面向量定理
【解析】【解答】解：A、 空间不共线三点可以确定一个平面，A错误；
B、 当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时，A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，但平面α和平面β相交，B错误；
C、 两组对边都相等的四边形如正四面体，不是平面图形，C错误；
D、梯形上下边平行，梯形一定是平面图象，D正确.
故答案为：D.
【分析】A空间不共线三点可以确定一个平面；B考虑当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时；C列举正四面体；D梯形上下边平行，所以梯形一定是平面图象.
4．（2023高二上·柳州开学考）某新闻机构想了解全国人民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本，若3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为（ ）
A．550 B．500 C．450 D．400
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设这个样本的容量为，则，求得.
故答案为：C.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
5．（2023高二上·柳州开学考）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（ ）
A．﹣sin2x B．﹣cos2x C．sin2x D．cos2x
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式
【解析】【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后得到，．
故答案为：Ａ.
【分析】根据坐标平移运算和诱导公式化简判断.
6．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥AB，又AB⊥AD，AB⊥平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD，故A正确；
对于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥BC又BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC，故B正确；
对于D，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，故D正确；
故选C．
【分析】利用面面垂直的判定定理，对四个选项分别分析选择．
7．（2023高二上·柳州开学考）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝30米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB＝150°，则蜚英塔的高度CD是（ ）
A．25米 B．25米 C．30米 D．米
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，在中，，，在中由余弦定理得，即，求得.
故答案为：C.
【分析】用表示、，在中利用余弦定理求.
8．（2023高二上·柳州开学考）已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，点为母线的中点，又底面圆所在平面，
，是等边三角形，，底面圆的半径为，
圆锥的高为，
故该圆锥的体积.
故答案为：A.
【分析】由点为母线的中点和圆锥性质知，结合，得到是等边三角形，求得底面圆的半径，在用勾股定理求圆锥的高，进而求圆锥的体积.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．（2020高一下·烟台期末）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为 ，所以A项正确；
由方差的公式，可得 ，
所以标准差为 ，所以B项不正确；
根据众数的概念，可得数据的众数为2和3，所以C项正确；
根据百分位数的概念，可得第85百分位数：从大到小排序的第8和第9个数据的平均数值，即为 ，所以D项不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据题意把数值由小到大的顺序排列，然后再根据标准差、众数以及平均数公式代入数值计算出结果即可。
10．（2023高二上·柳州开学考）下列表达式中，正确的是（ ）
A．coscos﹣sinsin＝
B．sinx+cosx＝2sin（x+）
C．＝
D．cos4﹣sin4＝
【答案】A,B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：Ａ、，Ａ正确；
Ｂ、，Ｂ正确；
Ｃ 、，Ｃ错误；
Ｄ、，Ｄ错误．
故答案为：ＡＢ.
【分析】根据正余弦、正切两角和与差公式和平方差公式化简逐一判断选项．
11．（2023高二上·柳州开学考）已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果B A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（）＝0.4
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、如果 B A ，那么AU B=A，AB=B，P(AU B) = P(A)=0.5，P(AB)=P(B)=0.2，A错位；
B、如果A与B互斥，那么P(AU B) = P(A) +P(B)= 0.7，P(AB)= 0，B正确；
C、如果A与B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B)=0.01，C错误；
D、如果A与B相互独立，那么，，D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义和概率公式逐一判断选项.
12．（2023高二上·柳州开学考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．直线A1G与直线DC所成角的正切值为
B．直线A1G与平面AEF不平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
【答案】A,D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A、，直线与直线所成角即为直线与直线所成角为，，A正确；
B、连接，，，，，分别为，，的中点，易证得，， ，四点共面，是平行四边形，，又平面，平面，平面，即平面，B错误；
C、连接交于点，，，又为的中点，，，点与点到平面的距离不相等，C错误；
D、由B知平面截正方体所得平面是四边形，，，四边形等腰梯形，易求得，，，与之间的距离为，平面截正方体的截面面积为，D正确.
故答案为：AD.
【分析】A由为直线与直线所成角，进而求解判断；
B连接，，，通过证明，得到平面；
C连接交于点，由得，所以判断点与点到平面的距离不相等；
D由B知平面截正方体得平面是等腰梯形，，，四边形，易求得，，，与之间的距离为，平面截正方体的截面面积为，D正确进而分析求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023高二上·柳州开学考）写出一个模为的非纯虚数 ．
【答案】2+i
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：设，且，即，取，则所求非纯虚数为.
故答案为：.
【分析】设其中，结合模长，求一个z即可.
14．（2023高二上·柳州开学考）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n α；
能推得n∥β的条件是 ．
【答案】②
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： ①若m⊥n，m⊥β；则或，①不满足题意；
②若n α，α∥β，根据面面平行的性质可知，②满足题意；
③α⊥γ，β⊥γ，n α，则或与相交，或或或与相交，③不满足题意.
故答案为：②.
【分析】根据线面平行的判定，逐一分析三个条件.
15．（2023高二上·柳州开学考）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由题意得存在唯一使得 ，，，即.
故答案为：.
【分析】根据共线向量性质知存在唯一使得 ，进而求解.
16．（2023高二上·柳州开学考）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】96π
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，
连接，交于点，连接，设外接球圆心为，则在所在直线上，连接，
由题意得，，，，设外接球的半径为，则，，即，解得，该四棱锥外接球的表面积为
故答案为： 96π .
【分析】连接，交于点，连接，根据正四棱锥性质求出，，由外接球球心在线段上，然后在中利用勾股定理求外接球的半径，进而求表面积.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（2023高二上·柳州开学考）已知＝（2，1），||＝2．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若（5﹣2）⊥（+），求与的夹角．
【答案】（1）解：∵＝（2，1），由∥，可设＝（2λ，λ），
再根据||＝2＝，求得λ＝±2，
∴＝（4，2）或（﹣4，﹣2）．
（2）解：若（5﹣2）⊥（+），
则（5﹣2） （+）＝5+3·﹣2＝25+3·﹣40＝0，
∴·＝5．
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，则×2×cosθ＝5，求得cosθ＝，∴θ＝．
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】 (1)根据向量平行设＝（2λ，λ）， 结合模长公式求解λ即可；
(2)根据向量数量积运算得（5﹣2） （+）＝0，求得·＝5，进而求与夹角 .
18．（2023高二上·柳州开学考）某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛，成绩统计如图所示．
（1）求a的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在[80，90）上的人数；
（2）若在本次考试中前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）．
【答案】（1）解：由已知得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10＝1得：a＝0.005，
故成绩在[80，90）上的频率为0.03×10＝0.3，
故成绩在[80，90）上的人数为：3000×0.3＝900（人）；
（2）解：设50%分位数为x，则（2×0.005+3×0.005）×10+7×0.05××10＝0.5，
解得x＝（分），故进入复赛市民的分数应当不低于分．
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据所以小长方形的面积和为1求解a，再求得成绩在[80，90）的频率，根据频数计算公式 人数；
(2)结合已知数据根据频率分布直方图求50%分位数即可.
19．（2023高二上·柳州开学考）已知函数f（x）＝cos2x+sinxcosx﹣．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间上的最小值．
【答案】（1）解：f（x）＝+sin2x﹣＝sin（2x+），
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k（k∈Z）；
（2）解：因为x∈[0，]，所以2x+∈[，]，
当2x+＝，即x＝时，f（x）min＝﹣．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)先用降幂公式和辅助角公式化简f（x） ，再结合正弦函数性质求其增区间；
(2) 当 x∈[0，]时，求2x+范围，结合正弦函数性质求最小值.
20．（2023高二上·柳州开学考）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级．现从一批该零件中随机抽取40个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如表：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）若抽取等级为5的零件的概率为0.1，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为1和5的所有零件中任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
【答案】（1）解：若抽取等级为5的零件的概率为0.1，则n＝0.1，m＝1﹣0.05﹣0.15﹣0.35﹣0.1＝0.35，
综上所述，m＝035，n＝0.1；
（2）解：在（1）的条件下，等级为1的零件共有40×0.05＝2（个），等级为5的零件共有40×01＝4（个），这两个等级的零件共6个，
任意抽取2个，不同的选法共有＝15（种），
如果抽取的2个零件等级恰好相同，不同的选法一共有+＝7（种），所以抽取的2个零件等级恰好相同的概率是，
综上所述，抽取的2个零件等级恰好相同的概率是．
【知识点】频率分布表；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，进而求解；
(2) 先求出等级为1和5的零件个数，再利用古典概型概率公式计算求解.
21．（2022高一下·南充期中）在 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知 .
（1）求角B的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的面积S的取值范围.
【答案】（1）解：由已知及正弦定理，得 ，即 ，即
，即 .
由余弦定理，得 ，因为 ，所以 .
（2）解：因为 ， ，由正弦定理，得
.
所以 .
因为 为锐角三角形，则 ，从而 ，所以 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角B的值；
（2）根据题设条件，利用正弦定理，可得 ，以及 的面积 ，利用 为锐角三角形，可得面积的取值范围．
22．（2023高二上·柳州开学考）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD，E为AA1中点，AA1＝AB＝2．
（1）求证：AC1∥平面B1D1E；
（2）求三棱锥A﹣B1D1E的体积；
（3）在AC1上是否存在点M，满足AC1⊥平面MB1D1？若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：连A1C1交B1D1于点F，连EF，
∵A1B1C1D1是菱形，∴F是A1C1中点，∵E是AA1中点，∴EF∥AC1，
∵EF 平面B1D1E，AC1 平面B1D1E，∴AC1∥平面B1D1E．
（2）解：过B1作B1H⊥D1A1的延长线于点H，
由AA1⊥底面ABCD知AA1⊥平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1H，又AA1∩1A1＝A1，B1H⊥平面AA1D1D．
由∠A1B1C1＝∠ABC＝60°知∠B1A1H＝60°，
又A1B1＝2，则．
（3）解：∵AA1⊥平面ABCD，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，
∴AA1⊥平面A1B1C1D1，∵B1D1 平面A1B1C1D1，∴B1D1⊥AA1，
∵菱形A1B1C1D1中B1D1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，A1C1，AA1 平面AA1C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，又AC1 平面AA1C1，∴AC1⊥B1D1，
过F在Rt△AA1C1中，作FM⊥AC1，垂足为M，
则由FM∩B1D1＝F，FM，B1D1 平面MB1D1知AC1⊥平面MB1D1，
∴存在M满足条件，在Rt△AA1C1中，AA1＝A1C1＝2，，F是A1C1中点，
∴，∴．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)连A1C1交B1D1于点F，连EF，通过中位线证明EF∥AC1，得到AC1∥平面B1D1E；
(2)过B1作B1H⊥D1A1的延长线于点H，得到B1H⊥平面AA1D1D，所以 ，进而求解；
(3)由AA1⊥平面ABCD和菱形A1B1C1D1得到B1D1⊥平面AA1C1，所以AC1⊥B1D1，则过F作FM⊥AC1，垂足为M，有AC1⊥平面MB1D1，再求解．
1 / 1广西柳州市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023高二上·柳州开学考）复数z＝（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023高二上·柳州开学考）在平行四边形ABCD中，＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·柳州开学考）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
C．两组对边都相等的四边形是平面图形
D．梯形一定是平面图形
4．（2023高二上·柳州开学考）某新闻机构想了解全国人民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本，若3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为（ ）
A．550 B．500 C．450 D．400
5．（2023高二上·柳州开学考）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（ ）
A．﹣sin2x B．﹣cos2x C．sin2x D．cos2x
6．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
7．（2023高二上·柳州开学考）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝30米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB＝150°，则蜚英塔的高度CD是（ ）
A．25米 B．25米 C．30米 D．米
8．（2023高二上·柳州开学考）已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．（2020高一下·烟台期末）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
10．（2023高二上·柳州开学考）下列表达式中，正确的是（ ）
A．coscos﹣sinsin＝
B．sinx+cosx＝2sin（x+）
C．＝
D．cos4﹣sin4＝
11．（2023高二上·柳州开学考）已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果B A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（）＝0.4
12．（2023高二上·柳州开学考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．直线A1G与直线DC所成角的正切值为
B．直线A1G与平面AEF不平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023高二上·柳州开学考）写出一个模为的非纯虚数 ．
14．（2023高二上·柳州开学考）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n α；
能推得n∥β的条件是 ．
15．（2023高二上·柳州开学考）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则m的值为 ．
16．（2023高二上·柳州开学考）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（2023高二上·柳州开学考）已知＝（2，1），||＝2．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若（5﹣2）⊥（+），求与的夹角．
18．（2023高二上·柳州开学考）某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛，成绩统计如图所示．
（1）求a的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在[80，90）上的人数；
（2）若在本次考试中前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）．
19．（2023高二上·柳州开学考）已知函数f（x）＝cos2x+sinxcosx﹣．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间上的最小值．
20．（2023高二上·柳州开学考）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级．现从一批该零件中随机抽取40个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如表：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）若抽取等级为5的零件的概率为0.1，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为1和5的所有零件中任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
21．（2022高一下·南充期中）在 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知 .
（1）求角B的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的面积S的取值范围.
22．（2023高二上·柳州开学考）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD，E为AA1中点，AA1＝AB＝2．
（1）求证：AC1∥平面B1D1E；
（2）求三棱锥A﹣B1D1E的体积；
（3）在AC1上是否存在点M，满足AC1⊥平面MB1D1？若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解： ， 共轭复数为，对应坐标为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先求，再根据共轭复数定义写出，判断其在复数平面位于第几象限.
2．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：设与交点为，．
故答案为：Ｃ.
【分析】设与交点为，结合平行四边形性质化简判断.
3．【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论；共面向量定理
【解析】【解答】解：A、 空间不共线三点可以确定一个平面，A错误；
B、 当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时，A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，但平面α和平面β相交，B错误；
C、 两组对边都相等的四边形如正四面体，不是平面图形，C错误；
D、梯形上下边平行，梯形一定是平面图象，D正确.
故答案为：D.
【分析】A空间不共线三点可以确定一个平面；B考虑当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时；C列举正四面体；D梯形上下边平行，所以梯形一定是平面图象.
4．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设这个样本的容量为，则，求得.
故答案为：C.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式
【解析】【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后得到，．
故答案为：Ａ.
【分析】根据坐标平移运算和诱导公式化简判断.
6．【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥AB，又AB⊥AD，AB⊥平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD，故A正确；
对于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥BC又BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC，故B正确；
对于D，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，故D正确；
故选C．
【分析】利用面面垂直的判定定理，对四个选项分别分析选择．
7．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，在中，，，在中由余弦定理得，即，求得.
故答案为：C.
【分析】用表示、，在中利用余弦定理求.
8．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，点为母线的中点，又底面圆所在平面，
，是等边三角形，，底面圆的半径为，
圆锥的高为，
故该圆锥的体积.
故答案为：A.
【分析】由点为母线的中点和圆锥性质知，结合，得到是等边三角形，求得底面圆的半径，在用勾股定理求圆锥的高，进而求圆锥的体积.
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为 ，所以A项正确；
由方差的公式，可得 ，
所以标准差为 ，所以B项不正确；
根据众数的概念，可得数据的众数为2和3，所以C项正确；
根据百分位数的概念，可得第85百分位数：从大到小排序的第8和第9个数据的平均数值，即为 ，所以D项不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据题意把数值由小到大的顺序排列，然后再根据标准差、众数以及平均数公式代入数值计算出结果即可。
10．【答案】A,B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：Ａ、，Ａ正确；
Ｂ、，Ｂ正确；
Ｃ 、，Ｃ错误；
Ｄ、，Ｄ错误．
故答案为：ＡＢ.
【分析】根据正余弦、正切两角和与差公式和平方差公式化简逐一判断选项．
11．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、如果 B A ，那么AU B=A，AB=B，P(AU B) = P(A)=0.5，P(AB)=P(B)=0.2，A错位；
B、如果A与B互斥，那么P(AU B) = P(A) +P(B)= 0.7，P(AB)= 0，B正确；
C、如果A与B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B)=0.01，C错误；
D、如果A与B相互独立，那么，，D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义和概率公式逐一判断选项.
12．【答案】A,D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A、，直线与直线所成角即为直线与直线所成角为，，A正确；
B、连接，，，，，分别为，，的中点，易证得，， ，四点共面，是平行四边形，，又平面，平面，平面，即平面，B错误；
C、连接交于点，，，又为的中点，，，点与点到平面的距离不相等，C错误；
D、由B知平面截正方体所得平面是四边形，，，四边形等腰梯形，易求得，，，与之间的距离为，平面截正方体的截面面积为，D正确.
故答案为：AD.
【分析】A由为直线与直线所成角，进而求解判断；
B连接，，，通过证明，得到平面；
C连接交于点，由得，所以判断点与点到平面的距离不相等；
D由B知平面截正方体得平面是等腰梯形，，，四边形，易求得，，，与之间的距离为，平面截正方体的截面面积为，D正确进而分析求解.
13．【答案】2+i
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：设，且，即，取，则所求非纯虚数为.
故答案为：.
【分析】设其中，结合模长，求一个z即可.
14．【答案】②
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： ①若m⊥n，m⊥β；则或，①不满足题意；
②若n α，α∥β，根据面面平行的性质可知，②满足题意；
③α⊥γ，β⊥γ，n α，则或与相交，或或或与相交，③不满足题意.
故答案为：②.
【分析】根据线面平行的判定，逐一分析三个条件.
15．【答案】
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由题意得存在唯一使得 ，，，即.
故答案为：.
【分析】根据共线向量性质知存在唯一使得 ，进而求解.
16．【答案】96π
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，
连接，交于点，连接，设外接球圆心为，则在所在直线上，连接，
由题意得，，，，设外接球的半径为，则，，即，解得，该四棱锥外接球的表面积为
故答案为： 96π .
【分析】连接，交于点，连接，根据正四棱锥性质求出，，由外接球球心在线段上，然后在中利用勾股定理求外接球的半径，进而求表面积.
17．【答案】（1）解：∵＝（2，1），由∥，可设＝（2λ，λ），
再根据||＝2＝，求得λ＝±2，
∴＝（4，2）或（﹣4，﹣2）．
（2）解：若（5﹣2）⊥（+），
则（5﹣2） （+）＝5+3·﹣2＝25+3·﹣40＝0，
∴·＝5．
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，则×2×cosθ＝5，求得cosθ＝，∴θ＝．
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】 (1)根据向量平行设＝（2λ，λ）， 结合模长公式求解λ即可；
(2)根据向量数量积运算得（5﹣2） （+）＝0，求得·＝5，进而求与夹角 .
18．【答案】（1）解：由已知得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10＝1得：a＝0.005，
故成绩在[80，90）上的频率为0.03×10＝0.3，
故成绩在[80，90）上的人数为：3000×0.3＝900（人）；
（2）解：设50%分位数为x，则（2×0.005+3×0.005）×10+7×0.05××10＝0.5，
解得x＝（分），故进入复赛市民的分数应当不低于分．
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据所以小长方形的面积和为1求解a，再求得成绩在[80，90）的频率，根据频数计算公式 人数；
(2)结合已知数据根据频率分布直方图求50%分位数即可.
19．【答案】（1）解：f（x）＝+sin2x﹣＝sin（2x+），
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k（k∈Z）；
（2）解：因为x∈[0，]，所以2x+∈[，]，
当2x+＝，即x＝时，f（x）min＝﹣．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)先用降幂公式和辅助角公式化简f（x） ，再结合正弦函数性质求其增区间；
(2) 当 x∈[0，]时，求2x+范围，结合正弦函数性质求最小值.
20．【答案】（1）解：若抽取等级为5的零件的概率为0.1，则n＝0.1，m＝1﹣0.05﹣0.15﹣0.35﹣0.1＝0.35，
综上所述，m＝035，n＝0.1；
（2）解：在（1）的条件下，等级为1的零件共有40×0.05＝2（个），等级为5的零件共有40×01＝4（个），这两个等级的零件共6个，
任意抽取2个，不同的选法共有＝15（种），
如果抽取的2个零件等级恰好相同，不同的选法一共有+＝7（种），所以抽取的2个零件等级恰好相同的概率是，
综上所述，抽取的2个零件等级恰好相同的概率是．
【知识点】频率分布表；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，进而求解；
(2) 先求出等级为1和5的零件个数，再利用古典概型概率公式计算求解.
21．【答案】（1）解：由已知及正弦定理，得 ，即 ，即
，即 .
由余弦定理，得 ，因为 ，所以 .
（2）解：因为 ， ，由正弦定理，得
.
所以 .
因为 为锐角三角形，则 ，从而 ，所以 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角B的值；
（2）根据题设条件，利用正弦定理，可得 ，以及 的面积 ，利用 为锐角三角形，可得面积的取值范围．
22．【答案】（1）证明：连A1C1交B1D1于点F，连EF，
∵A1B1C1D1是菱形，∴F是A1C1中点，∵E是AA1中点，∴EF∥AC1，
∵EF 平面B1D1E，AC1 平面B1D1E，∴AC1∥平面B1D1E．
（2）解：过B1作B1H⊥D1A1的延长线于点H，
由AA1⊥底面ABCD知AA1⊥平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1H，又AA1∩1A1＝A1，B1H⊥平面AA1D1D．
由∠A1B1C1＝∠ABC＝60°知∠B1A1H＝60°，
又A1B1＝2，则．
（3）解：∵AA1⊥平面ABCD，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，
∴AA1⊥平面A1B1C1D1，∵B1D1 平面A1B1C1D1，∴B1D1⊥AA1，
∵菱形A1B1C1D1中B1D1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，A1C1，AA1 平面AA1C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，又AC1 平面AA1C1，∴AC1⊥B1D1，
过F在Rt△AA1C1中，作FM⊥AC1，垂足为M，
则由FM∩B1D1＝F，FM，B1D1 平面MB1D1知AC1⊥平面MB1D1，
∴存在M满足条件，在Rt△AA1C1中，AA1＝A1C1＝2，，F是A1C1中点，
∴，∴．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)连A1C1交B1D1于点F，连EF，通过中位线证明EF∥AC1，得到AC1∥平面B1D1E；
(2)过B1作B1H⊥D1A1的延长线于点H，得到B1H⊥平面AA1D1D，所以 ，进而求解；
(3)由AA1⊥平面ABCD和菱形A1B1C1D1得到B1D1⊥平面AA1C1，所以AC1⊥B1D1，则过F作FM⊥AC1，垂足为M，有AC1⊥平面MB1D1，再求解．
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